martes, 21 de febrero de 2017

Obtener la gráfica de la función seno cortando un cilindro



Sobre un cilindro hemos enrrollado una hoja de papel. Después hemos cortado el cilindro de manera oblicua. El resultado del corte, como es conocido, es una elipse. Luego desplegamos el papel y resulta.... La gráfica de una función sinusoidal.

El reto que os proponemos es hallar una demostración analítica de que, en efecto, la curva obtenida es la gráfica de una función sinusoidal.

En unos días aparecerá aquí nuestra respuesta. Se agradecen sugerencias.


domingo, 22 de enero de 2017

Péndulo de Huygens. Una aplicación de las propiedades de la cicloide



En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la curva Cicloide y sus propiedades:
Hemos comprobado experimentalmente que la curva que describe el péndulo de Huygens es precisamente la cicloide. Puedes verlo en el vídeo.

 EL SIGUIENTE TEXTO ES DE MIGUEL DE GUZMAN Y APARECE EN EL LIBRO "AVENTURAS MATEMÁTICAS"  


Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.
 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 
 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 
 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 

que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 
 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.



PARA APRENDER MÁS Y DISFRUTAR DEL GEOGEBRA TE INVITAMOS A VISITAR ESTE TRABAJO DE CARLOS FLEITAS


http://matematicainteractiva.com/pendulo-de-huygens-propiedad-tautocrona-de-la-cicloide


lunes, 26 de diciembre de 2016

"¡Quién te ha visto y quién te ve!" Dos propuestas para animar los problemas de matemáticas



Uno de los retos que se plantean los profesores de matemáticas es proponer problemas que sean atractivos y estimulantes para los alumnos.

Hay propuestas muy conocidas de problemas para "pensar" que tienen algo de reto: Son el modelo de  El concurso de Primavera o Kanguro Matemático.

Aquí presentamos otras dos propuestas:

La primera la titulamos "¡Quién te ha visto y quién te ve!". Consiste en tomar un problema aburrido y mecánico basado en la mera aritmetica en otro más atractivo con soporte gráfico y opciones de ampliación y de investigación.

https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSSXNrVUdib2cxdW8/view?usp=sharing




La segunda propuesta está inspirada en las pruebas PISA. Se parte de un cebo donde se pantea una situación cercana al mundo de los alumnos y, a apartir de ella, se le proponen diferentes cuestiones que se resuelven usando las matemáticas.

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSRG56eTBRcEMzWGs/view?usp=sharing


jueves, 22 de diciembre de 2016

Matemática Gourmet: Significado de la razón de un lado al seno del ángulo opuesto. Interpretación geométrica de la ley de los senos


En APRENDER y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a tratar cuestiones de Geometría clásica.

Si te interesa, en esta entrada puedes leer unas reflexiones sobre la didáctica de geometría y su importancia en la formación matemática


Para rescatar la afición por los problemas de Geometría y el gusto en las demostraciones nos proponemos ir elaborando una colección de vídeos con demostraciones de gemetría al nivel de los alumnos de últimos cursos de la ESO y del Bachilleato.

"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces" Baltasar Gracián


Otras entradas dedicadas a la Geometría:

Entradas dedicadas a la Geometría

Otras entradas dedicadas a la Geometría

jueves, 15 de diciembre de 2016

La braquistocrona y la tautocrana



Ya anteriormente hemos dedicado varias entradas de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS a una curva tan atraciva como es la CICLOIDE.

 
Hemos diseñado un artilugio que permite visualizar las propiedades de la cicloide como curva BRAQUISTOCRONA y como curva TAUTOCRONA.

Para ello hemos recortado una cicloide en un tablero de madera no muy gordo para poderlo cortar con una sierra de marquetería de arco. Hemos pegado una plancha de plástico transparete hasta completar el tablero.
Este montaje lo hemos colocado sobre un soporte de madera de tal manera que el tablero forma un plano inclinado. Al inclinar el tablero logramos relentizar la caida de las bolas que ruedan siguiendo el perfil de la cicloide. Con esta inclinación también conseguimos usar canicas un poco grandes, aunque el tablero es fino.
El usar el plano inclinado no altera las propiedades de la caida libre, ya que lo que hace es sólamente disminuir la componente vertical del peso.

Con la ayuda de unos alumnos de tercero de la ESO, hemos filmado a cámara lenta estos experimentos usando la cámara de un móvil.

BRAQUISTOCRONA

Solatmos dos bolitas en los dos extremos del perfil. Una se desliza siguiedo una recta (hecha con un listoncillo) y la otra siguiendo una de las ramas de la cicloide. La bola que se desliza por la cicloide llega antes.



TAUTÓCRONA 

Soltamos dos bolitas, una en cada rama de la cicloide, desde distintas alturas. Las dos bolitas llegan al mismo tiempo.



PARA SABER MÁS Y DISFRUTAR DE UNA SIMULACIÓN CON GEOBEBRA 

http://www.matematicainteractiva.com/la-cicloide-propiedad-tautocrona

 


miércoles, 9 de noviembre de 2016

Construir un reloj de Sol. Primera parte.


La propuesta es realizar el proyecto de construir un reloj de Sol para practicar la goemetría y aprender un poco de Astronomía.

Preguntas iniciales:

1. ¿Cuál es la latitud y la longitud del punto donde de va a ubicar el reloj de sol?
2. El mediodía solar es la hora a la que el Sol cruza el eje N-S. Es el momento en que el Sol se encuentra en el punto más alto. ¿A qué hora oficial ocurre? (Es necesario conocer la longitud del lugar).

Empezamos por construir un reloj de sol ecuatorial (el más sencillo). He preparado unos esquemas. A partir de ellos y unas explicaciones básicas .... a investigar un poco más y ..... manos a la obra!!!


Las ideas clave:

 - La Tierra gira uniformemente en torno a su eje, dando una vuelta cada 24 horas. La estrella polar está fija, mientras que todos los astros (incluido el Sol) giran alrededor del eje que nos une con la estrella polar.

- Un palo (gnomon) que apunte hacia la estrella polar proyecta una sombra que gira uniformemente sobre un plano paralelo al ecuador.

La propuesta didáctica es meterse de inmediato a hacer ya el reloj de Sol. Haciendo el reloj comprenderemos cada vez mejor el fenómeno astronómico. Se pueden buscar  en internet varios modelos de reloj se sol ecuatorial. Para llevar a la práctica la construcción del reloj solar lo mejor es echar mano de los materiales que tenemos más a mano(cartón, palillos de pincho moruno) Empezaremos por un prototipo. Para inspirarnos vamos a buscar, observar .... Tener un problema en la cabeza.

Pista: En inglés·"reloj de sol" se dice "sundial