martes, 29 de diciembre de 2015

Matemáticas Gourmet. "El área de las superfiecies esféricas"

Iniciamos con esta entrada una serie bajo el epígrafe de "Matemáticas Gourmet".

Las matemáticas elegantes tienen una capacidad especial para ocupar la mente y darla grandes satisfacciones. Citaremos como ejemplo la siguiente anécdota referida a Pascal

Blaise Pascal, en un momento de su vida había abandonado las matemáticas para centrarse en la polémica teológica. Estando una noche en vela (1658) por las torturas del dolor de muelas, Pascal comenzó a pensar furiosamente en la cicloide, intentando eliminar de su mente el terrible dolor. Con sorpresa se dio cuenta de que el dolor había desaparecido.

Sería bueno buscar tesoros de las matemáticas elementales para que los puedan disfrutar los  estudiantes de secundaria. No se trata tanto de presentar acertijos o curiosidades para llamar la atención, sino de presentar profundas ideas matemáticas con seriedad casi profesional.

Empezamos estas Matemáticas Gourmet con el tema "El área de las superficies esféricas".

He mantenido la presentación del manuscrito de mis notas personales, sin pasar a una redacción tipo libro. Esto lo he hecho con toda intención. El objetivo es acercar al lector joven de esta entrada al modo de estudiar matemáticas.

Por cierto, cuando se habla de "técnicas de estudio", no se suele mencionar nada más que las técnicas de estudio de las materias "de letras". No está de más reivindicar que las Matemáticas y las Ciencias se estudian de otra manera. 



La fuente fundamental de este manuscrito es el Curso de Geometría Racional de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam. 1934

lunes, 28 de diciembre de 2015

Desafíos de la Educación y la cultura científica

Fente a lo que muchos creen la cultura científica se encuentra en un peligroso retroceso. En la enseñanza media y en los estudios superiores cada vez hay menos alumnos que estudian matemáticas, ciencias y tecnología.

 En la última década el número de estudiantes en Grados de Ciencias ha disminuido en un 27,3% y en el caso de los estudiantes de ingeniería el descenso ha sido de un 16,4%. Y esto es especialmente grave cuando en ese mismo periodo el número total de estudiantes universitarios aumentó un 5,6%.

Este retroceso es muy preocupante porque cuando parecía que ya nos habíamos recuperado de la situación que denunciaba Santiago Ramón y Cajal cuando dijo que "Al carro de la cultura española le falta la rueda de la Ciencia", parece que volvemos para atrás.

Este retroceso tiene que ver con varios factores. Tal vez el fundamental es la dureza de la carrera del científico. Pero, también  es necesario revisar el papel que juegan en esta desmotivación los métodos de enseñanza y de evalución (sobre todo las PAU), que desincentivan el estudio reflexivo, la investigación, los experimentos y la afición a plantear y resolver problemas.

Aquí reproducimos una conferencia sobre la Educación y cultura científica de Alejandro Tiana.
  

Ver en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

 * "Educación científica AHORA" Informe Rocard
* Informe ENCIENDE.Enseñanza de las ciencias en la didáctica escolar en edades tempranas en España
 * Cómo debe ser a enseñanza de las Matemáticas en sociedades innovadoras

jueves, 24 de diciembre de 2015

Unas ideas para pensar sobre la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas


Aquí se presentan unas reflexiones sobre la enseñanza aprendizaje de las Matemáticas. Son sólo un embrión para seguir desarrollando ideas en común. Se agradecen sugerencias y comentarios.

miércoles, 16 de diciembre de 2015

Un experimento de Galielo que sirve para aplicar la trigonometría



Fuente: Il Laboratorio di Galileo Galilei

Con esta entrada iniciamos unas cuantas dedicadas a Galileo Galilei.

Uno de los primeros intereses de Galileo fue el estudio de la caída de los cuerpos. Este problema está muy relacionado con el problema de la medida del tiempo. Recuérdese que en la época de Galileo no existían los cronómetros. Ambos problemas se fusionan en el estudio del péndulo.

Es interesante saber que Galileo era hijo de un gran músico, y él mismo era músico. En varios de sus experimentos utilizaba la sensibilidad del oído para medir los tiempos.

EXPERIMENTO

Colocamos planos inclinados partiendo de un punto A con diferentes inclinaciones. Cada uno de los planos inclinados tiene una logitud tal que son cuerdas de una misma circunferencia de diámetro vertical AB = d




Dejamos caer a la vez bolas desde A cayendo por cada una de las cuerdas de la circunferencia. Galileo observó que todas las bolas llegaban a la circunfeferencia al mismo tiempo. La simultaneidad de los sucesos lo ponía de manifiesto colocando en los puntos B1, B2, B3, .... campañillas. Así es fácil observar que todas sonaban a la vez.

