jueves, 7 de abril de 2011

Teorema de Pitágoras


Ya los agrimensores egipcios, hace tres mil años, utilizaban el triángulo de lados 3, 4 y 5 para dibujar ángulos rectos sobre el terreno.

La propiedad de los triángulos rectángulos de afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es el famoso teorema de Pitágoras al que vamos a dedicar este post.

¿Sabrías demostrar el teorema de Pitágoras? ¿Hay más ternas pitagóricas además de (3-4-5)? ¿Qué tiene esto que ver con el último teorema de Fermat?

Demostración del teorema de Pitágoras de Galileo

Galileo utilizó una balanza para comprobar la igualdad de áreas.Uasando este método, demostró, por ejemplo que el área debajo de una cicloide es igual a la de tres cículos que lo generan.

En el siguiente vídeo vemos cómo el cuadrado construido sobre la hipotenusa pesa lo mismo que los dos cuadrados contruidos sobre los catetos 






Vídeo de elaboración propia:





Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
(Chou pei suan ching 200 a. C.)

Vídeo de elaboración propia explicado el triángulo pitagórico 3-4-5:




Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras

( H.E. Dundeney 1917)

Esta es la pimera demostración en la que se costruyen las áreas de los cuadrados de los catetos, a partir del cuadrado de la hipotenusa usando sólamente traslaciones (sin usar movimientos inversos)






Teorema de Pitágoras - Módulos Interactivos from Principia on Vimeo.







Otra demostración manipulativa del Teorema de Pitágoras (vídeo de elaboración propia)





 Demostración acuática:

Demostración de Euclides








Demostración manipulable de Lonardo Da Vinci










Demostración del teorema de Pitágoras del libro "Mirar y ver" de Miguel de Guzmán




Puzzles Pitagóricos


PUZZLES PITAGÓRICOS




Demostración acuática

http://www.mathwarehouse.com/animated-gifs/images/pythagorean-theorem-sum-of-squares-demonstration-gif.gif


Puzzle pitagórico

Puzzles pitagórcos para imprimir y hacer on line

Demostración del Teoerema de Pitágoras de A. Einstein 

 https://pseudopodo.wordpress.com/2008/11/28/pitagoras-segun-einstein/


pitagora
En el triángulo original, de lados a,b,c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda tiene por hipotenusa a; llamaremos a su área Sa; el de la derecha tiene por hipotenusa b, y su área será Sb. El triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área Sc.
Estos tres triángulos son semejantes porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal. Podemos escribir por tanto que:
Sa = k·a2
Sb = k·b2
Sc = k·c2
donde k es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica).
Además, es obvio que
Sc = Sa + Sb
Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores,
c2 = a2 + b2

 
Ternas pitagóricas y el último teorema de Fermat


Además de (3-4-5) hay otras ternas pitagóricas, es decir, tres números enteros (x-y-z) que cumplen el teorema de Pitágoras
x2 + y 2= z2

Por ejemplo: (9-12-15), (5-12-13), ... son ternas pitagóricas

¿Esto mismo funcionará para los cubos?

x3 + y 3= z3

El último teorema de Fermat, que enunció Fermat sin demostración conocida poco antes de morir, afirma que, si se cambia el exponente 2 por otro entero cualquiera n mayor que 2, la ecuación

xn + y n= zn

no tiene soluciones enteras.

¿Puedes averiguar algo más sobre Fermat? ¿Se ha demostrado ya el último teorema de Fermat?


En uno de los episodios de los Simpsons se hace referencia al último teorema de Fermat.
Como se puede ver en el fotograma que se ha incluido en el texto aparece la igualdad


178212 + 184112 = 192212

Es curioso, el caso que se presenta, pues si se hace con una calculadora (por cuestiones de redondeo) resulta que se verifica lo que sería un contraejemplo del último teorema de Fermat. ¡Compruébalo!

10 comentarios:

yeison stiven arismendi lopez dijo...

bn

Gaby dijo...

Gracias por la información! Me ha interesado realizar algunas de estas demostraciones con mis alumnas :)

Anónimo dijo...

Interesante información, me ha ayudado a la comprensión del tema

slither io dijo...

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Josh dijo...

Demostraciones muy amenas!
Calculadora de Pitágoras

Anónimo dijo...

Soy Ángela

Anónimo dijo...

No hagan cosas así mandan mucho deber

Anónimo dijo...

Si dejen de mandar mucho deber

Anónimo dijo...

Confirmo

Anónimo dijo...

Nmms ya es 2021