domingo, 22 de octubre de 2017

A vueltas con los centros de gravedad y la geometría. El paralelogramo de Varignon y el paralelogramo de Wittenbauer




Aquí os traigo unos bonitos problemas de geometría tomados del maravilloso libro de H.S.M CoxeterFundamentos de Geometría.

(un vídeo de Coxeter explicando la geometría en Escher)





Paralelogramo de Varignon (1654-1722)
a) Dado un cuadrilátero convexo cualquiera, los puntos medios de sus lados son los vértices de un paralelogramo.

b) El área de este paralelogramo es la mitad  de la del cuadrilátero.

c) El centro de gravedad de masas iguales situadas en los vértices del cuadrilátero  es el centro del paralelogramo de Varignon.





Paralelogramo de Wittenbauer (1857-1922)

a) Dado un cuadrilátero convexo, si se dividen sus lados en tres partes iguales, la figura formada por las rectas que unen puntos contiguos es un paralelogramo.

b) El centro de gravedad del área del cuadrilátero original es el centro del paralelogramo de Wittenbauer.



A continuación os pongo mis notas manuscritas resolviendo los dos problemas anteriores. Algunos amigos me han pedido que no las ponga en limpio; que las deje como están. Según ellos así resultan más formativas (son muy generosos).Aunque en cierto modo, creo que les doy la razón. Enseñar matemáticas es básicamente ensdeñar cómo se hacen matemáticas

Paralelogramo de Varignon

   Varignon by Ángel de la Llave on Scribd



Paralelogramo de Wittenbauer


miércoles, 18 de octubre de 2017

Propuestas de la Real Sociedad Matemática Española para el Pacto Educativo



Texto de la comparecencia del Presidente de la Real Sociedad Matemática Española, D. Francisco Marcellán,  ante la Comisión de Educación y Deportes del Congreso de los diputados que tuvo lugar el 24 de mayo de 2017.

