Noticias de Matemáticas

Loading...

domingo, 26 de julio de 2015

Una paradoja financiera


Uno de las mejores maneras de entender en profundidad los conceptos y los modelos matemáticos que los relacionan es explicar paradojas.
Aquí os presentamos una paradoja financiera que involucra unas matemáticas muy sencillitas. Sólo hay que saber resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
¿Serías capaz de explicar en dónde está el fallo? 
 
En una ciudad  hay dos constructoras, A y B, que son empresas familares en manos de dos hermanos gemelos. Cada una de ellas posee un edificio de 10 millones de euros.

Asesorados por unos fondos de inversión deciden pasar de ser empresas privadas a ser empresas cotizadas en Bolsa.

Antes de salir a los mercados, y dados los lazos familiares, cada empresa cede el 50% a la otra otra empresa. Debido a la simetría evidente de esta operación, no hay intercambio de dinero.Vaya lo uno por lo otro.

Así que en el momento de salir a Bolsa, cada una de las empresas tiene un edificio de 10 millones de euros y el 50% de las acciones de la otra empresa.

¿Cuál es la valoración de cada una de estas dos empresas?

Si denotamos estas valoraciones (en millones de euros) como VA y VB tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

VA = 10 + 0,5 VB
VB = 10 + 0,5 VA


Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, resulta que

VA = 10 + 0,5 ( 10 + 0,5 VA)
=10 + 5 + 0,25 VA


Por tanto,

0,75 VA = 15
VA  = (15/0,75) = 20

De manera similar, también
 VB  =  20

 O sea, que por el mero hecho de salir a bolsa, el precio de cada una de las empresas es el doble que el valor de los edificios que tiene.


lunes, 15 de junio de 2015

Por qué "Mundo Arquímedes"





Durante este curso hemos etado trabajando con los alumnos de un curso de Cuarto de ESO para crear nuestro MUNDO ARQUÍMEDES, que se ha materializado en un trabajo escrito y en una exposición.  Muchos de los contenidos los habéis ido viendo en este blog. Otros aún están pendientes de subir.

Compartimos la presentación del trabajo, donde se justifica el porqué y el cómo.
Presentación 

Aquí se presenta el resultado de unos meses dándole vueltas a un personaje: Arquímedes. Durante este tiempo unas ideas nos han llevado a otras y cada vez más tenemos el sentimiento de que apenas hemos empezado a conocer algo del tema. Por eso no damos por terminado el trabajo. Esto no ha hecho nada más que empezar.

Santiago Ramón y Cajal en su libro “Los tónicos de la voluntad: Reglas y consejos sobre la investigación científica” decía que “Toda obra grande es fruto de la paciencia y la perseverancia, combinada con la atención orientada tenazmente durante meses, y aun años, a un objeto particular”. De acuerdo con el maestro, estamos convencidos de que uno de los mejores métodos de estimular la inteligencia es tener un tema en la cabeza. Un centro de interés. Al cabo del tiempo, todo lo que nos rodea nos lleva a profundizar más y más en él, a establecer nuevas conexiones. Mientras pulimos nuestras primeras ideas, elaboramos nuestro personal punto de vista. Poco a poco van naciendo ideas originales.

 ¿Por qué hemos elegido a Arquímedes? El físico e historiador de la Ciencia, Lucio Russo, en su trabajo “La revoluzione dimenticata” sostiene que Arquímedes es mucho más que el personaje de las anécdotas graciosas. Arquímedes y algunos de sus coetáneos, como Euclides, Hiparco, Conón, Eratóstenes y Apolonio, son protagonistas de una revolución olvidada que cristalizó en el mundo heleno durante el siglo III antes de Cristo. En ese tiempo se produjo un cambio radical en el paradigma del conocimiento. Una revolución que pudo haber cambiando el rumbo de la Humanidad. Lamentablemente la manera de ver el mundo que tenía Arquímedes se perdió por avatares de la Historia y no se recuperó hasta mucho después con personajes como Galileo y Descartes. En Arquímedes encontramos las ideas fundamentales de la Ciencia. Ese gran fenómeno cultural e ideológico de la Humanidad. Siguiendo la argumentación de Lucio Russo, la Ciencia no es tanto el conocimiento de esto o aquello, sino el método demostrativo que justifica lo observado y lo aplica a la técnica.

