Maxima es un sistema para la manipulación de expresiones
simbólicas y numéricas, incluyendo diferenciación, integración,
expansión en series de Taylor, transformadas de Laplace,
ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones
lineales, vectores, matrices y tensores. Maxima produce
resultados de alta precisión usando fracciones exactas, números
enteros de precisión arbitraria y números de coma flotante con
precisión variable. Adicionalmente puede graficar funciones y
datos en dos y tres dimensiones.
Es sofware abierto libre gratuito. Hay versiones para varos sistemas operativs incluyendo teléfonos móviles.
Una excelente introduccón al MAXIMA son los vídeos de JAVIER ARÁNTEGUI alojados en VIMEO. Ir al canal
En esta entrada presentamos una sugerentematematizaciónde la situación que se produce cuando se incluye a un idiota en un comité que toma decisiones. Puede servir para ver cómo las matemáticas ayudan a analizar situaciones cotidianas. Mirar al mundo con ojos matemáticos es muy divertido.
El efecto de añadir un idiota en un comité
Los seres humanos se equivocan, y algunos más que otros. Una manera de aumentar la fiabilidad de las decisiones, aun con gente no infalible, es consultar a varios y tomar el voto de la mayoría. Para simplificar, supongamos que tenemos tres expertos que se equivocan con una probabilidad p (pequeña) y que ponemos un comité en el que se toman las decisiones por mayoría. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité se equivoque?
Claramente el comité se equivoca si el primero acierta y los otros dos se equivocan, si el segundo acierta y los otros dos fallan, si el tercero acierta y los otros dos fallan y si los tres fallan. Poniendo todo esto junto nos da una probabilidad de
3p^2(1 - p) + p^3
que si p es pequeño, la suma es aproximadamente 3p^2 que es más pequeño que p. Es decir, que a base de poner más personas y tomar la mayoría tenemos un resultado mejor que si tuviéramos solo uno.
Supongamos ahora que en el comité de tres personas hay dos expertos y un idiota que no sabe nada y acierta con la misma probabilidad que tirar a cara o cruz, es decir ½. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité falle? Haciendo el mismo análisis que antes vemos que es. (ponemos, por ejemplo al idiota en el primer puesto).
½ p^2 + ½ p(1 - p) + ½ (1 - p)p + ½ p^2 = p^2 + p(1 - p) = p
Un comité de tres personas seleccionado a la ligera con un solo idiota es exactamente tan efectivo como una sola persona correctamente seleccionada.
Se podría pensar que poniendo a un idiota en un comité de tres vamos a tener algo tan efectivo que un comité con dos expertos, pero no es así. La realidad es peor que eso. Meter a un idiota en un comité de tres obtenemos una fiabilidad como si tuviésemos un solo experto. El idiota no sólo ha generado su gasto si no que ha echado a la basura el gasto de otro experto. Esto se puede explicar de una manera intuitiva. El idiota puede dar la mayoría a la decisión equivocada de una persona, y esto pasa la mitad de las veces que una persona se equivoque, con lo cual un comité de tres personas con un idiota es equivalente a una sola persona.
Se puede hacer, pero es menos elemental, el caso del comité de N personas con M idiotas. Se puede ver que los idiotas aumentan mucho la disfunción de los comités más allá de su peso.
Este es un artículo publicado en la revista Educar(NOS). nº 88 Ver aquí
SIN MÁS DIMENSIONES NO NOS MOVEREMOS
Ángel de la Llave (M)
En 1884 Edwin Abbott escribió un cuento con el título “Planilandia”. La historia es una fantasía sobre cómo sería un mundo que solamente tuviese dos dimensiones. Todo el cuento es en realidad un pretexto para hacernos reflexionar sobre lo que limita nuestra mente el considerar una cantidad escasa de dimensiones.