UN RESUMEN

TEXTO COMPLETO
Buenas tardes, agradezco en primer lugar a los grupos parlamentarios que han propuesto nuestra comparecencia, así como a la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española por el apoyo que me ha aportado para esta presentación. Es una presentación en la cual habla un presidente de una sociedad científica, pero es el fruto de un trabajo colectivo en el cual esa Comisión de Educación ha jugado un papel central.
Para darles una información general de quiénes somos, porque algunos de ustedes no lo sabrán, la Real Sociedad Matemática Española es una sociedad científica, cuyos fines son la promoción y la divulgación de las matemáticas y sus aplicaciones y el fomento de su investigación, así como de su enseñanza en todos los niveles educativos. Estamos aquí no solamente como sociedad científica sino como una sociedad preocupada por la educación, con un concepto de transversalidad que va más allá de las divisiones usuales en el sector educativo: primaria, secundaria, formación profesional y universidad.
Nuestra sociedad fue creada en 1911, en una época en la que el país bebía de la que se llamaba la edad de plata de la ciencia y la cultura y la mayoría de sus socios son profesores universitarios, investigadores, así como profesores de enseñanza secundaria. Un porcentaje significativo de ellos imparten docencia en el grado de Maestro de Educación Primaria o en el máster de Formación del Profesorado de Secundaria. Nuestra vinculación con los docentes en todos los ámbitos educativos está perfectamente definida.
En la estructura organizativa de la Real Sociedad Matemática Española existen dos comisiones que se ajustan perfectamente al perfil de esta comparecencia: una Comisión de Educación, de la que hablaré después con más detalle, y una Comisión de Olimpiadas que lleva a cabo la tarea de atraer para detectar talento entre los estudiantes de secundaria y bachillerato. La Real Sociedad Matemática Española no es una singularidad, puesto que desarrolla actividades y colabora de manera habitual con otras sociedades matemáticas españolas y de otros muchos países. Pertenecemos a la European Mathematical Society (EMS), así como también al Comité Español de Matemáticas (Cemat), adherido a la Unión Matemática Internacional (IMU), que es la organización donde confluyen todas las sociedades y organismos matemáticos de España. De hecho, he de indicarles que yo soy el presidente del Cemat. Voy a hablar con el gorro de la Real Sociedad Matemática Española, pero también les puedo decir que muchas de las reflexiones que vamos a poner sobre la mesa están vinculadas al Cemat. A través del Cemat, estamos vinculados a la mayor institución a nivel mundial de las Matemáticas, la International Mathematical Union (IMU), y a su vertiente educativa, la Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemática (ICMI). La marca España está muy presente en estas dos organizaciones, a través de la organización del Congreso de la ICMI en Sevilla y del Congreso Mundial de Matemáticas, que se celebró en Madrid en 2006. España y sus matemáticos y matemáticas son bien conocidos en la comunidad internacional. Las matemáticas son una materia central en todos los sistemas educativos del mundo por dos razones: primero, por su carácter formativo, y segundo, por su carácter instrumental que se modela en crecientes aplicaciones en muy diversos ámbitos del conocimiento y del desarrollo de un país.
Mi comparecencia va a tener tres grandes bloques: un primer bloque va a tratar de los principios básicos, en los cuales voy a articular mi presentación y a continuación me centraré en dos aspectos que, a juicio de nuestra sociedad, son claves como la formación inicial y permanente del profesorado de primaria y también la formación del profesorado de ESO y bachillerato. Estos principios sobre los cuales voy a insistir son principios que vienen de la matemática, pero tienen una vocación universal.
El primer principio se refiere a que el aprendizaje de las matemáticas o, si se quiere, el desarrollo de la competencia matemática, tiene como ingredientes esenciales el pensamiento, el razonamiento y la resolución de problemas. Creo que es importante que esto lo tengamos claro, porque si este principio no se respeta, nos podemos encontrar con una disfuncionalidad en la concepción que se tiene de las matemáticas, ya que si no formamos personas competentes en matemáticas se genera en buena parte del alumnado una actitud negativa hacia una materia que, en primer lugar, es difícil, y lo más grave, es que no se entiende. Un potencial riesgo —es otro principio básico— es que la enseñanza de las matemáticas se reduzca a procedimientos y rutinas; esa distorsión entre pensar y aplicar miméticamente recetas que van en contra de la esencia de las matemáticas.
Un segundo planteamiento que queríamos destacar como principio básico, sin negar la importancia de los planteamientos didácticos y metodológicos que todo docente debe conocer y considerar como algo básico en su desempeño profesional, pretende poner el acento en la necesidad de la formación matemática adecuada del profesorado. Yo siempre defiendo el siguiente concepto: se enseña lo que se sabe, se enseña lo que se ha reflexionado, porque en ese proceso uno aprende también las dificultades que puede percibir el receptor de esa información.
El tercer principio se refiere a la valoración de las metodologías activas, que potencian la participación de los estudiantes en su proceso de aprendizaje. Queremos destacar que la extraordinaria abundancia de información accesible y recursos disponibles, superando el paradigma de que todo estaba en el libro de texto, hace más necesaria la existencia de un profesor que conozca y sea capaz de seleccionar cuáles son los contenidos más adecuados para el alumnado.
El cuarto principio hay que resaltarlo porque es un principio importantísimo. La detección y fomento del talento matemático son objetivos que históricamente ha asumido la Real Sociedad de Matemáticas Españolas, desde que en 1964 se desarrolló la Olimpiada Matemática Española. Estas olimpiadas que se realizan a nivel nacional, tienen su continuidad con la Olimpiada Matemática Iberoamericana, la Olimpiada Matemática Internacional y recientemente la Olimpiada Matemática Europea destinada a mujeres. Hemos visto que en matemáticas el techo de cristal hay que romperlo. Para ello, hay que estimular políticas positivas para las mujeres, porque las grandes matemáticas que ha habido han tenido que superar ese techo de cristal fruto de una masculinización de las ciencias, que el caso de las matemáticas ha sido unos elementos característicos hasta mediados del siglo XX. A modo de ejemplo les puedo señalar que un país como Brasil organiza unas olimpiadas, similares a la nuestra, donde participan medio millón de estudiantes, mientras que en primaria el número que participa en las olimpiadas es de dieciséis millones. Hay posibilidad de detectar talento entre dieciséis millones, si participan de una manera activa los estudiantes del sistema público brasileño.
A nuestra sociedad le preocupa que la atención a la diversidad en el sistema educativo español siga sin desarrollarse de manera adecuada. Esa diversidad requiere, por una parte, necesariamente de un reducido número de estudiantes por aula, y por otra parte, que la excesiva heterogeneidad no dificulte la tarea del profesorado para acompañar el aprendizaje de todos los estudiantes. Ese carácter inclusivo y de respeto a la diversidad debe primar la equidad, pero también el reconocimiento y talento que son elementos importantísimos que no solo definimos nosotros, sino que en el informe PISA están presentes de una manera continuada.
El quinto y último principio básico se refiere a los experimentos que se han lanzado, a través de reválidas o pruebas externas, incluidas las pruebas de acceso a la universidad. Queremos trasladar a la Comisión nuestra constatación de que el curso académico anterior a la celebración de las pruebas correspondientes se dedica única y exclusivamente a preparar la prueba. Dado que estas suelen estar muy estandarizadas, creemos que de estos procesos se deriva un empobrecimiento de la enseñanza de estos cursos, porque prima que los estudiantes vayan bien preparados, ante el propio hecho de un adecuado aprendizaje. Estos cinco principios pueden sentar las bases de cuál es nuestra aproximación al papel de las matemáticas en el sistema educativo.
Paso a continuación a desarrollar nuestra concepción del currículum de matemáticas globalmente en el sistema no universitario. En primer lugar, la participación de la comunidad educativa, y en concreto del profesorado, es un elemento clave a la hora de proponer cambios curriculares. Aquí hay un principio en el que me gustaría insistir: sin complicidad de los agentes educativos, las posibilidades de éxito de cualquier proceso de renovación se pueden desvanecer dramáticamente.
En segundo lugar, hay otro elemento que es importante destacar. Los currículos españoles de las asignaturas de Matemáticas son en general muy extensos, en nuestra opinión. Por querer completar el programa puede ocurrir que se ponga más énfasis en los procedimientos de cálculo, que en el razonamiento y la creatividad. Además, son procedimientos muy atomicistas, ya que en muchos casos se reducen a conceptos y procedimientos de cálculo aislados y no se fomenta la integración y aplicación de los mismos; en resumidas cuentas, la receta como consecuencia del aprendizaje de las matemáticas. En este sentido, nuestra propuesta va en la línea, siguiendo las recomendaciones de la OCDE, de reducir la cantidad para ganar en calidad.En tercer lugar, hay un elemento típico en nuestro sistema educativo, que es la enseñanza en espiral, por el cual en cada año se vuelve sobre conceptos del curso anterior, quizás con mayor profundidad, pero tiene el riesgo de que haya contenidos que se repitan igual que en el año anterior sin más profundización. Como Real Sociedad Matemática Española, les puedo indicar que estamos desarrollando un programa con la Comunidad de Madrid que está teniendo un gran éxito, en la medida en que durante los dos últimos años nos ha permitido, primero, incrementar el interés de los profesores, pero también debatir colectivamente, en un marco que va más allá del seminario concreto del centro escolar, las experiencias didácticas de mejora de la comprensión y la interpretación de las matemáticas.
Siguiente nivel educativo, ESO y bachillerato. Saben ustedes que para acceder a estos niveles es necesario un máster en formación del profesorado que, por su propia estructura, no puede completar las lagunas de formación y madurez matemáticas que tiene un número significativo de estudiantes en España. ¿Tiene sentido que tal alumnado supere el máster con ese déficit de conocimientos? ¿Ese es el tipo de profesorado que queremos preparar? Pensamos que es el momento de tener en cuenta los estudios que han ido apareciendo en estos años sobre ese perfil del profesorado, y revisar para darle mayor eficacia la estructura del máster y su relación con la oposición, así como la contratación de profesores interinos y la contratación en centros concertados y privados. Aquí ha surgido de manera sistémica la cuestión de un MIR educativo, que aparece de manera permanente en programas electorales, pero que no se ha llegado a concretar. Proponemos que en el transcurso del máster haya prácticas extensas e intensas y remuneradas que mejorarían notablemente la situación actual. Y creo que es importante señalar que la diversa formación de origen que existe entre el profesorado, la adaptación a cambios de calado con la aparición de nuevas tecnologías y las metodologías activas en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como las propuestas de cambio que hemos enunciado en el epígrafe de los currículos, hacen imprescindible ofrecer posibilidades de actuación real y no meramente formal al profesorado.
Resumiendo, unos ejes que consideramos importantes en el caso de las matemáticas: una concreción en los currículos y una acentuación del papel fundamental que juega el profesorado en los niveles educativos. Creo que es muy importante que los responsables de las políticas, pero también los profesores, no vivan aislados en su cajita sin conocer las realidades del nivel precedente. Yo soy profesor de universidad, doy clase en 1.º y las deficiencias de mis alumnos en matemáticas las achaco a una deficiente formación en matemáticas adquirida en el bachillerato. Pero los canales de comunicación con los profesores de secundaria, ¿saben ustedes cómo vienen? Por las pruebas de acceso a la universidad, por esa prueba. En el caso de secundaria ocurre exactamente lo mismo; las deficiencias matemáticas se adjudican a los defectos de la educación en primaria. ¿Existe una relación sistémica entre los profesores de secundaria y los de primaria? En modo alguno. Vivimos en un sistema educativo compartimentado y en el cual es necesaria una visión integral para detectar los problemas, que no son problemas singulares, sino que obedecen a un flujo importante.
Y a modo de conclusión, pensamos que España, nuestro país, tiene condiciones adecuadas para elaborar un buen sistema educativo comparable al de los países con mejores resultados en este ámbito. Pero para ello hacen falta, en primer lugar, una auténtica voluntad social y política que sitúe la cuestión educativa como prioritaria y en el centro del debate; en segundo lugar, recursos suficientes y propuestas con ideas claras, pero también políticas estables en el tiempo que tengan una visión de futuro. Como Real Sociedad Matemática Española brindamos nuestra colaboración para este apasionante trabajo que ustedes están llevando a cabo, la invitación a la sociedad civil para que se pronuncie en líneas de mejora en un tema que para nuestro país es fundamental. Consideramos al igual que organizaciones como la OCDE o la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, que el aprendizaje de las matemáticas es una necesidad indispensable para formar una ciudadanía adecuada en el siglo XXI en la llamada sociedad del conocimiento. Apelamos a los partidos políticos a priorizar un debate académico y, en algunos casos, a poner el interés en el futuro del país que representan las nuevas generaciones por encima de otras consideraciones. Estimamos deseable que en esta ocasión se llegue a un consenso necesario para avanzar en cuestiones que requieren respuestas urgentes. Y en ese sentido, reitero la disponibilidad de nuestra sociedad para que, desde nuestra capacidad de reflexión, transversalidad y comprensión global del sistema educativo, acepten nuestras reflexiones y nuestra colaboración en la mejora de nuestro sistema educativo en todos sus niveles.
Muchas gracias por su atención.

