sábado, 15 de julio de 2017

Matemáticas gourmet: ¿Dónde está el centro de gravedad del contorno de un triángulo?

FALTA VIDEO



El objetivo de este artículo es mostrar la fructífera relación entre la geometría euclídea y los argumentos mecánicos. En él abordaremos el problema de determinar dónde está el centro de gravedad de un triángulo considerado como un perímetro. Es un homenaje a Arquímedes, padre de la hermandad entre la mecánica y la geometría.

Iimaginemos un triángulo en el que sus lados están construidos con barras de hierro y vacío en su interior, ¿dónde está el centro de gravedad de este triángulo-perímetro?

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSU3BJYWFSMUZ4YmM/view?usp=sharing

lunes, 10 de julio de 2017

Carta a mis alumnos al acabar el curso



Madrid, 6 de junio de 2017

Queridos alumnos:

Al acabar el curso quiero deciros que estoy muy contento de haber podido compartir el tiempo con vosotros. Hemos aprendido cosas bonitas. Hemos pasado buenos ratos. Espero que así os lo haya parecido a vosotros también. Yo he aprendido mucho de vosotros. Como decía Paulo Freire, nadie enseña a nadie, se aprende juntos. Yo siempre recordaré este curso con afecto. Y ahora que nos conocemos, para mi es una suerte ganar vuestra amistad.

Mirar el mundo con ojos matemáticos es muy bonito. Como profesor de matemáticas he intentado tres objetivos. Primero, que os gusten las matemáticas, como me gustan a mi. Segundo, que aprendieses a estudiar matemáticas (que, como os habréis dado cuenta, se aprenden de una manera muy distinta a otras materias) y, tercero, que, como consecuencia de los dos objetivos anteriores, aprendieseis lo más posible de matemáticas ahora y en el futuro. Me hubiera gustado haberlo hecho mejor. Pero, bueno,…. tenemos mucho tiempo por delante para ir mejorando.

Si alguna vez os he dado un mal ejemplo, o si os he herido en algo, o si he sido injusto, ha sido sin querer. ¡Perdonadme!

Este verano leed mucho. Pasaros por alguna librería o visitad una biblioteca y elegid algún libro de Matemáticas que os apetezca leer. A la vuelta de vacaciones me lo contáis. Pero sobre todo, creced en vuestras propias ideas, disfrutad de la amistad, sed curiosos, interpretad el mundo para hacerlo más justo y más bello, cargad las pilas.

Con mucho cariño. Vuestro profe de Mates.

Ángel

jueves, 1 de junio de 2017

Problema de Monty Hall (un trabajo de Daniel y David)


Aquí presentamos en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÄTICAS el trabajo hecho por Daniel Reinosa y David Sampedro, alumnos de primero de Bachillerato. Una explicación muy clara del Problema de Monty Hall. Podéis ver un vídeo y luego leer un texto. Espero que os guste.




Problema de Monty Hall

Imagina que estás en un concurso, el presentador te muestra 3 puertas. Detrás de una de las puertas está el premio principal, un coche. Detrás de las otras 2 puertas hay premios de consuelo, 2 cabras. No tienes forma de saber cuál puerta tiene cada premio, recibirás el premio que esté detrás de la puerta que elijas. Se te pedirá que elijas una puerta, pero antes de abrirla el presentador abrirá una de las otras 2 puertas. Él sabe dónde está el coche, y siempre abrirá una puerta que tenga una cabra. Luego te preguntará si deseas cambiar la puerta elegida, por la otra que aún está cerrada.
La pregunta es: ¿Deberías cambiar de puerta o quedarte con la que elegiste? ¿O no habría ninguna diferencia? ¿Cuál te daría la mayor probabilidad de ganar el coche?
 La mayoría de la gente diría que no habría diferencia entre cambiar o no. Detrás de una puerta cerrada hay una cabra y detrás de la otra puerta cerrada está el coche. Entonces, la probabilidad de ganar el coche es de 50/50 y no habría diferencia entre cambiar o no. Esto suena perfectamente lógico, pero no es correcto.

El problema de Monty Hall es acerca de posibilidades. El problema es fácil de entender, pero la respuesta es contra-intuitiva. ¿Qué deberías hacer?  La respuesta es que SIEMPRE deberías cambiar, porque te da el doble de probabilidad de ganar el coche.
¿Por qué? Hay varias maneras de explicarlo, pero la más simple, es examinando tus posibilidades de ganar el coche para cada elección.  “Cambiar ” o “no cambiar”.
Veamos qué pasa si elijes “no cambiar”. Al comienzo, tenías que elegir una puerta. Como hay tres puertas y sólo 1 contiene el coche, la probabilidad de elegir el coche es de 1/3, o de un 33%. Y como hay 2 cabras, la probabilidad de elegir una cabra es de 2/3, o de un 66%. Si no cambias de puerta no importa cuál de las otras puertas abra el presentador, porque te quedarás con tu primera elección. Y tu probabilidad de haber elegido el coche es del 33%, y la probabilidad de haber elegido una cabra es del 66%

Veamos las consecuencias de cambiar de puerta. Consideremos qué pasaría si por casualidad elegiste el coche por primera vez (un 33% de posibilidades). Es obvio que si elegiste el coche al principio y luego cambias, terminarás con una cabra. Entonces, si cambias ganarás una cabra el 33% de las veces. ¿Qué pasa si al comienzo habías elegido una cabra? Aquí está el centro del problema. Esta vez hay sólo una cabra que el presentador puede revelar, por lo que abrirá la única otra puerta con una cabra. Y luego cambias a la otra puerta cerrada, el coche.

