Geometría

[Detalle del cuadro "La escuela de Atenas" de Rafael. Representa Euclides enseñando Geometría]

Por Ángel de la Llave Canosa

"A la edad de doce años, quedé sorprendido con un trabajito que desarrollaba la geometría plana euclidiana, que cayó en mis manos al comienzo de un año escolar. Había allí afirmaciones, como por ejemplo, que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto, lo cual –aunque no parecía evidente– no obstante podría probarse con tal certidumbre que no había duda alguna sobre esa cuestión. Esta lucidez y certeza me impresionó indescriptiblemente"
Albert Einstein

"En ninguna parte lo verdadero y lo bello aparecen tan íntimamente unidos como en la Geometría"
Andre Delachet

El valor de la Geometría

En los últimos tiempos ha habido un abandono de la enseñanza elemental de la geometría clásica (recuérdese el grito de ¡Abajo Euclides! de Bourbaki). No obstante, hoy, como siempre, la Geometría sigue siendo el paradigma de las Matemáticas.

Decía Alexandrov en el VII Congreso Internacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas. 1992:

«La Geometría euclídea elemental ocupa una posición específica entre otras ramas de las Matemáticas y entre otras disciplinas, debido a su carácter único, consistente en la unión entre lógica, imaginación y práctíca.» 

ALEXANDROV

La Geometría clásica tiene un papel muy importante que jugar en la enseñanza elemental de las Matemáticas. Y es que la Geometría no sólo es interesente por el qué, sino también por el cómo. Así lo recogen Davis y Hersch en su libro “Experiencia matemática”:

«En la enseñanza de la Geometría elemental no se destacan sólamente los aspectos visuales o espaciales sino también su metodología, en la cual es la hipótesis la que lleva a la conclusión.»
J. DAVIS & R. HERSCH

"Me encuentro constantemente con personas que dudan, generalmente sin razón alguna, de su  capacidad potencial como matemáticos.
La primera prueba es ver  si comprendes algo de geometría. Que no te gusten o encuentres dificultades en otros  temas matemáticos no importa. "
John LITTLEWOOD

"La Geometría es al par arte y ciencia y su desarrollo purdeproducir gran placer. Las únicas herramientas que se necesitan son papel, lápiz, un simple compás escolar y una regla para unir dos puntos."
Dan PEDOE

"El estado perverso de la moderna enseñanza de las matemáticas es que la intuición geométrics ha sido desterrado del aula"

COXETER

El principal valor de la Geometría es, pues, que es una materia en la que se demuestran las proposiciones. Y, además, no sólamente se demuestran las obviedades, sino que en muchas ocasiones se llega a la sorpresa incluso al éxtasis, por la belleza y elegancia de las demostraciones.

Por lo que acabamos de decir, si queremos utilizar la demostración en Geometría de una manera formativa, creativa y estética, es necesario estructurar con cierta coherencia los resultados básicos.

A la didáctica de la Geometría, avanzando por la senda marcada por Euclides y Tolomeo, han dedicado sus esfuerzos grandes matemáticos. Y, por suerte, existen grandes textos (algunos olvidados) que son espléndidas guías para el estudio.

En la organización formal de las cuestiones de la Geometría clásica yo distinguiría dos niveles que no deberían interferirse demasiado: un primer nivel de fundamentación axiomática más profundo y técnico, y otro segundo nivel, más didáctico y práctico, en el que se recogen las proposiciones que forman las herramientas básicas necesarias para entender y construir más allá de lo meramente trivial.

En lo que se refiere al primer nivel —el de la fundamentación axiomática— existen en la actualidad, siguiendo el esquema marcado por Moise en su libro Elemetary Geometry from an advanced standpoínt, dos grandes líneas: el enfoque sintético y el enfoque métrico.

*Enfoque sintético: Axiomática de D. Hilbert (1902). Erlanger Programm, F. Klein (1872).
* Enfoque métrico: Axiomática de G. D. Birkhoff (1932).

Pero este no es el tema que nos ocupa ahora.

Propuesta didáctica

Desde un punto de vista didáctico hay que atenerse a lo que indica G. Choquet en su artículo "Sobre la enseñanza de la Geometría elemental":

«Parece evidente que si no se quiere dar al alumno la impresión de que las Matemáticas son un juego estéril, donde se comienza por admitir en primer lugar complicadas  propiedades para deducir después de ellas otras sencillas, es necesario que los axiomas tengan enunciados simples que no utilicen sino conceptos a los que el alumno ya está  habituado, que sean transportables a la experiencia sensible y que, además, sean   eficaces, es decir, permitan establecer rápidamente propiedades sustanciales.»
CHOQUET

Desde el punto de vista didáctico, de lo que se trata es de fijar una base simple, pero firme y segura, de proposiciones claras con las que construir rápidamente resultados no triviales, con interés y belleza.