viernes, 6 de octubre de 2017

La psicosis por los exámenes



La psicosis por los exámenes vuelve corregida y aumentada.

¡Peligro! el perfil del profesor-examinador-examinado puede acabar privando a los educadores de la perspectiva necesaria para entender el papel de la escuela, desvirtuar la cultura y borrar la didáctica.


Las reválidas desaparecieron del sistema educativo español con la Ley General de Educación de 1970 siendo sustituídas por el concepto de enseñanza personalizada y evaluación continua. A pesar de ello, después de un par de generaciones, nuestro sistema educativo sigue traumatizado por los exámenes y parece no haberse recuperado. A mi jucio sucede con este tema algo parecido a lo que ilustra esta historia de monos y bananas

Ya, a finales del siglo XIX, en un artículo de 1894, planteaba Francisco Giner de los Ríos el dilema “O educación o examen” [1].
"El maestro, esclavizado a una tarea servil, no puede consagrar lo mejor de sus fuerzas a aquello que más responde a su vocación y que él realizaría con superior desempeño, sino a ese ideal de satisfacer a los examinadores: todo lo demás es perjudicial, o cuando menos artículo de lujo, a que no hay tiempo ni posibilidad de atender. Mientras tanto, por su parte, el discípulo tiende a encogerse de hombros ante la idea nueva, la investigación original, el punto de vista personal y fresco, que es lo único que puede despertar su interés, abrir su espíritu, dilatar su horizonte, fortalecer su inteligencia y su amor al saber y al trabajo. ¿De qué sirve todo esto en un examen? […] Si por examen se entendiese la constante atención del maestro a sus discípulos para darse cuenta de su estado y proceder en consonancia, ¿quién rechazaría semejante método sin el cual no hay obra educativa posible? Pero justamente las pruebas académicas a que se da aquel nombre constituyen un sistema en diametral oposición con ese trato y comunión constante. Pues, donde esta existe, aquel huelga, y, por el contrario, jamás los exámenes florecen, como allí donde el monólogo diario del profesor pone un abismo entre él y sus alumnos.[...] La enseñanza es función viva, personal y flexible."
 La situación que comentaba Giner no cambió mucho en el siglo XX.

Para los curiosos, en el siguiente párrafo se aportan algunos datos muy relevantes que ejemplifican la hipertrofia de exámenes que se ha padecido en España y explican el trauma nacional.

Por ejemplo, en el curso 1965_66, la distribución del alumnado de bachillerato en España, según el Libro Blanco de la Educación de 1969 [2], era así: alumnos oficiales 179.487; alumnos colegiados 366.807; alumnos libres 287.996. Los alumnos colegiados cursaban estudios en centros homologados, generalmente religiosos, y acudían a los Institutos públicos a hacer las reválidas de grado y los exámenes de ingreso. Los alumnos libres, estudiaban en casa o en "academias de piso" y debían ir a examinarse de todas las materias de cada curso al Instituto al igual que los alumnos oficiales. Esta situación se mantuvo de manera semejante hasta los años ochenta, en que culminó la implantación del BUP. Para hacerse una idea de la hipertrofia que suponía examinar a todos estos alumnos (libres, colegiados y oficiales) voy a dar unos datos del curso 1972_73 del Instituto de bachillerato del Cardenal Cisneros de Madrid [3]. En aquella época el Instituto “Cardenal Cisneros” tenía un total de 28.408 alumnos, que se desglosaban en 1.421 oficiales, 25.111 colegiados y 1.876 libres. ¿Os imagináis que un claustro como el del “Cisneros” de entonces (de 45 profesores) tuviese que examinar en junio y septiembre de todas las asignaturas a los alumnos oficiales y los libres (3.277 alumnos) y del examen de ingreso y las reválidas de 4º y 6º de bachillerato a todos los alumnos, incluyendo también a los 25.111 colegiados? No es de extrañar que el sistema haya resultado traumatizado por semejante experiencia. Según estos datos un profesor no hacía otra cosa que poner y corregir exámenes de manera obsesiva a alumnos que no conocía. Por otra parte, el sistema en su conjunto resultaba ser completamente selectivo y asumía esta misión con naturalidad. Para hacerse una idea de la criba que suponía el sistema de reválidas, basta observar estos datos tomados, de nuevo, de El Libro Blanco de la Educación: De cada 100 alumnos que iniciaron la enseñanza primaria en 1951 (con 6 años), llegaron a ingresar 27 en la enseñanza media; aprobaron la reválida de bachillerato elemental 18 y, de ellos, 10 la de bachillerato superior; de los titulados en bachillerato, aprobaron el curso preuniversitario 5; y sólo 3 alumnos, de los 100 iniciales, culminaron sus estudios universitarios en 1967. Esta situación resultaba especialmente cruel porque la selección se cebaba en las clases sociales populares y en determinados territorios. De 100 niños hijos de obreros que iniciaban primaria cursaban enseñanza media 4,2 y enseñanzas superiores 0,2. Mientras, que de 100 niños hijos de directivos que iniciaban primaria, 71,9 cursaban enseñanza media y 14,2 enseñanzas superiores. El desequilibrio territorial también era muy elocuente. En zonas urbanas el porcentaje de la población con estudios medios o superiores era del 7,8%, mientras que en las zonas rurales sólo del 1,6%. La situación de desequilibrio se agudizaba más si se comparan unas regiones con otras. Por ejemplo en Madrid o Salamanca había casi 60 estudiantes universitarios por cada 10.000 habitantes, mientras que en Cádiz o Hueva eran sólo 12.

