domingo, 2 de abril de 2017

La suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es un llano

"La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre un llano."
Este es quizás el primer teorema de geometría que se presenta a los alumnos. Es un teorema que abre la puerta al estilo y la estética de los teoremas de la Geometría. Por eso mismo hay que festejarlo como se merece. Para ello, hemos construido, con piezas de madera y unas bisagras esta construcción que evidencia que, efectivamente, los tres ángulos de un triángulo suman un llano.



Muy conocido es el método de evidenciar el teorema doblando papel.

1. Se pide a los alumnos que hagan un triángulo de papel. Cada uno el que quiera.


 2. Se elige uno de los lados.
3. Se traza (doblando el papel) la altura de ese lado.

4. Se divide esa altura por la mitad. de este modo se señala la paralela a la base por el punto medio de la altura

5. Por esta línea se lleva el vértice opuesto a la basa sobre ella.
 
6. Se llevan los otros dos vértice sobre la base.  

lunes, 13 de marzo de 2017

Los alumnos aprenden a hablar, demostrar y resolver en matemáticas elaborando vídeos

Decía Ludwig Wittgenstein que el jucio es declarativo.  Es decir, que para elaborar un pensamiento lógico es necesario un soporte linguístico. Es por eso que hacer matemáticas es esencialmente expresar razonamientos, comunicar ideas, explicar problemas,.... Lamentablemente, la dinámica de estudiar, sólo para preparar exámenes, no deja mucho espacio a  hacer demostraciones y practicar la comunicación en matemáticas.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos una entrada al libro de Miguel de Guzmán.

 
He propuesto a mis alumnos de primero de bachillerato que hagan vídeos, haciendo algunas de las demostraciones que vamos viendo a los largo del curso. Sorpredentemente esta actividad ha despertado gran pasión en los alumnos que se han puesto a la tarea con mucho gusto. Estoy muy satisfecho del trabajo que han realizado.

No puedo poner todos los vídeos que han hecho mis alumnos, porque harían difícil descargar esta entrada. Sólamente voy a poner algunos de muestra.

Teorema del seno y su interpretación Geométrica



Demostración del teorema del coseno



Demostración del teorema del seno



Los números complejos



Teorema de las cuerdas



Completar cuadrados en la ecuación de una circunferencia



Ecuación reducida de la elipse 

martes, 21 de febrero de 2017

Obtener la gráfica de la función seno cortando un cilindro



Sobre un cilindro hemos enrrollado una hoja de papel. Después hemos cortado el cilindro de manera oblicua. El resultado del corte, como es conocido, es una elipse. Luego desplegamos el papel y resulta.... La gráfica de una función sinusoidal.

El reto que os proponemos es hallar una demostración analítica de que, en efecto, la curva obtenida es la gráfica de una función sinusoidal.

En unos días aparecerá aquí nuestra respuesta. Se agradecen sugerencias.


domingo, 22 de enero de 2017

Péndulo de Huygens. Una aplicación de las propiedades de la cicloide



En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la curva Cicloide y sus propiedades:
Hemos comprobado experimentalmente que la curva que describe el péndulo de Huygens es precisamente la cicloide. Puedes verlo en el vídeo.

 EL SIGUIENTE TEXTO ES DE MIGUEL DE GUZMAN Y APARECE EN EL LIBRO "AVENTURAS MATEMÁTICAS"  


Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.
 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 
 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 
 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 

que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 
 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.



PARA APRENDER MÁS Y DISFRUTAR DEL GEOGEBRA TE INVITAMOS A VISITAR ESTE TRABAJO DE CARLOS FLEITAS


http://matematicainteractiva.com/pendulo-de-huygens-propiedad-tautocrona-de-la-cicloide