sábado, 23 de marzo de 2019

Construcción de un icosaedro utilizando la razón aurea




Esta entrada está hecha en base a los diseños de Borja González Lorente, que el autor del método de construcción, la construcción en sí misma y del  vídeo. Gracias.

Los cinco poliedros regulares están llenos de belleza y curiosidades. En esta entrada os invitamos a admirar el ICOSAEDRO

Para construir un icosaedro empezamos por recortar en cartón-pluma tres rectángulos cuyos lados están en la razón áurea. Por ejemplo, 10 cm por 16,2 cm. Luego hay que ensamblarlos formando un triedro rectrángulo. Una manera de construir el triedro es dando unos cortes a los rectángulos como se puede ver en la figura, para que encajen unos con otros. De esta manera se encajan unos con otros. El resultado se puede ver en la foto de más abajo. Esto lo considero muy ingenioso, pues no hace falta usar pegamento alguno. La construcción se completa con un hilo que va pasando por los vértices.









miércoles, 13 de marzo de 2019

Invitación a recuperar la notación de incrementos e infinitésimos



El objetivo de esta entrada es invitar al los profesores y a los autores de los libros de texto de matemáticas de bachillerato a recuperar la notación de los incrementos y de los infinitésimos. Una notación que debemos a Leibnitz.

Esta notación, creo, que facilita hacer las demostraciones de las reglas de derivación, ayuda a comprender las fórmulas de la física. Estando familiarizado con esta notación incluso se podrían  plantear ecuaciones diferenciales elementales a los alumnos de secundaria más aventajados.

 Para colaborar a este fin he redactado una notas elementales que puedan servir de apoyo a profesores y alumnos.

martes, 12 de marzo de 2019

Cuadrado mágico alfabético


Si colocamos en una tabla cuadrada la frase latina "SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS" la misma frase  se puede lleer del dereclo del revés, de arriba a abajo y de abajo arriba, de dercha a izquierda y de izquierda a derechhas.

Para saber más cosas, algunas muy curiosas, sobre este enigmático cuadro VER AQUÏ

domingo, 3 de febrero de 2019

Un juego de adivinación que sirve para introducir el sistema de numeración binario



Hoy traigo a APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS un conocido juego de adivinación basado en el sistema de numeración binario.

El juego consiste en presentar al jugador un conjunto de cinco fichas. Se le invita al jugador a que piense un número secreto del 1 al 31, por ejemplo una fecha de cumpleaños. Luego se le pide que indique las fichas en las que aparece el número que ha pensado. A la vista de las fichas seleccionadas,  el mago inmediatamente averigua el número secreto. ¿Cómo?

Con chicos pequeños puede ser un entretenimiento divertido. Con muchachos un poco más mayores, puede servir, además, para introducir el sistema de numeración binario y algo de combinatoria si se tercia.

A  continuación os dejo un documento con las fichas (que podéis recortar), y la explicación del juego.
Que os divirtáis.

adivinar numeros by on Scribd

viernes, 1 de febrero de 2019

El problema del matemático borracho

Llevo muchos años planteando a mis alumnos de ESO y Bachilleraro el clásico problema del matemático borracho. Nunca obtuve la respuesta correcta. Por eso me he decidido a hacer un vídeo que demuestre la solución también experimentalmente. 

PROBLEMA DEL MATEMÁTICO BORRACHO 

El profesor se presenta ante los alumnos de la clase con una copa de cóctel en la mano, como la de la imagen, y cuenta la siguiente historia:

Había una vez un matemático borracho (que no era yo) que salíó un día de fiesta. Entró en un bar de copas donde ofrecían: "COPA LLENA DE CÓCTEL POR 8 EUROS".
El matemático, que se moría de ganas de beber, pero no llevaba suficiente dinero, le dice al camarero de la barra. 

   - Quiero beber, pero no me puedo pagar una copa entera, así que, por favor, llénamela hasta la mitad.


El camarero lo hace, llenando la copa hasta una altura igual a la mitad de la altura de la copa completa.
El matemático se bebe su media copa tan contento. A la hora de ir a pagar el camarero le dice:

  - Como te llené media copa, me debes 4 euros.