Con La Ley General de Educación de 1970 se cambia la identificación de enseñanza con preparación de exámenes y se incorporan aspectos relacionados con la didáctica, la tutoría y la educación compensatoria. D. Víctor García Hoz, el padre pedagógico de la Ley de Educación del 70, en su libro “La Educación en la España del siglo XX, escribe un capítulo que titula "La psicosis nacional por los exámenes" en el que podemos leer:
"Alguien dijo que con este plan [el de 1953] el Examen de Estado había desaparecido para quedar establecido el «estado de examen». Porque, efectivamente, una psicosis de examen se iba a apoderar de toda la clase media y de una buena parte de la clase popular afincada en las grandes poblaciones. [...] Parece como si los legisladores estuvieran preocupados únicamente por el modo de realizar los exámenes, como si lo demás no importara nada. Claro está que las formas de evaluación, concretamente los exámenes, condicionan y casi determinan la organización de las actividades y la utilización de unas u otras técnicas docentes. En España, la sucesiva legislación sobre exámenes, yendo toda ella, según sus autores, a suprimir la enseñanza memorística, lo que hicieron fue irla reforzando progresivamente. A pesar de todo, podemos sentirnos optimistas una vez más, pensando que el estímulo hacia la evaluación continua, iniciada a raíz de la Ley de 1970, y la aceptación de la promoción natural, facilite la introducción de contenidos y técnicas de enseñanza y aprendizaje que sean en verdad elementos de formación personal para los estudiantes."
 No hay que perderse la opinión tan negativa que tenía Pedro Puig Adam sobre una enseñanza de las Matemáticas que toma como referencia los exámenes. Opinión que expresa claramente en este párrafo tomado de su artículo "El valor formativo de las Matemáticas" [5]:
 "Es muy difícil ser buen educador y buen preparador a un tiempo. Admitido que el prestigio de los Centros de enseñanza esté involucrado al éxito de sus alumnos en ciertos exámenes; los profesores de los mismos tenderán fatalmente a fabricar con la materia prima de su alumnado un producto artificial adecuado a las mencionadas pruebas, sacrificando si es preciso los valores auténticamente formativos y aun la salud física y mental del alumno, quizás sin darse cuenta de ello. Sé que el mal tiene muy difícil remedio. pero no me parece imposible la humanización del régimen de pruebas mientras no sea alcanzable el ideal de la supresión de ellas, o lo que es lo mismo, convertir en prueba única la vida entera del escolar. "
Como muestra de otras opiniones en esta línea, recojo este párrafo tomado del libro "La Enseñanza en España" de 1969 [6]
“Las consecuencias negativas del sistema [de reválidas] son gravísimas para el niño porque rebasan con mucho el aspecto académico para afectar la esencia misma de su formación humana: la ciencia, la cultura, las adquisiciones más costosas y nobles del saber humano le son mostradas en una perspectiva completamente deformada, como fuente de angustia y no de enriquecimiento, lo que dejará en él una huella decisiva . El amor a la verdad, los hábitos de reflexión y análisis no sólo no se fomentan sino que se evitan como contraproducentes.
Y sobre todo se le inicia, en su más temprana infancia, a la picaresca y al truco, a la hipervaloración de la suerte sobre el esfuerzo, en una palabra a la inmoralidad, le enseña a adaptarse a la injusticia  y vivirla como un fenómeno natural. El sistema [de las alumnos libre] hace que los profesores no puedan funcionar realmente como tales, sino como personas que ayudan a preparar un examen. Ni el centro, ni los profesores pueden asumir función educadora alguna. Ni siquiera enfocar didácticamente las materias que explican de un modo mínimamente creador,
¿Nos estamos cargando la Ciencia con una enseñanza basada sólo en exámenes?

Albert Einstein también comentaba en sus Memorias [7] la mala experiencia que supusieron para él una enseñanza basada en exámenes.
 […] para los exámenes había que embutirse todo ese material en la cabeza, quisieras o no. Semejante coacción tenía efectos tan espantosos, que tras aprobar el examen final se me quitaron las ganas de pensar en problemas científicos durante un año entero. He de decir, sin embargo, que en Suiza sufríamos menos que en muchos otros lugares bajo esta coerción que asfixia el verdadero impulso científico.
[…] En realidad es casi un milagro que los modernos métodos de enseñanza no hayan estrangulado ya la sagrada curiosidad de la investigación, pues, aparte de estímulo, esta delicada planta necesita sobre todo de libertad; sin ésta se marchita indefectiblemente. Es grave error creer que la ilusión de mirar y buscar puede fomentarse a golpe de coacción y sentido del deber. Pienso que incluso a un animal de presa sano se le podría privar de su voracidad si, a punta de látigo, se le obliga continuamente a comer cuando no tiene hambre, y sobre todo si se eligen de manera conveniente los alimentos así ofrecidos.

(A. Einstein, Notas autobiográficas, Madrid, Alianza, 1984, págs. 21-22.)
 Santiago Ramón y Cajal escribió un libro fabuloso: "Reglas y consejos a los investigadores científicos. Los tónicos de la voluntad". El Nobel viene a decir que la investigación científica y el desarrollo de la inteligencia se basa en estar pensando mucho tiempo sobre la misma cosa. Tenazmente, con sosiego.

“Toda obra grande es fruto de la paciencia y la perseverancia, combinada con la atención orientada tenazmente durante meses, y aun años, a un objeto particular”. 



