domingo, 29 de septiembre de 2013

Técnicas heurísticas de uso frecuente



[Fuente: EXPERIENCIA MATEMÁTICA. Davis, Philip J. & Hersh, Reuben. Labor. barcelona 1988]

TÉCNICAS HEURÍSTICAS DE USO FRECUENTE  
  • Análisis
1. TRAZAR UN DIAGRAMA, si es posible.
2. EXAMINAR CASOS PARTICULARES:
     a) Elegir valores especiales que sirvan para ejemplificar el problema y adquirir mano.
     b) Examinar casos límite, para explorar la gama de posibilidades.
     c) Asignar a los parámetros enteros y buscar una pauta inductiva.
3. PROBAR A SIMPLIFICAR EL PROBLEMA
     a) sacando partido a posibles simetrías o
     b) mediante razonamientos sin pérdida de generalidad (incluidos los cambio de escala).

  • Exploración
 1. EXAMINAR PROBLEMAS ESENCIALMENTE EQUIVALENTES
     a) Por sustitución de las condiciones por otras equivalentes.
     b) Por recombinación de los elementos del problema de distintos modos.
     c) Introduciendo elementos auxiliares.
     d) Replanteamiento del problema mediante
           1. cambio de perspectiva o notación,
           2. considerando el razonamiento por contradicción o el contrarecíproco,
           3. suponiendo que se dispone de una solución y determinando cuáles serían sus propiedades.
2. EXAMINAR PROBLEMAS LIGERAMENTE MODIFICADOS
     a) Elegir subobjetivos (satisfacción parcial de las condiciones)
     b) Relajar una condición y tratar de volver a imponerla.
     c)  Descomponer el problema en casos y estudiar caso por caso.
3. EXAMINAR PROBLEMAS AMPLIAMENTE MODIFICADOS
     a) Construir problemas análogos con menos variables.
     b) Mantener fijas todas las variables menos una, para determinar qué efectos tiene esa variable.
     c) Tratar de sacar partido de problemas afines que tengan parecida
            1. forma,
            2. datos,
            3. conclusiones. (Recordar que al manejar problemas afines más fáciles se debería sacar partido tanto del resultado como del método de resolución.)

  • Comprobación de la solución obtenida
1.  ¿VERIFICA LA SOLUCIÓN OBTENIDA LOS CRITERIOS ESPECÍFICOS SIGUIENTES?
     a)  ¿Utiliza todos los datos pertinentes?
     b)  ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?
     c)  ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?
2. ¿VERIFICA LOS CRITERIOS GENERALES SIGUIENTES?
     a) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?
     b) ¿Puede quedar concretada en casos particulares?
     c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?
     d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?


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En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÄTICAS








lunes, 29 de julio de 2013

"Me gustan las Matemáticas" (multicultural)




 "Me gustan las Matemáticas" (versión multicultural)

En el curso 1999-2000, les pedí a mis alumnos, de procedencias diversas, me escribiesen en mi cuaderno de notas la frase "Me gustan las matemáticas". Este es el resultado. 

En la imagen podéis ver la frase "Me gustan las Matemáticas" escrita en: 


  • Chino, 
  • Árabe, 
  • Ruso, 
  • Griego, 
  • Braille,
  •  y en tres idiomas africanos: Dagare, Kisuahili y Twi-Ghana.
(Gracias muchachos) 
  
Como dato curioso: El ideograma que representa "matemáticas" en chino es el que se obtiene combinando los idiogramas de "arroz" y "mujer" ¿Alguien sabe por qué?


En el curso 2013-14 he retomado la costumbre de pedir a mis alumnos, que me escriban en  sun idiomas familiares "Me gustan las matemáticas". Aquí tengo otra tanda en:

  •  Polaco
  • Alemán
  • Ucraniano
  • Portugués
  • Tagalo   
Gracias a Laura Mingo que ha hablado con sus amigas, aquí os puedo presenta unos cuantos más:
  • Checo
  • Rumano
  • Sueco
  • Euskera
  • Búlgaro



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sábado, 27 de julio de 2013

¿Por qué los babilonios contaban de sesenta en sesenta?

Fuente de la imagen: aqui


Los babilonios, contaban de sesenta en sesenta. Reminiscencia de su sistema sexagesimal es la división de la circunferencia completa en 360 grados, el grado en 60 minutos, y el minuto en sesenta segundos.