EXPLICACIÓN

Este experimento confirma que la ley de la caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado, en el que el espacio recorrido es
 de donde

A la vista del dibujo, y teniendo en cuenta que los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos, se tiene que



si consideramos el movimiento de la masa que rueda sigiendo el plano AB1,  la longitud de la cuerda, y la componente de la aceleración de la gravedad según el plano son:
Por consiguiete, el tiempo empleado en el movimiento de A a B1 es
 

Que como se observa no depende del ángulo.


lunes, 14 de diciembre de 2015

Homenaje a Miguel de Guzmán

 Imagen: Este es un manuscrito de Miguel de Guzmán que conservo con mucho cariño.

En una entrada anterior de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya trajimos una magistral conferencia de Miguel de Guzmán sobre enseñanza de las Matemáticas y dimos referencias a algunas de sus publicaciones.


Ahora traemos aquí una recopilación de apariciones de Miguel de Guzmán en TV y su intervención en el Congreso de los diputados con motivo del año 2000 de las Matemáticas. Las imagenes están tomadas de un DVD incluido en el libro que recogía el homenaje que se hizo a Miguel de Guzmán en la Universidad Complutense en junio de 2005.
Impresiona oír de nuevo hablar al maestro 


miércoles, 28 de octubre de 2015

Puzzles Pitagóricos




Un puzzle pitagórico es la descomposición de un cuadrado en piezas, que debidamente reordenadas se convierten en dos cuadrados.

En estos puzzles el cuadrado grande se corresponde con el cuadrado de la hipotenusa y los otros dos cuadrados se correspondem con los cuadrados de los catetos.

El caso puzzle pitagórico más famoso es el TANGRAM 


Otros puzzles pitagóricos:  













 http://personales.unican.es/alvareze/LabMatematicas/pitagoras/index.htm


http://www.iessandoval.net/sandoval/aplica/activi_mate/actividades/pitagoras/marco_pitagoras4.htm

sábado, 24 de octubre de 2015

Comprobación del Teorema de Pitágoras con un cartón y gomas. (Una idea de Loenardo Da Vinci)

La demostración del Teorema de Pitágorada ideada por Leonardo Da Vinci, se puede visualizar muy bien utilizando unas piezas de cartón-pluma unidas por unas gomas elásticas, como se muestra en el vídeo.






Para ampliar:

Diversas demostraciones del Teorema de Pitágoras


martes, 20 de octubre de 2015

Comprobación del Teorema de Pitágotas usando una balanza. (La idea es de Galileo)




Ya en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS hemos dedicado varias entradas a demostraciones diversas del Teorena de Pitágoras.


La idea de esta demostración que presentamos ahora la hemos tomado de Galileo.

El gran sabio de Pisa para de demostrar que dos figuras tenían el mismo área, lo que hacía era comprobar que sus modelos hechos con el mismo material equilibraban una balanza.

En nuestro caso partimos de un triángulo rectángulo.
Hemos hecho en madrera los cuadrados contruidos sobre la hipotenusa y sobre los catetos.

Después, hemos pesado en un brazo de la balanza el cuadrado de la hipotenusa y en el otro lado los cuadrados de los catetos,
Comprobamos que la balanza queda equilibrada.
De este modo resulta que

(a2) = (b2 + c2)


La construcción de la balanza es sencilla y se han utulizado materiales de carpinteria muy asequibles. Esta balanza nos va a ser una herramienta muy útil para otros muchos experimentos.

 

viernes, 18 de septiembre de 2015

¿Cómo debe ser la enseñanza de las Matemáticas en sociedades innovadoras?