Siguiendo el cuento, os invito a pensar qué pasaría en un mundo unidimensional. Imaginad un grupo de hormigas que viviesen a lo largo de un estrecho tubo. Para estos pobres insectos unidimensionales un simple punto sería una frontera infranqueable. Sin embargo, estas mismas hormigas, bloqueadas por un puntito, salvarían el obstáculo fácilmente si dispusiesen de una segunda dimensión en la que moverse.
Además, a estas hormigas vivir en un tubo les crearía graves problemas de apreciación. Al carecer de perspectiva, pueden creer que avanzan por el simple hecho de andar hacia adelante. Pero esto no deja de ser más que una falsa impresión. En la realidad, mientras las hormigas creen que avanzan puede que estén retrocediendo, si la línea por la que marchan se dobla sobre sí misma, como le ocurre a una circunferencia.
Para terminar con estas metáforas sobre las dimensiones, veamos otro ejemplo más: Pensad ahora en unas hormigas que solo pudiesen moverse en una superficie de dos dimensiones. Para estos pobres animalillos planos todas las figuras – los círculos, los triángulos, los cuadrados... – serían vistas como iguales. Todas ellas, al mirarlas sin perspectiva, serían simples segmentos. Solamente cuando se miran las figuras desde una tercera dimensión se descubren en su auténtica forma. En el quehacer de la Escuela muchas veces nos topamos con callejones sin salida, contradicciones y problemas aparentemente irresolubles. Pero, todas estas dificultades se ponen en camino de superación si somos capaces de mirarlas con nuevas dimensiones.
Las nuevas dimensiones son los grandes conceptos en Educación. Esas ideas simples que iluminan y mueven a la acción. Al mirar la escuela desde nuevas dimensiones se hace la luz y se nos abren nuevos caminos por donde movernos. Por eso, es una gran alegría cuando encontramos personas o descubrimos lecturas que nos señalan dimensiones nuevas desde las que asomarnos al mundo. Cando nos creíamos profesores que enseñábamos a los alumnos, el fracaso escolar era un obstáculo insalvable. En este tema nos ocurría lo que les pasaba a las pobres hormigas que vivían en un tubo: no veíamos más allá de nuestras narices y cuando creímos avanzar, en realidad estábamos yendo cada vez más atrás. Para muchos de nosotros Carta a una maestra nos descubrió nuevas dimensiones de la cuestión, y ya nunca más vimos las cosas de la misma manera.
No se puede ver a los alumnos de la escuela sólo como alumnos, sin considerar su personalidad, su clase social y la necesidad que tenemos todos de comprender, entre todos, lo que está pasando. La escuela no puede acomodarse a no pensar sobre lo que está haciendo. No puede dejar de mirar cuáles son los intereses a los que sirve. Y así, tomando conciencia de lo que ocurre, ha de hacer escuela más allá de la escuela. Por eso, ¡ojo! Ahora en el discurso educativo se está reavivando una fuerte tendencia a podar las dimensiones de la Educación. Hay muchos temas de los que ya no se habla ni en los claustros, ni en las aulas, ni en los aledaños de la escuela, ni en las facultades del magisterio. Cada vez más se intenta ver la Educación como si fuese solo un problema contable para expertos. Y así no hay manera de educar(NOS).
Cristóbal Vila es un diseñador gráfico de animaciones 3D que es capaz de hacer vídeos maravillosos en las que se mezcla la inapiración, las matemáticas, la naturaeza, el arte, la arquitectura.
En su blog, ÉTERA, puedes encontrar todo tipo de explicaciones sobre el guión y su desarrollo así como varios cometarios apasionantes.
Estoy muy contento con los vídeos de matemáticas que han hecho mis alumnos de primero de bachillerato. Esta experiencia la llevo haciendo varios años. Aquí puedes ver algunos de años anteriores
Me preocupa que los jóvenes cada vez son más aficionados a estudiar matemáticas a base de ver videos en el móvil. Los vídeos más polpulares, supuestamente, enseñan como mucho a resolver los problemas de los exámenes. Que enseñen matemáticas es más dudoso.
