Noticias de Matemáticas

Loading...

domingo, 25 de enero de 2015

El área de las figuras esféricas. Método de Arquímedes



Una de las obras que se conserva de Arquímedes es una carta a su colega Dosíteo que se titula Sobre la esfera y el cilindro.

Se sabe que este estudio sobre el cilindro y la esfera era el más querido de Arquímedes y que dispuso que en su tumba se esculpiese una esfera dentro de un cilindro

Esta obra se encuenta recogida en el libro "Dios creó a los números . Los descubvrimientos matemáticos que cambiaron la Historia. Edición comentada por Stephen Hawking." Ed. Crítica. Barcelona 2011.

El método utilizado para el estudio del área de la superficie esférica es muy formativo.

Aquí presentamos la exposición de la cuestión tal como viene en el libro de bachillerato de Rey Pastor y Puig Adam, del que hablamos en otra entrada anterior.



Ver también esta entrada en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS
dobre el volumen de la esfera:




¿Qué día de la semana fue?



Fuente: "Al margen de la clase. Amenidades matemáticas" de Rafael Rodríguez Annoni


Este juego puede servir para que los niños se animen a hacer cuentas.


¿Qué día de la semana fue o será?

¿Qué día de la semana fue el día de mi nacimiento? ¿y el de mis hemanos o amigos? ¿En qué día de la semana ocurrió tal o cual acontecimiento histórico?

El lo que sigue vamos a exponer un método sencillo de saber qué día de la semana es una fecha determinada.


Desarrollo del cálculo 

Supongamos que nos dan una fecha: DÍAMESAÑO

Hacemos una suma con los siguientes sumandos:

   - El DÍA elegido
   - Las dos últimas cifras del AÑO elegido
   - La cuarta parte entera del sumando anterior (las dos últimas cifras del AÑO)
   - 3, si el año es anterior a 1900, 1 si es  posterior a 1900 y anterior a 2000 y 0 si es posterior a 2000.
   - El número que corresponda al mes según la siguiente tabla

Mayo … 1
Agosto …2
Febrero, marzo y noviembre … 3
Junio … 4
Septiembre y diciembre … 5
Abril y julio … 6
Enero y octubre … 0

Esa suma se divide por 7. El resto de dicha división  nos indicará el día de la semana con la equivalencia de la siguiente tabla

1 … Domingo
2 … Lunes
3 … Martes
4 … Miércoles
5 …. Jueves
6 … Viernes
0 …  Sábado

EJEMPLO 1: ¿Qué día de la semana fue el 26 de enero de 1959?

Hacemos la suma: 26 + 59 + 14 + 1 + 0 = 100

   - El DÍA elegido --> 26
   - Las dos últimas cifras del AÑO elegido --> 59
   - La cuarta parte entera del sumando anterior (las dos últimas cifras del AÑO)
                          --> 59:4 = 14
   - 3, si el año es anterior a 1900, o 1 si es 1900 o posterior.  --> 1
   - El número que corresponda al mes según la siguiente tabla: --> 0

2º  Dividimos 100 entre 7, se obtiene de resto 2, que corresponde a un LUNES.

EJEMPLO 2

 ¿Qué dia de la semana fue el 27 de enero de 2015?

Hacemos la suma: 27 + 15 + 3 + 0 + 0 = 45

   - El DÍA elegido -->27
   - Las dos últimas cifras del AÑO elegido --> 15
   - La cuarta parte entera del sumando anterior (las dos últimas cifras del AÑO)
                          --> 15:4 =3
   - 3, si el año es anterior a 1900, 1 si es 1900 y antrio a 2000 y 0 si es  posterior a 200.  --> 0
   - El número que corresponda al mes según la siguiente tabla: --> 0

2º  Dividimos 45 entre 7, se obtiene de resto 3, que corresponde a un MARTES.


Comentario

Este juego puede servir para agrupar a los alumnos de una clase, hacer apuesta, o estadísticas, y pasar un buen rato

Una ciuriosidad que he observado es que muchas parejas han nacido el mismo día de la semana con más frecuencia que la que cabría esperar por simple azar.


viernes, 23 de enero de 2015

La longitud de una circunferencia y el área de un círculo. Cálculo de PI por el método de Arquímedes



Un alumno de 4º de ESO o de Bachillerato está en condiciones de entender y disfrutar con una lectura en detalle del método de Arquímedes para rectificar una circunferencia y cuadrar un círculo, aproximando el valor del número pi.

Este tema es muy formativo porque reune ideas fundamentales de geometría, álgebra, límites, y métodos de cálculo numérico utilizando hojas de cálculo.


Descargrar el pdf  AQUÍ




Recursos GEOGEBRA:



La historia de PI (un vídeo de Tom Apostol)






PROPUESTA de trabajo

1. Exponer el tema
2. Escribir una fórmula de recurrencia para la apotema
3. Aproximar pi con una hoja de cálculo a partir del lado del triángulo equilátero.