Pero, ¿Por qué contaban los babilonios de sesenta en sesenta? Este vídeo os lo explica.



Para saber más del sistema de numeración babilónico:

domingo, 16 de junio de 2013

"Esfera + cono = cilindro". Repetimos el experimento de Arquímedes. Desafío: ¿Cómo demostró Arquímedes la fórmula del volumen de la esfera?


[Lápida de Arquímedes, según  Plutarco (46-120 dC): Un cilindro que contiene una esfera con una inscripción dando la proporción volumen de la esfera/volumen de un cilindro = 2/3. 
Fuente de la imagen: http://home.swipnet.se/polygon/saaPlu.htm]

De los muchos descubrimientos matemáticos y mecánicos que hizo Arquímedes, del que estaba más orgulloso era este: "El volumen de una esfera y el del cilindro cinscunscrito a ella, están en la relación de 2:3".
Tan es así que Arquímedes mando inscribir en su tumba una figura como la de la imagen.

En clase de Matemáticas hemos repetido el experimento de Arquimedes. Aquí está el vídeo 



Podemos formular un desafío a dos niveles.

El  desafío sencillo es, simplemente, comprobar algebraicamente que las fórmulas que vienen en los libros, efectivamente funcionan.

 
El  desafío avanzado, sería hacer una auténtica demostración.de la proposición de Arquímedes. Para ello hay que estudiar las secciones de las esfera y el cono a la misma altura.

A investigar: ¿Cuál fue la demostración de Arquímedes de la fórmula del volumen de la esfera?

En Aprender y enseñar matemáticas ya hemos dedicado anteriormente algunas entradas relacionadas con este tema:

Para ampliar:

La demostración que suele venir en los libros de texto del volumen de la esfera es esta:
 (Esta que presentamos es la demostración que aparece en el lubro "Matemáticas 3º de ESO". Bruño. Ángel de la Llave Canosa)









viernes, 24 de mayo de 2013

"Mind of modern mathematics". Una App muy instructiva. Su versión de andar por casa: Un mural de Historia de las matemáticas


Un póster clásico de IBM en versión App

Hay un App disponible para iPads para recorreer la Historia de las Matemáticas. Es la versión moderna de un famoso póster de IBM en los años setenta.

https://itunes.apple.com/us/app/minds-of-modern-mathematics/id432359402?mt=8




Una aplicación didáctica

Inspirado en esta idea he diseñado la siguiente actividad, recomedada para alumnos de los primeros cursos de la ESO.

Ver también: Las láminas y otros recursos gráficos para la clase de matemáticas



1) A los alumnos se les facilita un guión con un eje cronológico de la historia de las matemáticas. A cada alumno, o por parejas, se le encarga que investigue sobre uno de los episodios y que con lo que averigüe elabore un folio, que debe incluir algún mensajes gráficos. A esta tarea se puede dedicar una o dos sesiones en la sala de Informática o en la Biblioteca, consultando enciclopedias. 

2) Una vez recogidos los trabajos, se montan todos los trabajos de una manera semejante a la que se puede ver en la fotografía.
 
3) Luego, con el fin de animar a los alumnos a que lean los contenidos del mural, se les pide que confeccionen (una, dos o tres) preguntas de respuesta múltiple. Con las preguntas elaboradas se puede hacer un concurso de preguntas y respuestas. Los concursos de este estilo (pasa-palabra, trivial, ....) gustan mucho a los alumnos más pequeños.

4) También se puede pedir que cada alumno explique a sus compañeros su trabajo, hablando sobre su personaje.

5) El trabajo puede ampliarse buscado, en paralelo, algún acontecimieno histórico reseñable de la época.

 A continuación os ofrezco el guión del eje cronológico y los carteles correspondientes, por si os puede servir de base para nuevas versiones.









jueves, 18 de abril de 2013

Cuando en la clase de Matemáticas en vez de "EL radio" es "LA radio"



(EN CONSTRUCCIÓN)

En esta entrada os traemos una sugerencia: Hacer programas de radio para aprender y enseñar matemáticas. De paso aprendemos técnicas de comunicación. La combinación radio-ordenadores-internet con un guión,  es un coctel bueno. Así que..... a investigar sobre el tema.