No insistiré demasiado en lo beneficioso que es acostumbrarse a estudiar con tranquilidad, trabajando (y disfrutando) con buenos libros.
Los buenos libros, dejan poso y crean estilo. Se convierten en un recurso permanente. Como decía Santa Teresa de Jesús. "Grande consuelo me dio el haber quedado amiga de buenos libros."
Además, en Youtube no hay filtros. Desgraciadamente, cualquiera puede convertirse en un "influencer" de la didáctica de las matemáticas.
Voy a ilustrar lo que digo con un ejemplo.
Si véis el vídeo de UNICOOS que tenéis un poco más abajo, en el segundo 40 os encontráis algo como esto:
Para hacer estos problemas hay que saberse una formulita, que es un poco complicada, pero que se recuerda sabiédose "Un dia vi a una vaca y un soldadito vestido de uniforme"
Que millones de jóvenes oigan cosas así me entristece, porque se creen que las matemáticas son truquitos absurdos aprendidos de memoria. En este caso es especialmente sangrante ya que, precisamente, la justificación de la fórmula de integración por partes es mucho más corta y más sencilla que la regla mnemotécnica.
Como decía Baltasar Gracián
"Saber y saberlo demostrar es saber dos veces"
Justificar la fórmula de integración por partes no se demora más de 5 segundos
En esta entrada vamos a exponer una manera manipulativa de demostrar el siguiente resultado
Si una recta tiene de pendiente m, entonces su recta perpendicular tiene por pendiente -1/m (el opuesto del inverso).
Por ejemplo, si una recta tiene de pendiente 1/3, su recta perpendicular tiene de pendiente -3.
Para hacer esto evidente, basta coger dos rectángulos iguales, de lados 1 y m. Luego, tal como se ve en la foto, se dibuja la diagonal en ambos rectángulos. Estas diagonales las señalamos como las rectas r y s, respectivamente.
Colocando adecuadamente los rectágulos resulta evidente la relación antes enunciada entre las pendientes de dos rectas perpendiculares.
En efecto,
- La pendiente de la recta r es m/1= m
- La pendiente de la recta s es -1/m
Esta entrada está hecha en base a los diseños de Borja González Lorente. Él es el autor del método de construcción, la construcción en sí misma y del vídeo. Gracias Borja.
Los cinco poliedros regulares están llenos de belleza y curiosidades. En esta entrada os invitamos a admirar elICOSAEDRO.
Para construir un icosaedro empezamos por recortar en cartón-pluma tres rectángulos cuyos lados están en la razón áurea. Por ejemplo, 10 cm por 16,2 cm. Luego hay que ensamblarlos formando un triedro rectrángulo. Una manera de construir el triedro es dando unos cortes a los rectángulos como se puede ver en la figura, para que encajen unos con otros. De esta manera se encajan unos con otros. El resultado se puede ver en la foto de más abajo. Esto lo considero muy ingenioso, pues no hace falta usar pegamento alguno. La construcción se completa con un hilo que va pasando por los vértices.
El objetivo de esta entrada es invitar al los profesores y a los autores de los libros de texto de matemáticas de bachillerato a recuperar la notación de los incrementos y de los infinitésimos. Una notación que debemos a Leibnitz.
Esta notación, creo, que facilita hacer las demostraciones de las reglas de derivación, ayuda a comprender las fórmulas de la física. Estando familiarizado con esta notación incluso se podrían plantear ecuaciones diferenciales elementales a los alumnos de secundaria más aventajados.
Para colaborar a este fin he redactado una notas elementales que puedan servir de apoyo a profesores y alumnos.
Si colocamos en una tabla cuadrada la frase latina "SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS" la misma frase se puede lleer del dereclo del revés, de arriba a abajo y de abajo arriba, de dercha a izquierda y de izquierda a derechhas.
Para saber más cosas, algunas muy curiosas, sobre este enigmático cuadro VER AQUÏ
Hoy traigo a APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS un conocido juego de adivinación basado en el sistema de numeración binario.