De acuerdo con el maestro Cajal, estamos convencidos de que uno de los mejores métodos de estimular la inteligencia es tener un tema en la cabeza. Un centro de interés. Al cabo del tiempo, todo lo que nos rodea nos lleva a profundizar más y más en él, a establecer nuevas conexiones. Mientras pulimos nuestras primeras ideas, elaboramos nuestro personal punto de vista. Poco a poco van naciendo ideas originales. Se gana la personalidad y el criterio.

Tenemos que ser conscientes de que cuando ponemos toda nuestra atención en preparar exámenes (olvidando los aspectos profundos)  les mandamos  a los jóvenes  mensajes tan nocivos como  estos:

1) No estudies problemas laboriosos. En un examen no te los pueden poner porque no da tiempo a hacerlos en una hora. Las cosas de pensar no entran.
2) Si no sabes una pregunta pasa a otra. No pierdas el tiempo dándole vueltas a las cosas. Adiós a la investigación científica.
3) No repases. No repienses. No te asegures de que lo que dices es correcto. Es preferible hacer las cosas para salir del paso, aunque sean falsas, estén regular o imcompletas.
4) Estudia para los globales. No profundices. No amplíes. Aprende sólo un poquito de cada cosa, siempre por encima, para aparentar que sabes.
5) No leas los libros completos, solo los resúmense. No deduzcas las fórmulas, solo aplícalas. No hagas experimentos. Cuando tengas dudas no preguntes,.... o mejor no te plantees dudas.
6) Tú limítate a memorizar la fórmula. Aplícala aunque no la entiendas.
7) Las demostraciones no entran. Son perder el tiempo. Adiós al pensamiento sutil.
8) Los experimentos no entran. Los trabajos con tecnologías nuevas  no entran.
9) Vale engañar,siempre que no te pillen. Lo importante son los resultados. Reclama, protesta, presiona a los profesores. No es la "cultura del esfuerzo", es la "cultura de la trampa" lo que se incentiva.
10) No busques bibliografía, ni elabores apuntes, no acopies información. En los exámenes no te dejarán consultar nada. Sólo memoriza.
11) No valores el trabajo del profesor y del grupo. Lo importante es la nota que sacas.Hasta la fecha del examen no hay nada que hacer en clase.
12) Merece la pena protestar las notas, intimidar a los profesores, coaccionarlos. Todo vale para aprobar.

Y lo grave es que los errores de didáctica y pedagogía se tapan con autoritarismo y "mal rollo", lo que hace que las relaciones entre los miembros de la comunidad escolar se vuelvan tóxicas.

Cuando veo a los chicos correr como pollos sin cabeza intentando memorizar unos apuntes minutos antes del examen me da mucha pena. No me imagino a Don Santiago Ramón y Cajal, todo angustiado, hasta las orejas de Redbull, corriendo con el microscopio de un lado para otro. ¿Os imagináis a Menéndez Pidal paseando nervioso con el Poema deMio Cid en la mano? Yo me los imagino tranquilos, sentados en una mesa, rodeados de papeles y de libros,  haciendo un trabajo paciente y concienzudo.


Mi experiencia de haber trabajado en centros de Formación Profesional, me pone como referencia el modelo de "aprender haciendo" tal como se hace trabajando a diario en un taller. En Formación profesional se acreditan las competencias trabajando sistemáticamente en un taller, no con exámenes.

En un taller:

• Se da con naturalidad la motivación por el logro.
• Se aprende de los errores, sin frustración.
• Se aprende con gusto observando e imitando a los maestros.
• Se aprende haciendo con los demás, en equipo.
• Se intenta mejorar los métodos a partir de prototipos.
• Se procura ir más allá. Una cosa lleva a otra. Se profundiza.
• Se pone atención en lo que se está haciendo.
• Se valoran las herramientas nuevas.
• Siempre se está aprendiendo a partir de lo que ya se sabe.
• Hay que hacer las cosas cada vez mejor. Se evitan las chapuzas.
• Todo el mundo tiene su sitio. Es fácil la integración y la educación inclusiva.
• No es necesaria una disciplina estricta. La normas  del taller son el buen funcionamiento. Se aceptan con naturalidad. El ambiente es natural y positivo.


LA PSICOSIS POR LOS EXÁMENES NO FOMENTA LA "CULTURA DEL ESFUERZO", SINO LA "CULTURA DE LAS TRAMPAS".













Algunas referencias al debate sobre las pruebas estandarizadas en Estados Unidos

Para terminar, algunas referencias a la polémica que se ha dado al respecto de las pruebas estandarizadas del programa No Chield Left Behind en Estados Uniodos.

La competencia entre centros y las pruebas standarizadas ha traído la cultura de las TRAMPAS y de la insolidaridad (que NO la cultura del esfuerzo)

http://edition.cnn.com/2011/OPINION/07/13/jackson.schools.cheating/index.html


También han traído el deterioro de la formación del profesorado y el empobrecimiento de la enseñanza de las Matemáticas y la Ciencia, según la American Mathematical Society

http://www.ams.org/notices/201306/rnoti-p763.pdf

Lo dice el New York Times: La obsesión por los exámenes es un problema:

 

 Con la llegada de la LOMCE se ha sumado al tradicional trauma nacional por los exámenes las teorías neoliberales de los rankins competitivos entre centros y profesores. Una mezcla muy preocupante si la juntamos con la mediocridad de los gestores.

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[1] Obras selectas de Francisco Giner de los Ríos. Edición de Isabel Pérez-Villanueva Tovar. Austral-Summa,
2004
[2] La Educación en España. Bases para una política educativa. Ministerio de Educación y Ciencia, 1969.
[3] El Instituto del cardenal Cisneros. Crónica de la enseñanza secundaria en españa (1845-1976). Gloria
González y Begoña Talavera. 2014.
[4] La educación en la España del siglo XX. Víctor García Hoz. Editorial Rialp, 1980.
[5] El valor formativo de las Matemáticas en laEnseñanza Secundaria. Pedro Puig Adam. 1951.
[6]  "La enseñanza en España" Colección EBRO. 1969.
[7] A. Einstein, Notas autobiográficas, Madrid, Alianza, 1984, págs. 21-22.)

domingo, 24 de septiembre de 2017

Matemáticas Gourmet: Raíz de 2 es un número irracional (una demostración aritmética y otra geométrica)


Recuerdo que Miguel de Guzmán decía  que hay algunas demostraciones sencillas cargadas de profundidad matemática que había que regalar a los alumnos de educación secundaria (aunque no entren en los exámenes). Una de estas joyas es la demostración de la irracionalidad de la raíz de dos.

Usando la raíz de dos como pretexto, se puede sacar mucho partido para apreder verdaderas matemáticas "gourmet". Demosstrar que la raíz de dos es un número irracional es una excelente introducción al razonamiento por reducción al absurdo y al método del descenso infinito y una manera de compreder el significado de la recta real.