A mi juicio, el desarrollo a seguir en la enseñanza de la Geometría sintética sería, a grandes rasgos, el siguiente:

1) Partiendo de las herramientas básicas: la regla y el compás, considerar dos elementos fundamentales: los segmentos, las circunferencias y los ángulos. Estalecer el papel básico que tienen en la construccuión de figuras las rectas y los círculos (la regla y el compás)
2) Los segmentos y los ángulos, se pueden comparar y sumar y, por tanto, medir, usando la regla y el compás.
3) Introducir los conceptos de paralelismo y perpendicularidad. Postular la existencia de paralelas y perpendiculares por un punto exterior a una recta. Basarse para ello en métodos constructivos.
4) Establecer los criterios de igualdad de triángulos a partir de la univocidad de su construcción usando la regla y el compás.
5) Demostrar las proposiciones básicas, utilizando los criterios de igualdad de triángulos, agrupadas por criterios de igualdad de ángulos, segmentos, y los criterios de paralelismo y perpendicularidad. Estas proposiciones son las que nos van a servir para determinar las relaciones entre los elementos de una figura.
6) Exponer algunas técnicas básicas utilizadas para determinar puntos o definir propiedades, como la de los lugares geométricos.
7) Exponer, con ejemplos, los diferentes métodos uutilizados en la resolución de problemas.

En todo momento, el aprendizaje debe ser activo mediante la resolución de problemas y la construcción de casos concretos. 

A continuación se relacionan las proposiciones básicas que constituirán nuestra caja de herramientas para las demostraciones. Las enunciaremos agrupadas por criterios.

Caja de herramientas 

Criterios de igualdad de triángulos

LAL: Dos triángulos son iguales si tiene respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido.

ALA: Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales un lado y los dos águlos adyacentes.
LLL: Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus tres lados.

Los criterios de igualdad de triángulos resultan muy intuitivos, ya que dados los datos
que se citan en el criterio se construye de manera unívoca un triángulo que, por tanto,
queda perfectamente definido.

Criterios de igualdad de ángulos

* Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
* Cuando se cortan dos paralelas por una transversal se forman ocho ángulos, cuatro agudos iguales y cuatro obtusos iguales.
* Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces son iguales o suplementarios.
* Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces son iguales o suplementarios.
* Los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales. El lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento bajo un ángulo dado es el arco capaz.
* Los ángulos agudos que tienen la misma razón trigonométrica son iguales.
* Los ángulos adyacentes de un triángulo isósceles son iguales.
* Los ángulos que son transformados por una isometría son iguales.

Criterios de igualdad de segmentos

* Los segmentos paralelos comprendidos entre paralelas son iguales.
* Son iguales los radios de una misma circunferencia.
* Los lados adyacentes de un triángulo isógono son iguales.
* Las tangentes desde un punto a una circunferencia determinan segmentos iguales.
* Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
* Los segmentos que son transformados por una isometría son iguales.
* La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados.
*La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos.

Criterios de paralelismo

* Dos rectas son paralelas si forman ángulos iguales con una transversal.
* Dos rectas son paralelas si dos puntos de una de ellas están a la misma distancia de la otra.
* Dos rectas son paralelas si al ser cortadas por unas transversales los segmentos que éstas determina son proporcionales (Teorema de Thales).

Criterios de perpendicularidad

* Un ángulo es recto si está inscrito en una semi-circunferencia.
* En una circunferencia, la mediatriz de la cuerda es un diámetro.
* La tangente a una circunferencia y el radio en el punto de tangencia son perpendiculares.
* La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos.
* Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
* Un triángulo es rectángulo si verifica el teorema de Pitágoras.

Teoremas importantes

Teorema de las antiparalelas. La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible en una circunferencia es que los ángulos opuestos sean suplementarios.

Consecuencia. Los trapecios isósceles son inscribibles en una circunferencia.
(Las rectas que son lados opuestos de cuadriláteros inscriptibles se llaman antiparalelas).

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Thales. Si en un triángulo ABC se traza una paralela MN al lado BC, resulta que los triángulo AMN y ABC son semejantes.

Teorema de la bisectriz. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos que son proporcionales a los lados del ángulo.

Criterios de semejanza de triángulos

AA: Dos triángulos son semejantes si tiene respectivamente iguales dos de sus ángulos (y, por lo tanto, los tres).
LLL: Dos triángulos son semejantes si tiene los lados respectivamente proporcionales.
LAL: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido.

(Continuará)