Mayo 2015

jueves, 28 de mayo de 2015

Un juego de cálculo mental basado en la ley de la palanca de Arquímedes


El concepto de centro de gravedad es una de las grandes aportaciones de Arquímedes. El equilibrio de masas es la clave de grandes ideas en Matemáticas y en Física 

Con este instrumento se puede comprobar la ley de la palanca de Arquímedes

Potencia x brazo de potencia = Resistencia x brazo de resistencia 



Aplicaciones didácticas

Además, este artilugio sirve para hacer un juego muy divertido para despepertar el cálculo mental.

Uno de los jugadores pone un cierta cantidad de tuercas en un brazo. El ootro concursante tiene que equilibrar la palanca.

Puede hacerse de manera más complicada si se admite poner las tuercas en dos o tres lugares de la barra.





Construcción 

Para la construccición de este aparato se ha utilizado cinta metálica perforada para fijación y tornillería



Sobre lo que se ve en el vídeo se puede mejorar con una rotulación adecuada de los números que intervienen en el juego

martes, 14 de abril de 2015

Una escalera infinita



Fuentes: 

¿Pueden apilarse una serie de ladrillos de modo que algunos de ellos caigan completamente fuera de la base de sustentación?

La respuesta es sorprendentemente que SÍ. Más aún, puede colocarse un ladrillo tan lejos como se desee de la base de sustentación.

Esta paradoja clásica consiste en apilar una serie de ladrillos idénticos en una mesa, como en el diagrama.

Al ir añadiendo más ladrillos como se indica, podemos hacer que la escalera resultante sobresalga todo lo que queramos sin derrumbarse. Una escalera de n ladrillos , cada uno de longitud 2, sobresale una distancia
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n

Como esta serie (la serie armónica) es divergente, se concluye que el úntimo ladrillo puede colocarse tan lejos como se quiera de la base de sustentación.





Veamos en el siguiente vídeo cómo se hace en la práctica. ¡Es sorpendente!!




Una construcción de 900 antes de Cristo basada en este principio



martes, 17 de marzo de 2015

Regla de derivación del producto. Demostración (casi) sin palabras

Como profesor de matemáticas me queda un mal sabor de boca cuando explico las reglas sin justificación.

Para el caso de la regla de la derivación de un producto de funciones ofrezco esta demostración gráfica (casi) sin palabras (proofs without words).

Partimos de un producto de dos factores uv, que es el área del rectángulo pintado de color naranja. Si incrementamos cada uno de los factores, incrementamos el área en tres rectángulos (el azul, el amarillo y el blanco)
Si, ahora, dividimos los dos miembros de esta igualdad por el incremento de la variable independiente, Δx, para hallar la velocidad de crecimiento, resulta

 

Basta hacer un paso al límite cuando Δx tiende a cero para obtener la regla de derivación del producto

 

Ya que el último sumando tiende a cero porque es el producto de un término que tiende a cero, Δu, por otro, v'.

sábado, 21 de febrero de 2015

La copa de Aquímedes



Fuente de la imagen: http://cinicosdesinope.com/ciencias/el-invento-que-regula-la-codicia/


Cuentan que Arquímedes diseñó un vaso para evitar que los invitados a una fiesta abusasen tomando más de una cierta cantidad de vino.



El experimento:

Una botella de plástico a la que hemos cortado por el fondo nos va a servir de copa. En el tapón hacemos un agujero, por el que pasamos un tubo de plástico con el que hacemos un sifón dentro de la botella.  Después sellamos el tapón con pegamento.

Conforme se va llenando la copa se va cebando el sifón. Cuando se ceba por completo el sifón, el agua se descarga.