Hay una buena recopilación de demostraciones de la irracionalidad de la raíz de 2 en estas entradas Gaussianos.
 Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2

Una demostración geométrica de la irracionalidad de raiz de 2

En el siguiente documento hemos expuesto dos demostraciones de la irracionalidad de la raíz de dos. Están redactadas para que las puedan entender alumnos de primero de bachillerato. La primera  demostración es la más conocida. Se basa en la teoría de múltiplos y se basa en el método de reducción al absurdo. Esta demostración, era frecuente encontrarla en muchos libros de texto. Hoy en día, no tanto.

La segunda demostración es geométrica. Y lo que demuestra es la incomesurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado. Está básicamente copiada del clásico libro Geometría Métrica de Pedro Puig Adam. La exposición del maestro es insuperable e introduce el método del descenso infinito.

Como curiosidad histórica esta demostración de la incomesurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado le costó la vida al pitagórico, que con esta evidencia, echaba por tierra la creencia de que todas las medidas podían expresarse mediante uana unidad común.


https://es.scribd.com/document/359772463/Raiz-de-2-Es-Un-Numero-Irracional






jueves, 10 de agosto de 2017

Dodecálogo de un docente (de matemáticas), del Prof Luis Balbuena Castellano


En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS  ya hemos recogido

Hoy taremos a este blog en dodecálogo de un docente (de matemáticas) de nuestro admirado profesor Luis Balbuena Castellano. [Fuente: Diario de las Palmas, 3 de junio de 2017]

He tratado de sintetizar en este dodecálogo algunos principios. Los aporto y comento brevemente, sin dogmatismo. Mi autoridad en este momento solo está avalada por dos detalles: los años y un ejercicio responsable y comprometido de la docencia. El orden de presentación no responde a ningún criterio jerárquico.

1.- Trabaja con ilusión. Y que el alumnado lo note. Debemos enamorarnos ciegamente de nuestro trabajo de manera que conforme pasen los cursos nos sintamos más identificados con lo que hacemos y, en consecuencia, nos guste más. Lo que hacemos: trasmitir conocimientos, valores y actitudes, tiene una enorme repercusión. No es un tópico. Por eso, una de las peores cosas que nos puede pasar es entrar en una fase de trabajo rutinario.


2.- Vigila los detalles. El alumnado tiene una hipersensibilidad para captar los detalles día a día, aunque no lo percibamos explícitamente. Por eso es importante destacar y valorar lo que el alumno haga bien, aunque nos parezca insignificante; comprender que el éxito de un profesor no está solo en que un alumno de diez continué en el diez sino también en que el de tres llegue al menos al cinco. Su autoestima es una magnífica aliada.


3.- Cuida los cimientos. El conocimiento conocimiento matemático es acumulativo. Esto lo considero un axioma. Es como un edificio que empieza a construirse desde los primeros contactos con la Escuela. Sus ladrillos son los conceptos, los algoritmos, las figuras, la resolución de problemas, etc. Si algún ladrillo queda mal colocado, tarde o temprano se notará. Hay estudiantes que comienzan a rechazar las matemáticas en ese momento. Se dice que “tienen falta de base”. Por eso hay que crearse estrategias para averiguar con fiabilidad si las piezas acumuladas anteriormente están o no bien colocadas y, desde luego, poner bien las que le corresponda añadir al edificio.
 

4.- Compensa las deficiencias. El alumnado no es siempre culpable de su nula o deficiente formación matemática. En ocasiones es víctima del propio sistema: largos periodos esperando sustitutos, un aprendizaje poco significativo, un sistema de promoción permisivo, programas que no se acaban, etc. Situaciones en las que se vio inmerso y le produjo ese daño no siempre irreparable irreparable. Hay que aplicar estrategias compensatorias. Los que tienen interés las sabrán aprovechar.

5.- Interésate por las personas. Cada cara es algo más que un número en la lista o una foto en la ficha. Detrás de cada una hay una vida, una historia, unas circunstancias que están modelando un carácter. El profesor debe saber descifrar los códigos de esos rostros. Dedicar una frase, escuchar un lamento, comprender el mensaje de un gesto o leer la tristeza en unos ojos puede tener un efecto educativo superior a la mejor de las clases. Un claro indicador de una buena docencia es que tus exalumnos reconozcan tu dedicación al trabajo y recuerden con agrado el trato que les dispensaste.

6.- Sé feliz enseñando. Y que ellos sean felices aprendiendo. Ser felices es una coletilla que se aplica a casi todo pero se llena de significado cuando se refiere al trabajo que uno realiza. Porque se trata de identificarse con él, de hacerlo de buena gana, que sean horas distendidas y amenas y no una tortura más o menos larga.
Pero no nos confundamos, ser felices enseñando matemáticas, como es mi caso, no quiere decir que no existan escollos. Sería una demagogia educativa tratar de ocultar la dificultad que tiene el acceso al conocimiento matemático.


7.- Haz significativa la enseñanza. Utilizar el medio para enseñar matemáticas y usar las matemáticas para conocer e interpretar el medio, produce siempre un aprendizaje sólido. Por eso hay que hacer esfuerzos para explorar y explotar al máximo el entorno y los intereses del alumnado. Éste no debe acabar con la impresión de que una cosa son las matemáticas de los currículos y otra la que pueda encontrar fuera del aula. Pero las matemáticas también tienen la finalidad de ayudar a desarrollar ciertas capacidades: deducción, abstracción, reflexión crítica, análisis, síntesis, tenacidad, organizar datos...


8.- Sé pedagógicamente ecléctico. Afortunada o desgraciadamente, no existe la varita mágica que solucione los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de forma absoluta. De ahí lo de ser pedagógicamente ecléctico, en el sentido de no abrazar con fe ciega ninguna de las teorías más o menos redentoras que aparecen. No obstante, nos podemos acercar a esa varita mágica si procuramos conocer muchas metodologías y estrategias para utilizar, en cada situación, la que resulte más conveniente y de eficacia contrastada. Hay formas de conseguirlas: compartir con otros colegas en sociedades o departamentos, congresos, revistas... Siempre hay algo y alguien de quien aprender.


9.- Asume el rol de divulgador. Esta es la razón: para muchas personas, el único contacto con esta disciplina se produce en la etapa de enseñanza obligatoria. Como el joven es curioso por naturaleza, debemos usar ese recurso para dejarle el deseo saber más. En esa línea, da muy buen resultado lo que vengo llamando la dinamización matemática de los centros. Se trata de presentar al alumnado formas de acercarse al conocimiento y al razonamiento razonamiento matemático través de juegos de trasfondo matemático, trabajos de indagación, desarrollo de proyectos, etc. El Día Escolar de las Matemáticas ofrece una buena oportunidad.