De hecho, cada vez que eliges una cabra la primera vez y luego cambias, ganarás el coche, y las posibilidades de haber elegido una cabra al principio eran del 66%.
Cambiando, tienes un 33% de posibilidades de ganar una cabra (habiendo elegido el coche al comienzo),  y un 66% de posibilidades de ganar un coche (si habías elegido al principio una cabra).
Entonces, siempre deberías cambiar a la otra puerta cerrada. ¿Por qué? Porque si lo haces tendrás un 66% de posibilidades de ganar el coche y sólo un 33% si no cambias. Y eso duplica tus posibilidades

domingo, 28 de mayo de 2017

Solución del problema de Regiomontano


Aquí se pueden ver dos modos de resolver el problema de Regiomontano planteado en la entrada anterior

http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2017/05/problema-de-regiomontanus-problema-de.html

Hay dos soluciones:

- SOLUCIÓN GEOMÉTRICA. Una solución basada en el uso de la geometría, el concepto de aco capaz y el concepto potencia de un punto con respecto a una circunferencia,

 - SOLUCIÓN ANALÍTICA. Otra solución está basada en el concepto de derivada, usando lal función tangente.

sábado, 6 de mayo de 2017

Problema de Regiomontanus. Problema de Cristiano Ronaldo

Una de las mejores maneras de aprender matemáticas es hacer problemas clásicos. A ser posible de varias formas diferentes. De este modo, no sólo se aprenden matemáticas sino que se adquiere un gusto extraordinario, inclusio pasión, por las matemáticas.

Aquí se propone el clásico problema de Regiomontano. De entrada se proponen varias formas de abordarlo. Quizás haya muchas más. En muchos libros viene planteado y resuelto.

He propuesto a mis alumnos de primero de bachillerato el Problema de Regiomontano como desafío. De momento ya tengo alguna respuesta. Pero voy a esperar unos días para poner en este blog las mejores de las que me hagan mis  alumnos.

Biografía de  Regiomontano 





Para los que gustáis de GEOGEBRA podéis visitar este enlace

https://www.geogebra.org/m/nn5WbrDE










domingo, 2 de abril de 2017

La suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es un llano

"La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre un llano."
Este es quizás el primer teorema de geometría que se presenta a los alumnos. Es un teorema que abre la puerta al estilo y la estética de los teoremas de la Geometría. Por eso mismo hay que festejarlo como se merece. Para ello, hemos construido, con piezas de madera y unas bisagras esta construcción que evidencia que, efectivamente, los tres ángulos de un triángulo suman un llano.



Muy conocido es el método de evidenciar el teorema doblando papel.

1. Se pide a los alumnos que hagan un triángulo de papel. Cada uno el que quiera.


 2. Se elige uno de los lados.
3. Se traza (doblando el papel) la altura de ese lado.

4. Se divide esa altura por la mitad. de este modo se señala la paralela a la base por el punto medio de la altura

5. Por esta línea se lleva el vértice opuesto a la basa sobre ella.
 
6. Se llevan los otros dos vértice sobre la base.  

lunes, 13 de marzo de 2017

Los alumnos aprenden a hablar, demostrar y resolver en matemáticas elaborando vídeos

Decía Ludwig Wittgenstein que el jucio es declarativo.  Es decir, que para elaborar un pensamiento lógico es necesario un soporte linguístico. Es por eso que hacer matemáticas es esencialmente expresar razonamientos, comunicar ideas, explicar problemas,.... Lamentablemente, la dinámica de estudiar, sólo para preparar exámenes, no deja mucho espacio a  hacer demostraciones y practicar la comunicación en matemáticas.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos una entrada al libro de Miguel de Guzmán.

 
He propuesto a mis alumnos de primero de bachillerato que hagan vídeos, haciendo algunas de las demostraciones que vamos viendo a los largo del curso. Sorpredentemente esta actividad ha despertado gran pasión en los alumnos que se han puesto a la tarea con mucho gusto. Estoy muy satisfecho del trabajo que han realizado.

No puedo poner todos los vídeos que han hecho mis alumnos, porque harían difícil descargar esta entrada. Sólamente voy a poner algunos de muestra.

Teorema del seno y su interpretación Geométrica



Demostración del teorema del coseno



Demostración del teorema del seno



Los números complejos



Teorema de las cuerdas



Completar cuadrados en la ecuación de una circunferencia



Ecuación reducida de la elipse 

martes, 21 de febrero de 2017

Obtener la gráfica de la función seno cortando un cilindro



Sobre un cilindro hemos enrrollado una hoja de papel. Después hemos cortado el cilindro de manera oblicua. El resultado del corte, como es conocido, es una elipse. Luego desplegamos el papel y resulta.... La gráfica de una función sinusoidal.

El reto que os proponemos es hallar una demostración analítica de que, en efecto, la curva obtenida es la gráfica de una función sinusoidal.

En unos días aparecerá aquí nuestra respuesta. Se agradecen sugerencias.


domingo, 22 de enero de 2017

Péndulo de Huygens. Una aplicación de las propiedades de la cicloide



En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la curva Cicloide y sus propiedades:
Hemos comprobado experimentalmente que la curva que describe el péndulo de Huygens es precisamente la cicloide. Puedes verlo en el vídeo.

 EL SIGUIENTE TEXTO ES DE MIGUEL DE GUZMAN Y APARECE EN EL LIBRO "AVENTURAS MATEMÁTICAS"  


Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.
 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 
 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 
 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 

que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 
 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.



PARA APRENDER MÁS Y DISFRUTAR DEL GEOGEBRA TE INVITAMOS A VISITAR ESTE TRABAJO DE CARLOS FLEITAS


http://matematicainteractiva.com/pendulo-de-huygens-propiedad-tautocrona-de-la-cicloide