El matemático replica,
- Eso no es justo, ya que la mitad de arriba admite más líquido que la mitad de abajo. Debo de pagar menos.  
La pregunta es: ¿QUÉ CANTIDAD DEBE PAGAR, EN JUSTICIA; EL MATEMÁTICO BORRACHO?

Lo normal es que los alumnos digan cosas como 3 euros, 2 euros y medio, 2 euros, ....
Todos se sorprenden mucho cuando les digo que la respuesta correcta es tan solo 1 euro. 
  
Hay veces, según el interés que hayan puesto los alumnos en resolver el problema, que les planteo en la pizarra: ¿Qué es lo que pasa cuando a un cubo le duplico las longitudes de sus dimensiones?

En el dibujo vemos que, si las longitudes de un cubo se duplican, el volumen del nuevo cubo queda multiplicado por 8. En general, en un cuerpo geométrico, si las longitudes se multiplican por una constante k, el volumen se multiplica por k^3.

Los alumnos más avispados, después de esta explicación, deducen que lo correcto es que el matemático borracho pague sólo 1 euro. Ya que si las longitudes de la copa se reducen a la mitad, entonces el  volumen se reduce a la octava parte.

No obstante, no acaban de creérselo.

VÍDEO

En este vídeo se comprueba experimentalmente que para llenar una copa completa, son necesarias 8 medias copas 
  



REFLEXIONES POSTERIORES

Este razonamiento geométrico tiene implicaciones en la biología. Es muy interesante el planteamiento de la cuestión que hace  Galileo en los Discorsi.


¿Puede existir un animal tan grande como se quiera?
Si el volumen de un animal y, por tanto su peso, crecen según el cubo de sus dimensiones y las secciones de los huesos crecen según su cuadrado, entonces llegará un momento en que los huesos no puedan soportar la presión del peso del animal según va aumentando su tamaño. Galileo se dio cuenta que los huesos deberían ir ensanchandose, como se ve en el dibujo.
¿Qué pasa si el animal en cuestión es un pez que está sumergido en el agua y sufre el empuje del Principio de Arquímedes?




martes, 18 de diciembre de 2018

"Las tres cartas de Teddy", de Elizabeth Silance Ballard. Cuento de Navidad (especial para profesores)

Hoy he leído con mis alumnos de tutoría de 1º de ESO este cuento de Navidad y hemos acabado todos llorando. ¡Qué  importante es compartir emociones!

[ Fuente: Este texto e imagen están tomados de https://elambigudelyoga.wordpress.com/2016/10/05/tres-cartas-de-teddy/]

La maestra de niños y niñas, obra de Morgan Weistling.

Tres cartas de Teddy

Aquella mañana  la señorita Thompson fue consciente de que había mentido a sus alumnos. Les había dicho que ella les quería a todos por igual pero, acto seguido se había fijado en Teddy, sentado en la última fila, y se había dado cuenta de la falsedad de sus palabras.

La señorita Thompson había estado observando a Teddy el curso anterior y se había dado cuenta que no se relacionaba bien con sus compañeros y que tanto su ropa como él parecían necesitar un buen baño. Además el niño acostumbraba a comportarse de manera bastante desagradable con sus profesores. Llego un momento en que la señorita Thompson disfrutaba realmente corrigiendo los deberes de Teddy y llenando su cuaderno de grandes cruces rojas y bajas puntuaciones. Sin duda era lo que merecía por su dejadez y falta de esfuerzo.