El "Ludión" o diablillo de Descartes



[Ilustración del libro "Tratado de Física experimental y razonada" de A. Ganot]

El ludión es un juego que ideó Descartes basado en el pincipio de Arquímedes y el principio de Pascal.
Es un sencillo experimento que se puede hacer fácilmente en casa.




El diccionario de la RAE define así LUDIÓN

Ludión.

(Del lat. ludĭo, -ōnis, juglar, por la figurita que suele ponerse de lastre).

1. m. Aparato destinado a hacer palpable la teoría del equilibrio de los cuerpos sumergidos en los líquidos. Es una bola pequeña, hueca y lastrada, con un orificio muy pequeño en su parte inferior, por donde penetra más o menos cantidad de líquido cuando se sumerge en agua, según la presión que se ejerce en la superficie de esta.
Construcción 

Hemos usado: Un clip, una paja, un muñeco recortado lastrado por una grapa y una botella de plástico.



Explicación

Por el principio de Pascal la presión ejercida en la botella se transmite por todo el líquido haciendo entrar agua en la paja que presiona al aire que encierra.
Por aplicación del Pincipio de Aquímedes disminuye la flotación del cuerpo. El empuje de Arquímedes es el mismo, ya que el juguete sigue teniendo el mismo volumen, pero aumenta el peso del juguete al cambiar aire por agua en el interior de la paja.  

Este principio es el mismo que la vejiga natatoria de los peces y lo que hace funcionar los submarinos.



miércoles, 14 de enero de 2015

La paradoja mecánica



La "Paradoja mecánica" es un experimento que sirve para explicar el concepto de centro de gravedad.

La construcción del experimento es muy simple. Se necesita:
1) Unos listones de madera (fáciles de conseguir en cualquier tienda de molduras de madera),
2) Un cilindro (puede ser el eje de un rollo de papel de aluminio) y
3) Dos conos de poliespán que se pegan por las bases (estos conos los venden el las tiendas de manualidades o en almacenes de plásticos).

Lo que se observa es que el cono sube por los listones que forman un plano inclinado, desafiando, aparentemente, la ley de la gravedad.

Para entender lo que está pasando, hay que observar que lo que sube, o baja, es el centro de gravedad del doble cono. Mientras asciende por los listones, el centro de gravedad del bicono está bajando debido a la abertura de los listones..



Otra versión de la Paradoja mecánica en un modelo de madera



Aplicaciciones didácticas

El cáculo de dónde están los centros de gravedad de algunas figuras da origen a muy buenas matemáticas. En proximas entradas nos dedicaremos a ello.

martes, 30 de diciembre de 2014

La geometría del bachillerato (1934) de Rey Pastor y Puig Adam



Esta entrada está destinada a recuperar la memoria de un viejo libro de texto de matemáticas usado a principios del siglo XX.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos otra entrada a recordar la figura de D. Ignacio Suarez Somonte y su original libro de texto de geometría sin figuras ni fórmulas.

Ahora traemos aquí dos libros de Geomertría  para el bachillerato de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam, escritos en 1933.


Como dato de contexto hay que recordar que la República II derogó el Plan de bachillerato hecho durante la Dictadura de Primo de Rivera (Plan Callejo) y volvió a implantar el plan de estudios de 1903. En este plan, la Geometría se estudiaba en el tercer curso del  bachillerato con alumnos de 14 años. (Historia del bachillerato en España)

En el prólogo se explica que los libros son una adaptación hecha por Pedro Puig Adam de unos textos de bachillerato escritos por Julio Rey Pastor para la Argentina.

Hay dos versiones del mismo curso

Elementos y Complementos de Geometría (Colección elemental intuitiva) y otra que se titula Elementos de Geometría Racional en dos tomos, el primero dedicado a la geometría plana y el segundo a la del espacio. Estos últimos son los que aparecen en la imagen de más arriba.

En el libro se estructuran los conocimientos básicos de geometría de una manera muy clara y asequible. Hay algunos temas del tomo 2 que abordan resultados y métodos muy interesantes con más elaboración en los argumentos de las demostraciones. Uno de ellos es el que vamos a poner a continuación como muestra.

Ojalá pronto recuperemos el estudio de la Geometría clásica en la Enseñanza media que serviría muy bien para despertar vocaciones matemáticas

Ver:  Didáctica de la Geometría. Caja de Herrramientas de la geometria clásica

Como muestra ponemos una lección sobre el calculo de áreas en la superficie esférica. Esta lección, además, nos viene muy a propósito en nuestro estudio de Arquímedes. Disfrutad con la exposición.

 Lección 21. El área de las figuras esféricas