Tutorial de cómo editar audios y hacer radio con el ordenador: Aquí

1. Ejemplos de programas de radio educativa

En la red hay un portal educativo que visito con frecuencia. En él se recogen miles de programas educativos para niños y jóvenes. Es un sitio encantador con la dulzura de voces latinoamericanas.


 Estos son ejemplos de programas de radio sobre mujeres matemáticas. En la web se incluye el guión del programa, lo que es muy formativo.

En Iberoamérica se han desarrollado mucho la radio como herramienta de apoyo a la educación. Aquí hay un ejemplo de los programas del Instituto radilofónico Fe y Alegría


También puedes visitar Radioteca.net

Si quermos ver ejemplos de programas educativos hechos de manera muy profesdional podemos visitar CANAL UNED

Otros ejemplos de radios escolares:
Radio solidaria

Ejemplo de programas de radio tratando de matemáticas:

3. Dónde alojar nuestros podcast

Un lugar para alojar tus Podcast y buscar otros allí alojados


Por ejemplo si en el buscador de IVOOX ponemos "matemáticas" nos aparece esto:

4. Editores de audio y recursos

Un editores de audio:  Audacity


Galería de efectos de sonido: SoundSnap



5. Recursos en la web 

http://radioslibres.net/
mm


jueves, 11 de abril de 2013

Un viaje fántástico a lo largo del mundo. ¿Qué es un grafo hamiltoniano?


El matemático, físico y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, ideó un juego conocido como El viajero del dodecaedro.

Este juego ha dado origen a un concepto de la teoría de grafos: Los grafos hamiltonianos.

¿Qué es un grafo Hamiltoniano?

Puedes verlo en este vídeo. Al final del vídeo se formula un desafío.




El juego "El viajero a lo largo del mundo" ideado por Hamilton:





jueves, 4 de abril de 2013

Lecciones en forma de problemas para el trabajo cooperativo en el aula (Geometría analítca)


La lección que aquí presentamos está pensada como un ejemplo de material para aprendizaje activo de las matemáticas basado en la resolución de problemas utilizando técnicas del trabajo cooperativo.

Consideramos de interés desarrollar materiales en esta línea ya que permiten aprovechar la presencia en el mismo aula de varios profesores. Aunque cada vez es más utópico disponer de desdobles y profesores de apoyo, sí es cierto que, en determinados momentos del curso, se puede contar con alumnos en pácticas del máster para profesores de secundaria como ayuda para hacer este tipo de experiencias.

Esperamos ir desarrollando más temas y ponerlos en práctica. Poco a poco, con la experiencia y con la colaboración de todos, iremos afinando la metodología. Se agradecen comentarios y sugerencias. ¿Alguien más se anima?

De momento pongo aquí dos lecciones de Geometría Analítica

1. Geometría analítica de la recta.
2. Geometría analitica de la parábola y la circunferencia.





domingo, 17 de febrero de 2013

Las Láminas y otros recursos gráficos para la clase de Matemáticas

 Hace algunos años empezamos a trabajar con grupos de alumnos de los primeros cursos de la ESO haciendo murales sobre Historia de las Matemáticas. Se trata de no recurrir siempre al Power-point para exponer algo. Hay que manejar otras opciones.

Una muestra de referencia pueden ser estos carteles sobre la Historia de la Matemática Griega.




Lo ideal es que sean los propios alumnos los que elaboren sun propias láminas explicativas de los temas que han investigado. Para ellos una muestra excelente de cómo se puede presentar la información con un buen soporte gráfico son las láminas de Lolita Brain (pseudónimo de un profesor de Secundaria) que publicó entorno al año 2000 en el suplemento AULA, del diario EL MUNDO.

En este enlace, se pueden consultar todas las láminas de Lolita Brain.

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2005/textos/laminas/Brain%20brain.htm

jueves, 24 de enero de 2013

Demostración de los teoremas métricos del triángulo rectágulo (Teorema de la altura, teorema del cateto y teorema de Pitágoras)


Uno de los déficits de nuestros currículos de Matemáticas es que, lamentablemente, se huye de las demostraciones. Los profesores y los alumnos estamos muy presionados por la premura de cumplir los programas, y la masificación en las aulas no es que ayude mucho a entablar una relación intensa de los alumnos con las matemáticas. Nos obsesiona preparar a los alumnos para que sean capaces de superar, como sea, unos exámenes de lápiz y papel que se hacen en una hora. Los alumnos se obsesionan por estudiar de memorieta para los exámenes, empollando sin sentido. Así abandonan lo que es esencial en su formación: la laboriosidad perseverante, la reflexión tranquila, la investigación curiosa y la comunicación activa.