En aquel colegio era obligatorio que cada maestro se encargara de revisar los expedientes de los alumnos al inicio de curso, sin embargo la señorita Thompson fue relegando el de Teddy hasta dejarlo para el final. Sin embargo al llegarle su turno, la profesora se encontró con una sorpresa. La profesora de primer curso había anotado en el expediente del chico: “Teddy es un chico brillante, de risa fácil. Hace sus trabajos pulcramente y tiene buenos modales. Es una delicia tenerle en clase.” Tras el desconcierto inicial, la señorita Thompson continúo leyendo las observaciones de los otros maestros. La profesora de segundo había anotado, “Teddy es un alumno excelente y muy apreciado por sus compañeros, pero tiene problemas en seguir el ritmo porque su madre está aquejada de una enfermedad terminal y su vida en casa no debe ser muy fácil.” Por su parte el maestro de tercero había añadido: “La muerte de su madre ha sido un duro golpe para él. Hace lo que puede pero su padre no parece tomar mucho interés, sin no se toman pronto cartas en el asunto, el ambiente de casa acabará afectándole irremediablemente.”. Su profesora de cuarto curso había anotado: “Teddy se muestra encerrado en sí mismo y no tiene interés por la escuela. No tiene demasiados amigos y, a veces, se duerme en clase.”

Avergonzada de sí misma, la señorita Thompson cerró el expediente del muchacho. Días después, por Navidad, aún se sintió peor cuando todos los niños le regalaron algunos detalles envueltos en brillantes papeles de colores. Teddy le llevó un paquete toscamente envuelto en una bolsa de la tienda de comestibles. En su interior había una pulsera a la que faltaban algunas piedras de plástico y una botella de perfume medio vacía. La señorita Thompson había abierto los regalos en presencia de la clase, y todos rieron mientras enseñaba los de Teddy. Sin embargo las risas se acallaron cuando la señorita Thompson decidió ponerse aquella pulsera alabando lo preciosa que le parecía, al tiempo que se ponía unas gotas de perfume en la muñeca. Teddy fue el último en salir aquel día y antes de irse se acercó a la señorita Thompson y le dijo: “Señorita, hoy huele usted como solía oler mi mamá.”

Aquel día la señorita Thompson quedó sola en la clase, llorando, por más de una hora. Aquel día decidió que dejaría de enseñar lectura escritura o cálculo. A partir de ahora se dedicaría a educar niños. Comenzó a prestar especial atención a Teddy y, a medida que iba trabajando con él, la mente del niño parecía volver a la vida. Cuánto más cariño le ofrecía ella, más deprisa aprendía él. Al final del curso, Teddy estaba ya entre los más destacados de la clase. Esos días, la señorita Thompson recordó su “mentira” de principio de curso. No era cierto que los “quisiera a todos por igual”. Teddy se había convertido en uno de sus alumnos preferidos.

Un año después la maestra encontró una nota que Teddy le había dejado por debajo de su puerta. En ella Teddy le decía que había sido la mejor maestra que había tenido nunca.

Pasaron seis años sin noticias de Teddy. La señorita Thompson cambió de colegio y de ciudad, hasta que un día recibió una carta de Teddy. Le escribía para contarle que había  finalizado la enseñanza superior y para decirle que, continuaba siendo la mejor maestra que había tenido en su vida.

Unos años más tarde recibió de nuevo una carta. El niño le contaba como, a pesar de las dificultades había seguido estudiando y que pronto se graduaría en la universidad con excelentes calificaciones. En aquella carta tampoco se había olvidado de recordarle que era la mejor maestra. Cuatro años después, en una nueva carta, Teddy relataba a la señorita Thompson como había decidido seguir estudiando un poco más tras licenciarse. Esta vez la carta la firmaba el doctor Theodore F. Stoddard, para la mejor maestra del mundo.

Aquella misma primavera, la señorita Thompson recibió una carta más. En ella Teddy le informaba del fallecimiento de su padre unos años atrás y de su próxima boda con la mujer de sus sueños. En ella le explicaba que nada le haría más feliz que ella ocupara el lugar de su madre en la ceremonia.

Por supuesto la señorita Thompson aceptó y acudió a la ceremonia con el brazalete de piedras falsas que Teddy le regalará en el colegio y, perfumada con el mismo perfume de su madre. Tras abrazarse, Teddy le susurró al oído: “Gracias, señorita Thompson, por haber creído en mí. Gracias por haberme hecho sentir importante, por haberme demostrado que podía cambiar.”

Visiblemente emocionada, la señorita Thompson le susurró: “Te equivocas, Teddy, fue al revés. Fuiste tú el que me enseñó que yo podía cambiar. Hasta que te conocí, yo no sabía lo que era enseñar.”

Elizabeth Silance Ballard