Critical Math for Innovative Societies

Este informe, elaborado por la OCDE, reflexiona sobre cómo debe ser la enseñanaza de las Matemáticas en sociedades innovadoras.
La idea fundamental es ahondar en la teoría del Problem Solving, poniendo el acento en las pedagogías basadas en el fomento de la metacognición. En el texto aparece destacado el concepto de Problemas CUN = Complex, Unfamiliar, Non-routine problems. En definitiva, vuelve a aparecer la idea de que en la enseñanza de las matemáticas el método, el cómo, el esencial.
¿Cómo puede la educación matemática fomentar habilidades que sean apropiados para las sociedades innovadoras? La educación matemática ocupa un lugar destacado en los planes de estudio en todo el mundo, sin embargo, todavía se considera que es una piedra de tropiezo para muchos estudiantes. Si bien existe casi un consenso de que las matemáticas apropiados para el siglo xxi debe ser complejas, desconocida y no rutinarias (CUN), la mayoría de los libros de texto aún son principalmente problemas rutinarios basados ​​en la aplicación de algoritmos ya hechas.Ha llegado el momento de introducir métodos de enseñanza innovadores con el fin de mejorar la educación matemática y la capacidad de los estudiantes para resolver tareas CUN. Pedagogías metacognitivas pueden jugar un papel clave en esto. Estas pedagogías entrenan de forma explícita a los estudiantes a "pensar en su pensamiento" durante el aprendizaje. Pueden ser utilizados para mejorar no sólo el rendimiento académico (conocimiento del contenido y la comprensión, la capacidad de manejar los problemas no familiares, etc.), sino también resultados afectivos como la reducción de la ansiedad o la mejora de la motivación. Esta fuerte relación entre los resultados metacognición y escolaridad tiene implicaciones para la comunidad educativa y los responsables políticos.Este libro está diseñado para ayudar a los profesionales, diseñadores de currículos y los responsables políticos por igual en la preparación de los estudiantes de hoy para worl de mañana



http://www.keepeek.com/Digital-Asset-Management/oecd/education/critical-maths-for-innovative-societies_9789264223561-en 


Miguel de Guzmán. Una conferencia sobre la enseñanza de las Matemáticas



He tenido la gran suerte de haber sido alumno de Miguel de Guzmán. He disfrutado de tres de sus cursos universitarios de licenciatura (Seminario de Análisis, Análisis II y Ecuaciones deferenciales en derivadas parciales). He asistido a muchas de sus conferencias. He leído sus libros. He recibido sus consejos como director de departamento, cuando yo fui PNN. Miguel de Guzmán es auténtico maestro que deja huella imborrable.

Recuerdo que Miguel de Guzmán era un profesor distinto. Cuando entramos en primero de carrera nos dio la asignatura "Seminario de Análisis". Me sorprendió porque desde el primer día de curso conocía mi nombre y se había interesado por saber que yo era premio de la Olimpiada matemática. Despues de las clases se paraba a hablar con nosotros e interesarse por nuestra opinión de las clases y de otras cosas. De  hecho al final de curso quedamos los compañeros de clase para cenar  en una modestisima tasca de Argüelles, y el vino con su mujer. Desde el primer día nos dijo que en los exámenes nos dejaría utilizar los apuntes de clases y las notas que hubiésemos elaborado. Nos daba bibliografía que debíamo consultar. Nos suscribió a todos al "American Mathematical Monthly". En la pizarra se formulaba preguntas e intentaba responderlas usando matemáticas. Mucahas veces iniciaba caminos equivocados y retrocedía a intentarlo de nuevo. En esto era completamente diferente a las clses "bourbakistas" que esatabn de moda.

Aquí os dejo una de sus conferencias dadas a proferores de Matemáticas sobre cómo él concebía que debía ser la enseñanza de las matemáticas.





Una reflexión escrita de Miguel de Guzmán sobre Educación matemática



Ver también en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS:


Como muestra de la capacidad de Miguel de Guzmán para enseñar Matemáticas traigo estos "Experimentos de Geometría" que muestran muy bien la manera de enseñar Matemáticas de Miguel de Guzmán.






Para conocer mejor a Miguel de Guzmán

UN LEGADO DE FE
(Publicado  por su viuda póstumamente)

El valor heuristico de los ejercicios de San Ignacio de Loyola


El legado de Miguel de Guzmán
Homenaje a Miguel de Guzmán de la RSME
Miguel de Guzmán. In memoriam
Miguel de Guzmán. El último Pitagórico


Algunos libros de Miguel de Guzmán
Artículos sobre enseañnza de las Matemáticas
La enseñanza de las Matemáticas
Jornada en el Congreso sobre Educación Matemática



Libros
La experiencia de descubrir en Geometría 
Aventuras Matemáticas
La enseñanza de las Ciencias y la Matemática
Para pensar mejor
El rincón de la pizarra 
Los matemáticos no son gente seria
Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas
Mirar y ver
Problemas, conceptos y métodos de Análisis matemático
Integración. Teoría y técnicas
Problemas de EDO
Cuentas con cuentos 
Estrucuras fractales y sus aplicaciones 
Libros de texto de secundaria
Artículos científicos

lunes, 24 de agosto de 2015

La historia de los monos y las bananas

Fuente de la imagen: http://www.taringa.net/posts/offtopic/16047636/Aprende-que-es-y-como-nace-un-paradigma.html


Leyendo el libro de Adrian Paenza, "Matemáticas estás ahí" me he encontrado con esta historia muy sugerente para iniciar una reflexión de por qué hacemos las cosas tal cómo las hacemos.
Disdfrutad de esta historia!!!