10.- Sirve de referencia. Nuestro alumnado está formado por personas que están en una etapa de formación. Es una obviedad a tener muy presente por la responsabilidad que conlleva, no solo transmitiéndoles lo que nos indican los currículos, sino ofreciéndoles modelos de actuación que les sirvan de referencia, promoviendo el desarrollo de sus habilidades y capacidades (de organización, de liderazgo, de solidaridad, de tolerancia entendida como aceptación con respeto, etc). La necesaria autoridad del profesor se sustenta en su actitud, en su profesionalidad y en su cultura.


11.- Innova. Es una manera de transmitir al alumnado y a la sociedad que estamos comprometidos con nuestro trabajo. Es también una vía para conseguir que la labor docente sea viva y creativa. La innovación y la actualización son propias de cualquier profesión. Las nuevas tecnologías, por ejemplo, ofrecen recursos (¡y a qué ritmo últimamente!) para mejorar la enseñanza y el aprendizaje que debe ser obligado conocer y utilizar adecuadamente.

12.- Escucha. Un profesor debe ser un buen “escuchador”. Hablar es mucho más fácil que escuchar. Porque escuchar no consiste solo en prestar oído a lo que se nos dice sino que hay una labor posterior de asimilación, de descodificación de lo escuchado y de elaboración de la respuesta más adecuada que, no siempre, tiene que ser oral. Una sonrisa, un gesto, un tender la mano... Escuchar y responder es, por tanto, una parte importante de nuestro trabajo.

sábado, 15 de julio de 2017

Matemáticas gourmet: ¿Dónde está el centro de gravedad del contorno de un triángulo?





El objetivo de este artículo es mostrar la fructífera relación entre la geometría euclídea y los argumentos mecánicos. En él abordaremos el problema de determinar dónde está el centro de gravedad de un triángulo considerado como un perímetro. Es un homenaje a Arquímedes, padre de la hermandad entre la mecánica y la geometría.

Iimaginemos un triángulo en el que sus lados están construidos con barras de hierro y vacío en su interior, ¿dónde está el centro de gravedad de este triángulo-perímetro?

La respuesta NO es el baricentro. Sino el incentro del triángulo medio. La demostración se basa en el teorfema de la bisectriz.

En este documento lo tenéis desarrollado con todo detalle.


 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSU3BJYWFSMUZ4YmM/view?usp=sharing

lunes, 10 de julio de 2017

Carta a mis alumnos al acabar el curso



Madrid, 6 de junio de 2017

Queridos alumnos:

Al acabar el curso quiero deciros que estoy muy contento de haber podido compartir el tiempo con vosotros. Hemos aprendido cosas bonitas. Hemos pasado buenos ratos. Espero que así os lo haya parecido a vosotros también. Yo he aprendido mucho de vosotros. Como decía Paulo Freire, nadie enseña a nadie, se aprende juntos. Yo siempre recordaré este curso con afecto. Y ahora que nos conocemos, para mi es una suerte ganar vuestra amistad.

Mirar el mundo con ojos matemáticos es muy bonito. Como profesor de matemáticas he intentado tres objetivos. Primero, que os gusten las matemáticas, como me gustan a mi. Segundo, que aprendieses a estudiar matemáticas (que, como os habréis dado cuenta, se aprenden de una manera muy distinta a otras materias) y, tercero, que, como consecuencia de los dos objetivos anteriores, aprendieseis lo más posible de matemáticas ahora y en el futuro. Me hubiera gustado haberlo hecho mejor. Pero, bueno,…. tenemos mucho tiempo por delante para ir mejorando.

Si alguna vez os he dado un mal ejemplo, o si os he herido en algo, o si he sido injusto, ha sido sin querer. ¡Perdonadme!

Este verano leed mucho. Pasaros por alguna librería o visitad una biblioteca y elegid algún libro de Matemáticas que os apetezca leer. A la vuelta de vacaciones me lo contáis. Pero sobre todo, creced en vuestras propias ideas, disfrutad de la amistad, sed curiosos, interpretad el mundo para hacerlo más justo y más bello, cargad las pilas.

Con mucho cariño. Vuestro profe de Mates.

Ángel

jueves, 1 de junio de 2017

Problema de Monty Hall (un trabajo de Daniel y David)


Aquí presentamos en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÄTICAS el trabajo hecho por Daniel Reinosa y David Sampedro, alumnos de primero de Bachillerato. Una explicación muy clara del Problema de Monty Hall. Podéis ver un vídeo y luego leer un texto. Espero que os guste.




Problema de Monty Hall

Imagina que estás en un concurso, el presentador te muestra 3 puertas. Detrás de una de las puertas está el premio principal, un coche. Detrás de las otras 2 puertas hay premios de consuelo, 2 cabras. No tienes forma de saber cuál puerta tiene cada premio, recibirás el premio que esté detrás de la puerta que elijas. Se te pedirá que elijas una puerta, pero antes de abrirla el presentador abrirá una de las otras 2 puertas. Él sabe dónde está el coche, y siempre abrirá una puerta que tenga una cabra. Luego te preguntará si deseas cambiar la puerta elegida, por la otra que aún está cerrada.
La pregunta es: ¿Deberías cambiar de puerta o quedarte con la que elegiste? ¿O no habría ninguna diferencia? ¿Cuál te daría la mayor probabilidad de ganar el coche?
 La mayoría de la gente diría que no habría diferencia entre cambiar o no. Detrás de una puerta cerrada hay una cabra y detrás de la otra puerta cerrada está el coche. Entonces, la probabilidad de ganar el coche es de 50/50 y no habría diferencia entre cambiar o no. Esto suena perfectamente lógico, pero no es correcto.

