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jueves, 7 de abril de 2011

Teorema de Pitágoras


Ya los agrimensores egipcios, hace tres mil años, utilizaban el triángulo de lados 3, 4 y 5 para dibujar ángulos rectos sobre el terreno.

La propiedad de los triángulos rectángulos de afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es el famoso teorema de Pitágoras al que vamos a dedicar este post.

¿Sabrías demostrar el teorema de Pitágoras? ¿Hay más ternas pitagóricas además de (3-4-5)? ¿Qué tiene esto que ver con el último teorema de Fermat?

Vídeo de elaboración propia:





Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
(Chou pei suan ching 200 a. C.)

Vídeo de elaboración propia explicado el triángulo pitagórico 3-4-5:




Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras

( H.E. Dundeney 1917)

Esta es la pimera demostración en la que se costruyen las áreas de los cuadrados de los catetos, a partir del cuadrado de la hipotenusa usando sólamente traslaciones (sin usar movimientos inversos)



Teorema de Pitágoras - Módulos Interactivos from Principia on Vimeo.



Otra demostración manipulativa del Teorema de Pitágoras (vídeo de elaboración propia)



 Demostración acuática:



Ternas pitagóricas y el último teorema de Fermat


Además de (3-4-5) hay otras ternas pitagóricas, es decir, tres números enteros (x-y-z) que cumplen el teorema de Pitágoras
x2 + y 2= z2

Por ejemplo: (9-12-15), (5-12-13), ... son ternas pitagóricas

¿Esto mismo funcionará para los cubos?

x3 + y 3= z3

El último teorema de Fermat, que enunció Fermat sin demostración conocida poco antes de morir, afirma que, si se cambia el exponente 2 por otro entero cualquiera n mayor que 2, la ecuación

xn + y n= zn

no tiene soluciones enteras.

¿Puedes averiguar algo más sobre Fermat? ¿Se ha demostrado ya el último teorema de Fermat?


En uno de los episodios de los Simpsons se hace referencia al último teorema de Fermat.
Como se puede ver en el fotograma que se ha incluido en el texto aparece la igualdad


178212 + 184112 = 192212

Es curioso, el caso que se presenta, pues si se hace con una calculadora (por cuestiones de redondeo) resulta que se verifica lo que sería un contraejemplo del último teorema de Fermat. ¡Compruébalo!