Los temas de geometría se prestan muy bien para mostrar a los alumnos, de una manera tangible, en qué consiste demostrar un teorema y resolver un auténtico problema, los dos aspectos que son la esencia del pensamiento matemático. Los temas de geometría son una oportunidad que no podemos desaprovechar para enseñar las más matemáticas más bellas y estimulantes. (Ver:  Didáctica de la geometría clásica) Es por esto por lo que he preparado una demostración apoyándose en figuras hechas con papel. Aquí está el vídeo.

Aplicación didáctica 

Ya sé que el vídeo se distingue mal. Espero comprarme una webcam un poco mejor en breve. Pero tampoco me importa mucho. El objetivo es que los alumnos cojan la idea y luego la repitan por sí mismos completando los detalles. El tener que hacer algo manipulativo obliga a los alumnos a no caer en la tentación de estudiarse las demostraciones de "memorieta" y  es una ayuda para hacer más evidentes las razones lógicas. Es el viejo truco de la didáctica: "recurrir a la acción"

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS:

Más demostraciones manipulativas del teorema de Pitágortas:





martes, 8 de enero de 2013

Desafío matemático 3. El problema del matemático borrachín



Este problema está adaptado de uno que aparece en el excelennte libro de problemas de matemáticas: "El país de las mates. 100 problemas de ingenio", de Miquel Capó Dolz.

PRIMERA PARTE ¿Cuánto hay que pagar por media copa?

Un matemático borrchín entra en un bar de copas y le pregunta al camarero:

-- ¿Cuánto cuesta una copa?
-- 8 euros, señor.
-- No dispongo de ese dinero. Así que lléname la copa sólo hasta la mitad.

El camarero muy diligente le llenó la copa (que tenía forma de cono) hasta la mitad de la altura.
El matemático borrachín se la bebió de un trago. Y se dirigió al camerero.
-- ¿Cuánto te debo?
-- Si una copa son 8 euros, y yo le he servido media copa, entonces me debe 4 euros.
-- De ninguna manera. Eso no es lo justo. Yo te pagaré sólamente lo que me corresponde en función de lo que me he bebido.

¿Puedes ayudar al matemático borrachín a explicarle al camarero cuál es la cantidad que debe pagar?



SEGUNDA PARTE ¿Cuánto hay que llenar pora tomar media copa?

Una situación muy parecida a la anterior. En esta ocasión el matemático borrachín vuelve a entrar en el bar y enseñádole 4 euros al camarero le dice.

-- Hoy puedo pagarme media copa. Dispongo de 4 euros. Así que llename la copa.
-- Vaya lío. Espere que voy a por una calculadora y una regla.

¿Podrías decirle al camarero qué proporción de la altura total de la copa debe llenar para que el matemático borrachín quede satisfecho?




lunes, 7 de enero de 2013

Desafío matemático 2. Justificar un truco de cálculo mental


Seguimos con los desafíos matemáticos que consisten en hacer demostraciones. El desafío es demostrar el siguiente truco para elevar al cuadrado un número acabado en "5".

Cogemos el número formado por las primeras cifras, las que van delante del "5". Lo multiplicamos por su siguiente. Al resultado le colocamos detrás un "25".

Ejemplos:

25 · 25 = 625     (2 · 3 = 6)
35 · 35 = 1225   (3 · 4 = 12)
45 · 45 = 2025   (4 · 5 = 20)
55 · 55 = 3025   (5 · 6 =30)
65 · 65 = 4225   (6 · 7 = 42)
75 · 75 = 5625   (7 · 8 = 56)
85 · 85 = 7225   (8 · 9 =72)
95 · 95 = 9025    (9 · 10 = 90)
115 · 115 = 13225   (11 ·12 = 132)


PISTA. Un número  acabado en 5, se puede escribir de la forma   N = 10 · D + 5
Donde D es el número entero de decenas.