El juego consiste en presentar al jugador un conjunto de cinco fichas. Se le invita al jugador a que piense un número secreto del 1 al 31, por ejemplo una fecha de cumpleaños. Luego se le pide que indique las fichas en las que aparece el número que ha pensado. A la vista de las fichas seleccionadas, el mago inmediatamente averigua el número secreto. ¿Cómo?
Con chicos pequeños puede ser un entretenimiento divertido. Con muchachos un poco más mayores, puede servir, además, para introducir el sistema de numeración binario y algo de combinatoria si se tercia.
A continuación os dejo un documento con las fichas (que podéis recortar), y la explicación del juego.
Que os divirtáis.
Llevo muchos años planteando a mis alumnos de ESO y Bachilleraro el clásico problema del matemático borracho. Nunca obtuve la respuesta correcta. Por eso me he decidido a hacer un vídeo que demuestre la solución también experimentalmente.
PROBLEMA DEL MATEMÁTICO BORRACHO
El profesor se presenta ante los alumnos de la clase con una copa de cóctel en la mano, como la de la imagen, y cuenta la siguiente historia:
Había una vez un matemático borracho (que no era yo) que salíó un día de fiesta. Entró en un bar de copas donde ofrecían: "COPA LLENA DE CÓCTEL POR 8 EUROS".
El matemático, que se moría de ganas de beber, pero no llevaba suficiente dinero, le dice al camarero de la barra.
- Quiero beber, pero no me puedo pagar una copa entera, así que, por favor, llénamela hasta la mitad.
El camarero lo hace, llenando la copa hasta una altura igual a la mitad de la altura de la copa completa.
El matemático se bebe su media copa tan contento. A la hora de ir a pagar el camarero le dice:
- Como te llené media copa, me debes 4 euros.
El matemático replica,
- Eso no es justo, ya que la mitad de arriba admite más líquido que la mitad de abajo. Debo de pagar menos.
La pregunta es: ¿QUÉ CANTIDAD DEBE PAGAR, EN JUSTICIA; EL MATEMÁTICO BORRACHO?
Lo normal es que los alumnos digan cosas como 3 euros, 2 euros y medio, 2 euros, ....
Todos se sorprenden mucho cuando les digo que la respuesta correcta es tan solo1 euro.
Hay veces, según el interés que hayan puesto los alumnos en resolver el problema, que les planteo en la pizarra: ¿Qué es lo que pasa al volumen de un cubo cuando le duplico las longitudes de sus dimensiones?
En el dibujo vemos que, si las longitudes de un cubo se duplican, el volumen del nuevo cubo queda multiplicado por 8. En general, en un cuerpo geométrico, si las longitudes se multiplican por una constante k, el volumen se multiplica por k^3.
Los alumnos más avispados, después de esta explicación, deducen que lo correcto es que el matemático borracho pague sólo 1 euro. Ya que si las longitudes de la copa se reducen a la mitad, entonces el volumen se reduce a la octava parte.
No obstante, no acaban de creérselo. Por eso es necesaria una evidencia experimental.
VÍDEO
En este vídeo se comprueba experimentalmente que para llenar una copa completa, son necesarias 8 medias copas
REFLEXIONES POSTERIORES
Este razonamiento geométrico tiene implicaciones en la biología. Es muy interesante el planteamiento de la cuestión que hace Galileo en los Discorsi.
¿Puede existir un animal tan grande como se quiera?
Si el volumen de un animal y, por tanto su peso, crecen según el cubo de sus dimensiones y las secciones de los huesos crecen según su cuadrado, entonces llegará un momento en que los huesos no puedan soportar la presión del peso del animal según va aumentando su tamaño. Galileo se dio cuenta que los huesos deberían ir ensanchandose, como se ve en el dibujo.
¿Qué pasa si el animal en cuestión es un pez que está sumergido en el agua y sufre el empuje del Principio de Arquímedes?
También, si quedan ganas se puede hablar del cñasico problema de la duplicación del cubo.
