viernes, 18 de julio de 2014

Dibujar una elipse doblando papel (Dibujar curvas usando rectas)


Iniciamos con esta entrada una serie que podemos titular: Dibujando curvas a base de rectas.

En este caso, vamos a dibujar una elipse como la envolvente de una serie de rectas que obtenemos doblando papel.



Procedimiento

En un circulo de papel señalamos un punto interior, P. Doblando el papel, marcamos diferentes cuerdas de la circunferencia de modo que al doblar el papel por la cuerda resulte que la circunferencia pase por el punto interior P. (Ver vídeo).

La envolvente de todas las cuerdas es una elipse que tiene por focos el punto interior P y el centro de la circunferencia, C.

Justificación

Para la justificación del procedimiento hay que recordar:

Definición de elipse como lugar geométrico
Una elipse es el lugar geomérico de los puntos tales que la suma de las distancias a los dos focos es una coanstante

d(X, F1) + d(X, F2) = k (cte)

Propiedad de reflexión 
 Los radios vectores de un punto de la elipse forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en ese punto




 La circunferencia que tiene por centro uno de los focos de la circunferencia y de radio la connstante, 2a,  de la elipse,  recibe el nombre de CIRCUNFERENCA FOCAL.

El resultao que acabamos de demostrar sirve para dar otra definición de la elipse como lugar geométrico:

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la uma de distancias a un punto (uno de los focos) y a una circunferencia (circunferencia focal con centro en el otro foco) es una constante.

Aplicación didáctica

Esta construcción puede ser el origen de la construcción de importantes resultados.

1º X es un punto de la elipse que tiene por centros P y C
2º La cuerda m es la tangente a la elipse en el punto X
3º Propiedad de reflexión de la elipse. La tangente es la bisectriz exterior de los radios vectores.

En estos apuntes manuscritos se puede ver el desarrrollo formal



 Para ampliar


[Fuente: Matemáticas 2º de BUP. Guzmán y Colera. Ed. Anaya]