Sobre la conducta de los monos

Por Adrián Paenza

Suponga que uno tiene seis monos en una pieza. Del cielo raso, cuelga un “cacho” de bananas. Justo debajo de él hay una escalera (como la de un pintor o un carpintero). No hace falta que pase mucho tiempo para que uno de los monos suba las escaleras hacia las bananas.

Y ahí comienza el experimento: en el mismo momento en que toca la escalera, todos los monos son rociados con agua helada. Naturalmente, eso detiene al mono.

Luego de un rato, o bien el mismo mono o alguno de los otros hace otro intento con el mismo resultado: todos los monos son rociados con el agua helada a poco que uno de ellos toque la escalera. Cuando este proceso se repite un par de veces más, los monos ya están advertidos. No bien alguno de ellos quiere intentarlo, los otros tratan de evitarlo, y terminan a los golpes si es necesario.

Una vez que llegamos a este estadío, retiramos uno de los monos de la pieza, y lo sustituimos por uno nuevo (que obviamente no participó del experimento hasta aquí). El nuevo mono ve las bananas e inmediatamente trata de subir por las escaleras. Para su horror, todos los otros monos lo atacan. Y obviamente se lo impiden. Luego de un par de intentos más, el nuevo mono ya aprendió: si intenta subir por las escaleras, lo van a golpear sin piedad.

Luego, se repite el procedimiento: se retira un segundo mono y se incluye uno nuevo otra vez. El recién llegado va hacia las escaleras y el proceso se repite: no bien la toca (la escalera), es atacado masivamente. No sólo eso: el mono que había entrado justo antes que él (¡que nunca había experimentado el agua helada!) participaba del episodio de violencia con gran entusiasmo.

Un tercer mono es reemplazado y no bien intenta subir las escaleras, los otros cinco lo golpean, impidiéndoselo. Con todo, dos de los monos que lo golpean no tienen ni idea del porqué uno no puede subir las escaleras.

Se reemplaza un cuarto mono, luego el quinto y por último, el sexto, que a esta altura es el único que quedaba del grupo original. Al sacar a éste, ya no queda ninguno que haya experimentado el episodio del agua helada. Sin embargo, una vez que el último lo intenta un par de veces, y es golpeado furiosamente por los otros cinco, ahora queda establecida la regla: no se puede subir por las escaleras. Quien lo hace se expone a una represión brutal. Sólo que ahora ninguno de los seis tiene argumentos para sostener tal barbarie.

Cualquier similitud con la realidad de los humanos, no es pura coincidencia ni casualidad. Es que así somos: como monos.

Esta historia me la contó mi sobrina Lorena, cuando todavía no se había graduado de bióloga en la UBA ni se había casado con Ignacio Demarco, otro biólogo. Pero siempre me impactó por todo lo que implica en cuanto se trata de explicar la conducta de los humanos (la fuente es De banaan wordt bespreekbaar, de Tom Pauka y Rein Zunderdorp, Nijgh en van Ditmar, 1988).

 Esta es la versión en un vídeo

https://youtu.be/rOPG-UXP1qY 






¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión?

¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión? Tengo ejemplos anecdóticos para ilustrar esta idea,

Por ejemplo, ¿por qué en los libros de texto se usa "sen" para indicar el seno y no "sin", del latín sinus? Es raro hacerlo así porque "sin" es la notación usada por los clásicos y es la señalada por normas internacionale. ¿Por qué algunos profesores son reacios a enseñar el método de Gauss (el príncipe de las Matemáticas) para resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales?

Otras preguntas de más calado se pueden hacer en referencia a la enseñanza de las matemáticas¿Cuáles se te ocurren?....

jueves, 13 de agosto de 2015

Técnicas para enunciar criterios de divisibilidad


En esta entrada se ofrecen unas notas en las que se exponen diversas técnicas para enunciar critérios de divisibilidad de núneros expresados en el sistema de numeración decimal. Algunas técnicas son muy conocidas y otras no tanto.