El problema de Monty Hall es acerca de posibilidades. El problema es fácil de entender, pero la respuesta es contra-intuitiva. ¿Qué deberías hacer?  La respuesta es que SIEMPRE deberías cambiar, porque te da el doble de probabilidad de ganar el coche.
¿Por qué? Hay varias maneras de explicarlo, pero la más simple, es examinando tus posibilidades de ganar el coche para cada elección.  “Cambiar ” o “no cambiar”.
Veamos qué pasa si elijes “no cambiar”. Al comienzo, tenías que elegir una puerta. Como hay tres puertas y sólo 1 contiene el coche, la probabilidad de elegir el coche es de 1/3, o de un 33%. Y como hay 2 cabras, la probabilidad de elegir una cabra es de 2/3, o de un 66%. Si no cambias de puerta no importa cuál de las otras puertas abra el presentador, porque te quedarás con tu primera elección. Y tu probabilidad de haber elegido el coche es del 33%, y la probabilidad de haber elegido una cabra es del 66%

Veamos las consecuencias de cambiar de puerta. Consideremos qué pasaría si por casualidad elegiste el coche por primera vez (un 33% de posibilidades). Es obvio que si elegiste el coche al principio y luego cambias, terminarás con una cabra. Entonces, si cambias ganarás una cabra el 33% de las veces. ¿Qué pasa si al comienzo habías elegido una cabra? Aquí está el centro del problema. Esta vez hay sólo una cabra que el presentador puede revelar, por lo que abrirá la única otra puerta con una cabra. Y luego cambias a la otra puerta cerrada, el coche.

De hecho, cada vez que eliges una cabra la primera vez y luego cambias, ganarás el coche, y las posibilidades de haber elegido una cabra al principio eran del 66%.
Cambiando, tienes un 33% de posibilidades de ganar una cabra (habiendo elegido el coche al comienzo),  y un 66% de posibilidades de ganar un coche (si habías elegido al principio una cabra).
Entonces, siempre deberías cambiar a la otra puerta cerrada. ¿Por qué? Porque si lo haces tendrás un 66% de posibilidades de ganar el coche y sólo un 33% si no cambias. Y eso duplica tus posibilidades

domingo, 28 de mayo de 2017

Solución del problema de Regiomontano


Aquí se pueden ver dos modos de resolver el problema de Regiomontano planteado en la entrada anterior

http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2017/05/problema-de-regiomontanus-problema-de.html

Hay dos soluciones:

- SOLUCIÓN GEOMÉTRICA. Una solución basada en el uso de la geometría, el concepto de aco capaz y el concepto potencia de un punto con respecto a una circunferencia,

 - SOLUCIÓN ANALÍTICA. Otra solución está basada en el concepto de derivada, usando lal función tangente.

sábado, 6 de mayo de 2017

Problema de Regiomontanus. Problema de Cristiano Ronaldo

Una de las mejores maneras de aprender matemáticas es hacer problemas clásicos. A ser posible de varias formas diferentes. De este modo, no sólo se aprenden matemáticas sino que se adquiere un gusto extraordinario, inclusio pasión, por las matemáticas.

Aquí se propone el clásico problema de Regiomontano. De entrada se proponen varias formas de abordarlo. Quizás haya muchas más. En muchos libros viene planteado y resuelto.

He propuesto a mis alumnos de primero de bachillerato el Problema de Regiomontano como desafío. De momento ya tengo alguna respuesta. Pero voy a esperar unos días para poner en este blog las mejores de las que me hagan mis  alumnos.

Biografía de  Regiomontano 





Para los que gustáis de GEOGEBRA podéis visitar este enlace

https://www.geogebra.org/m/nn5WbrDE










domingo, 2 de abril de 2017

La suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es un llano

"La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre un llano."
Este es quizás el primer teorema de geometría que se presenta a los alumnos. Es un teorema que abre la puerta al estilo y la estética de los teoremas de la Geometría. Por eso mismo hay que festejarlo como se merece. Para ello, hemos construido, con piezas de madera y unas bisagras esta construcción que evidencia que, efectivamente, los tres ángulos de un triángulo suman un llano.



Muy conocido es el método de evidenciar el teorema doblando papel.

1. Se pide a los alumnos que hagan un triángulo de papel. Cada uno el que quiera.


 2. Se elige uno de los lados.
3. Se traza (doblando el papel) la altura de ese lado.

4. Se divide esa altura por la mitad. de este modo se señala la paralela a la base por el punto medio de la altura

5. Por esta línea se lleva el vértice opuesto a la basa sobre ella.
 
6. Se llevan los otros dos vértice sobre la base.  

lunes, 13 de marzo de 2017

Los alumnos aprenden a hablar, demostrar y resolver en matemáticas elaborando vídeos

Decía Ludwig Wittgenstein que el jucio es declarativo.  Es decir, que para elaborar un pensamiento lógico es necesario un soporte linguístico. Es por eso que hacer matemáticas es esencialmente expresar razonamientos, comunicar ideas, explicar problemas,.... Lamentablemente, la dinámica de estudiar, sólo para preparar exámenes, no deja mucho espacio a  hacer demostraciones y practicar la comunicación en matemáticas.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos una entrada al libro de Miguel de Guzmán.

 
He propuesto a mis alumnos de primero de bachillerato que hagan vídeos, haciendo algunas de las demostraciones que vamos viendo a los largo del curso. Sorpredentemente esta actividad ha despertado gran pasión en los alumnos que se han puesto a la tarea con mucho gusto. Estoy muy satisfecho del trabajo que han realizado.

No puedo poner todos los vídeos que han hecho mis alumnos, porque harían difícil descargar esta entrada. Sólamente voy a poner algunos de muestra.

Teorema del seno y su interpretación Geométrica



Demostración del teorema del coseno



Demostración del teorema del seno



Los números complejos



Teorema de las cuerdas



Completar cuadrados en la ecuación de una circunferencia



Ecuación reducida de la elipse 

martes, 21 de febrero de 2017

Obtener la gráfica de la función seno cortando un cilindro



Sobre un cilindro hemos enrrollado una hoja de papel. Después hemos cortado el cilindro de manera oblicua. El resultado del corte, como es conocido, es una elipse. Luego desplegamos el papel y resulta.... La gráfica de una función sinusoidal.

El reto que os proponemos es hallar una demostración analítica de que, en efecto, la curva obtenida es la gráfica de una función sinusoidal.

En unos días aparecerá aquí nuestra respuesta. Se agradecen sugerencias.


domingo, 22 de enero de 2017

Péndulo de Huygens. Una aplicación de las propiedades de la cicloide



En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la curva Cicloide y sus propiedades:
Hemos comprobado experimentalmente que la curva que describe el péndulo de Huygens es precisamente la cicloide. Puedes verlo en el vídeo.

 EL SIGUIENTE TEXTO ES DE MIGUEL DE GUZMAN Y APARECE EN EL LIBRO "AVENTURAS MATEMÁTICAS"  


Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.
 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 
 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 
 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 

que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 
 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.



PARA APRENDER MÁS Y DISFRUTAR DEL GEOGEBRA TE INVITAMOS A VISITAR ESTE TRABAJO DE CARLOS FLEITAS


http://matematicainteractiva.com/pendulo-de-huygens-propiedad-tautocrona-de-la-cicloide