La historia de este trabajito tiene para mi una anécdota muy entrañable. En 1984, cuando estaba destinado en Aranda de Duero, la familia hicimos una excursión para ver el monasterio de santo Domingo de Silos. En aquella época, Silos era un lugar que no tenía la importancia turística que tuvo más tarde. De hecho, en la visita estabamos nosotros solos. Esto permitió establecer una comunicación muy cordial con el fraile benedictino que nos guiaba en la visita. Cuando él se enteró de que yo era profesor de Matemáticas y de que mi suegro (que estaba con nosotros) también era matemático nos pidió pidió ayuda.
-- Tengo un hermano que se presenta a unas oposiciones y en el temario aperece una cuestión: "criterio de divisibilidad por siete". He estado buscando en la biblioteca del monasterio y no lo he podido encontrar. Os agradecería que me mandáseis una referencia para mandársela a mi hermano e incorporarla a la biblioteca del monasterio.
Rápidamente le expliqué un criterio de divisibilidad por siete muy poco conocido que había aprendido de mi padre (que tal vez lo leyó en algún libro de aritmética mercantil). De todas maneras, estimulado por la idea de quedar mi escrito archivado en la biblioteca del monasterio de Silos, mecanografié estas notas. Son de elaboración propia y están inspiradas, básicamente en el libro de Análisis algebraico de Rey Pastor y el libro de Análisis matemático del padre Chacón SJ. En el artículo se formula una conjetura, sin demostración, referida a los periodos de los restos potenciales de diez. Cuando le planteé el problema a mi amigo el famoso físico-matemático Alan Sokal me escribió una demostración cuyo manuscrito se incorpora al final del texto para los amantes de la matemática discreta. 

NOTA: Me han advertido que hay algún error en el ecaneo, debido a que el original es tamaño folio y no DIN A4. Hay algunas notas a pie de página que están incompletas. Para completarles las copio a continuación

Página 2
(**) Si un número es de la forma a = multiplo de k + q, entonces  son equivalentes:
a = multiplo de k  <=> q = múltplo de k.

Página 5 
(*) Se llama "gaussiano" de n con respecto al módulo, al menos g tal que se satisface la congruencia
n elevado a g es congruente con 1 módulo k 

Página 6
(*) Un hecho, que hemos observado, aunque no hemos encontrado demostración, es que en el caso de que k sea primo y el gausiano sea k-1, en la sucesión de restos potenciales se da una simetría consistente en que si se toman los restos por exceso y por defecto  demodo que su valor absoluto sea lo más pequeño posible, ,la primera mitad del periodo coincide con la segunda mitad, sólo que cambiada de signo.





Documento en Scribd

domingo, 26 de julio de 2015

Una paradoja financiera


Uno de las mejores maneras de entender en profundidad los conceptos y los modelos matemáticos que los relacionan es explicar paradojas.
Aquí os presentamos una paradoja financiera que involucra unas matemáticas muy sencillitas. Sólo hay que saber resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
¿Serías capaz de explicar en dónde está el fallo? 
 
En una ciudad  hay dos constructoras, A y B, que son empresas familares en manos de dos hermanos gemelos. Cada una de ellas posee un edificio de 10 millones de euros.

Asesorados por unos fondos de inversión deciden pasar de ser empresas privadas a ser empresas cotizadas en Bolsa.

Antes de salir a los mercados, y dados los lazos familiares, cada empresa cede el 50% a la otra otra empresa. Debido a la simetría evidente de esta operación, no hay intercambio de dinero.Vaya lo uno por lo otro.

Así que en el momento de salir a Bolsa, cada una de las empresas tiene un edificio de 10 millones de euros y el 50% de las acciones de la otra empresa.

¿Cuál es la valoración de cada una de estas dos empresas?

Si denotamos estas valoraciones (en millones de euros) como VA y VB tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

VA = 10 + 0,5 VB
VB = 10 + 0,5 VA


Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, resulta que

VA = 10 + 0,5 ( 10 + 0,5 VA)
=10 + 5 + 0,25 VA


Por tanto,

0,75 VA = 15
VA  = (15/0,75) = 20

De manera similar, también
 VB  =  20

 O sea, que por el mero hecho de salir a bolsa, el precio de cada una de las empresas es el doble que el valor de los edificios que tiene.


lunes, 15 de junio de 2015

Por qué "Mundo Arquímedes"





Durante este curso hemos etado trabajando con los alumnos de un curso de Cuarto de ESO para crear nuestro MUNDO ARQUÍMEDES, que se ha materializado en un trabajo escrito y en una exposición.  Muchos de los contenidos los habéis ido viendo en este blog. Otros aún están pendientes de subir.

Compartimos la presentación del trabajo, donde se justifica el porqué y el cómo.
Presentación 

Aquí se presenta el resultado de unos meses dándole vueltas a un personaje: Arquímedes. Durante este tiempo unas ideas nos han llevado a otras y cada vez más tenemos el sentimiento de que apenas hemos empezado a conocer algo del tema. Por eso no damos por terminado el trabajo. Esto no ha hecho nada más que empezar.

Santiago Ramón y Cajal en su libro “Los tónicos de la voluntad: Reglas y consejos sobre la investigación científica” decía que “Toda obra grande es fruto de la paciencia y la perseverancia, combinada con la atención orientada tenazmente durante meses, y aun años, a un objeto particular”. De acuerdo con el maestro, estamos convencidos de que uno de los mejores métodos de estimular la inteligencia es tener un tema en la cabeza. Un centro de interés. Al cabo del tiempo, todo lo que nos rodea nos lleva a profundizar más y más en él, a establecer nuevas conexiones. Mientras pulimos nuestras primeras ideas, elaboramos nuestro personal punto de vista. Poco a poco van naciendo ideas originales.

 ¿Por qué hemos elegido a Arquímedes? El físico e historiador de la Ciencia, Lucio Russo, en su trabajo “La revoluzione dimenticata” sostiene que Arquímedes es mucho más que el personaje de las anécdotas graciosas. Arquímedes y algunos de sus coetáneos, como Euclides, Hiparco, Conón, Eratóstenes y Apolonio, son protagonistas de una revolución olvidada que cristalizó en el mundo heleno durante el siglo III antes de Cristo. En ese tiempo se produjo un cambio radical en el paradigma del conocimiento. Una revolución que pudo haber cambiando el rumbo de la Humanidad. Lamentablemente la manera de ver el mundo que tenía Arquímedes se perdió por avatares de la Historia y no se recuperó hasta mucho después con personajes como Galileo y Descartes. En Arquímedes encontramos las ideas fundamentales de la Ciencia. Ese gran fenómeno cultural e ideológico de la Humanidad. Siguiendo la argumentación de Lucio Russo, la Ciencia no es tanto el conocimiento de esto o aquello, sino el método demostrativo que justifica lo observado y lo aplica a la técnica.

Mayo 2015

jueves, 28 de mayo de 2015

Un juego de cálculo mental basado en la ley de la palanca de Arquímedes


El concepto de centro de gravedad es una de las grandes aportaciones de Arquímedes. El equilibrio de masas es la clave de grandes ideas en Matemáticas y en Física 

Con este instrumento se puede comprobar la ley de la palanca de Arquímedes

Potencia x brazo de potencia = Resistencia x brazo de resistencia 



Aplicaciones didácticas

Además, este artilugio sirve para hacer un juego muy divertido para despepertar el cálculo mental.

Uno de los jugadores pone un cierta cantidad de tuercas en un brazo. El ootro concursante tiene que equilibrar la palanca.

Puede hacerse de manera más complicada si se admite poner las tuercas en dos o tres lugares de la barra.





Construcción 

Para la construccición de este aparato se ha utilizado cinta metálica perforada para fijación y tornillería



Sobre lo que se ve en el vídeo se puede mejorar con una rotulación adecuada de los números que intervienen en el juego

martes, 14 de abril de 2015

Una escalera infinita



Fuentes: 

¿Pueden apilarse una serie de ladrillos de modo que algunos de ellos caigan completamente fuera de la base de sustentación?

La respuesta es sorprendentemente que SÍ. Más aún, puede colocarse un ladrillo tan lejos como se desee de la base de sustentación.

Esta paradoja clásica consiste en apilar una serie de ladrillos idénticos en una mesa, como en el diagrama.

Al ir añadiendo más ladrillos como se indica, podemos hacer que la escalera resultante sobresalga todo lo que queramos sin derrumbarse. Una escalera de n ladrillos , cada uno de longitud 2, sobresale una distancia
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n

Como esta serie (la serie armónica) es divergente, se concluye que el úntimo ladrillo puede colocarse tan lejos como se quiera de la base de sustentación.





Veamos en el siguiente vídeo cómo se hace en la práctica. ¡Es sorpendente!!




Una construcción de 900 antes de Cristo basada en este principio



martes, 17 de marzo de 2015

Regla de derivación del producto. Demostración (casi) sin palabras

Como profesor de matemáticas me queda un mal sabor de boca cuando explico las reglas sin justificación.

Para el caso de la regla de la derivación de un producto de funciones ofrezco esta demostración gráfica (casi) sin palabras (proofs without words).

Partimos de un producto de dos factores uv, que es el área del rectángulo pintado de color naranja. Si incrementamos cada uno de los factores, incrementamos el área en tres rectángulos (el azul, el amarillo y el blanco)
Si, ahora, dividimos los dos miembros de esta igualdad por el incremento de la variable independiente, Δx, para hallar la velocidad de crecimiento, resulta

 

Basta hacer un paso al límite cuando Δx tiende a cero para obtener la regla de derivación del producto

 

Ya que el último sumando tiende a cero porque es el producto de un término que tiende a cero, Δu, por otro, v'.

sábado, 21 de febrero de 2015

La copa de Aquímedes



Fuente de la imagen: http://cinicosdesinope.com/ciencias/el-invento-que-regula-la-codicia/


Cuentan que Arquímedes diseñó un vaso para evitar que los invitados a una fiesta abusasen tomando más de una cierta cantidad de vino.



El experimento:

Una botella de plástico a la que hemos cortado por el fondo nos va a servir de copa. En el tapón hacemos un agujero, por el que pasamos un tubo de plástico con el que hacemos un sifón dentro de la botella.  Después sellamos el tapón con pegamento.

Conforme se va llenando la copa se va cebando el sifón. Cuando se ceba por completo el sifón, el agua se descarga.


domingo, 15 de febrero de 2015

"El contador de arena" una novela de Gilliam Bardshaw sobre Arquímedes


Fuente (dónde encortrar la novela completa): http://www.librosmaravillosos.com/elcontadordearena/index.html

Una novela de Gilliam, Badshaw inpirada en Arquímedes


Resumen 
 
Adelantado a su tiempo y conocido universalmente por el célebre principio que lleva su nombre, el griego Arquímedes fue un pionero del actual método científico, además de notable matemático y pensador. Discípulo de Euclides e hijo del astrónomo Fidias, su azarosa vida resulta tan apasionante como formidable el poder de su intelecto. En esta rigurosa novela histórica, Gillian Bradshaw —autora de grandes éxitos como El faro de Alejandría, Púrpura imperial, Teodora, emperatriz de Bizancio y El heredero de Cleopatra— presenta al lector un Arquímedes de carne y hueso, un ser humano excepcional que, inmerso en la convulsa época que le tocó vivir, tuvo que enfrentarse a múltiples dilemas Deslumbrado por las maravillas de Alejandría tras una estancia de tres años y decidido a radicarse allí para siempre, el joven Arquímedes se ve obligado a volver a Siracusa, su ciudad natal, para ocuparse de su padre enfermo. El contraste no puede ser mayor: de la deslumbrante cuna del saber ha pasado a una ciudad entregada a los frenéticos preparativos para una cruenta guerra contra la poderosa Roma. Convertido por las circunstancias y el destino en el principal artífice de los ingenios bélicos con que se intentará repeler la invasión del coloso romano, Arquímedes atrae la atención del tirano Hierón, quien intenta retenerlo a toda costa en su corte. Y pese a que el mayor deseo del genial griego es volver a Alejandría para perfeccionar sus conocimientos y reunirse con Marco, el leal esclavo que lo ha acompañado desde siempre, un inesperado motivo lo empuja a permanecer en Siracusa, un motivo que ni siquiera su pasión por el saber y la ciencia podrá obviar y que, a la postre, lo obligará a recorrer un sendero salpicado de gloria, amor, guerra y traición.


Información muy completa sobre la obra de Arquímedes "Arenario"

viernes, 13 de febrero de 2015

Planetario de Arquímedes




Planetario de Arquímedes

Cicerón (106-43 aC) relata que después de la conquista de Siracusa en el 212 aC, el cónsul romano Marcelo llevó a Roma un globo celeste y un planetario construido por Arquímedes (287-212 aC). El planetario era un objeto extraordinario que, en cada rotación, mostraba la Luna y el Sol sobre la Tierra inmóvil, los eclipses de Luna y el Sol en intervalos de tiempo adecuados, así como los movimientos de los otros cinco planetas conocidos: Mercurio, Venus , Marte, Júpiter y Saturno (En la República, I, 14, 21-22; Tusculanas, I, 63). Este planetario también es mencionado por Ovidio (siglo I aC) en el calendario (VI, 263-283), por Lactancio (siglo IV dC) en sus Instituciones Divinas (II, 5, 18) y en un epigrama de Claudiano (siglo IV AD) titulado Esfera de Arquímedes. Añade Claudia que el instrumento fue encerrado en una esfera de cristal llena de estrellas.

Desafortunadamente, no hay una descripción detallada de los mecanismos que animaron planetario de Arquímedes. En 1974, el historiador de la ciencia Derek J. de Solla Price presume que el instrumento funcionó con engranajes similares a los presentes en el mecanismo de Antikythera que data del siglo I aC

 
Mécanismo de Antikythera


 En 1901, un grupo de buceadores rescataron un antiguo naufragio en las inmediaciones de la isla de Antikithera, frente a la costa meridional de Grecia. Se encuentraron un misterioso objeto - un trozo de piedra calcificada que contenía en su interior varias ruedas dentadas soldadas entre sí después de años bajo el mar. El objeto de 2.000 años de edad, no más grande que un ordenador portátil moderno, es ahora considerado como la máquina de calcular más antigua del mundo, Estaba ideado para predecir eclipses solares y, de acuerdo con los últimos hallazgos, calcular el tiempo de los antiguos Juegos Olímpicos. A raíz de los esfuerzos de un equipo internacional de científicos, los misterios del Mecanismo de Antikythera se desvelaron, revelando detalles sorprendentes e impresionantes del objeto que sigue desconcertando.










Para saber más 


  • Antikythera Mechanism Part 1: by Nature Video


http://youtu.be/DiQSHiAYt9
  • Antikythera Mechanism Part 2: by Nature Video

http://youtu.be/znM0-arQvHc


Aplicación didáctica



Como aplicación didáctica hemos construido un planetario inspirado en el que diseñó Arquímedes

En este vídeo se ve como funciona con un panel solar

El planetario lo compramos en esta tienda Y es este en Amazon Solar Planet kit




domingo, 8 de febrero de 2015

La espiral de Arquímedes y la trisección del ángulo



La espiral de Arquímedes es una curva mecánica ideada por el sabio de Siracusa con el fin de resolver el problema de la trisección del ángulo. El estudio de las espirales centró la atención de Arquímedes y uno de sus libros más complicados es el que tituló "Sobre las espirales":


Definición

Imagínese una línea que gira con velocidad angular constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en el mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral.


Las ecuación en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes es, pues,

r = k· t

La espiral de Arquímedes, también se llama espiral aritmética.

Para saber más aquí


Procedimiento mecánico de construcción de la espiral usando una escuadra.

Dibujemos una circunferencia de radio R.  Hagamos una escuadra en la que su brazo corto tenga por longitud el radio de la circunferencia. Sea el punto X, en el extremo de la escuadra que coincide con el centro de la circunferencia, tal como se ve en el dibujo.

Si se rueda el lado largo de la escuadra sobre la circunferencia, resulta


 MN = arco MP = R t

Como por ser una escuadra, MN = OX se tiene que el punto X describe una espiral de Arquímedes de ecuación

r = R· t


Trisección del ángulo usando la espiral de Arquímedes 

La trisección del ángulo se puede hacer fácilmente si tenemos ya construida una espiral de Arquímedes, de ecuaciones r = k t.  Siendo r, la distancia al origen y t el ángulo con respecto a la horizontal)

Coloquemos una espiral de Aquímedes con origen, O, en el vértice del ángulo que queremos trisecar. En el dibujo hemos usando el color rojo para representar la espiral. Sea Q el punto donde la espiral corta a uno de los lados del ángulo, como se ve en el dibujo.

Dividamos el segmento OQ en tres segmentos iguales, determinando los puntos Q1 y Q2. De tal manera que OQ1 = 1/3 OQOQ2 = 2/3 OQ.  [*]

Con centro en O, usando el compás, trasladamos las distancias OQ1 y OQ2 a la espiral, determinando en ella los puntos H1 y H2.  Es decir, se verifica OH1 = OQ1 = 1/3 OQ  y   OH2 = OQ2 = 2/3 OQ

 Aplicando la definición de la espiral de Arquímedes resulta que las rectas OH1 y OH2 trisecan el ángulo QOP.

En efecto, si llamanos t1 al ángulo POH1,  t2 al ángulo POH2 y t3 al ángulo dado POQ, se tiene  que
por la definición de la espiral
OH1 = k t1
OH2 = k t2
OQ = k t3

y de la telación [*] tesulta que t1 = 1/3 t  y t2 = 2/3



Área encerrada por la espiral de Árquímedes 

Aquímedes calculó, utilizando el método de exhaución para calcular el área que encierra el radio vector de la espiral en su primera revolución. llegando al resultado que dice

"El área barrida por la espiral de Arquímedes en una vuelta es igual a 1/3 del área del cículo que la encierra




Una demostración con todo detalle puede verse aquí


 http://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Pappus/Bookiv/Pappus.iv.21-25/Pappus.iv.21_25.html


La espiral de Arquímedes y los números primos 

Una curiosoidad es la relación que existe netre la espiral de Arquímedes y la distibución de los números primos. (Espilral de Ulam)

http://youtu.be/pnYkK6PqUro

http://demonstrations.wolfram.com/SpiralOfPrimes/