domingo, 8 de febrero de 2015

La espiral de Arquímedes y la trisección del ángulo



La espiral de Arquímedes es una curva mecánica ideada por el sabio de Siracusa con el fin de resolver el problema de la trisección del ángulo. El estudio de las espirales centró la atención de Arquímedes y uno de sus libros más complicados es el que tituló "Sobre las espirales":


Definición

Imagínese una línea que gira con velocidad angular constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en el mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral.


Las ecuación en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes es, pues,

r = k· t

La espiral de Arquímedes, también se llama espiral aritmética.

Para saber más aquí


Procedimiento mecánico de construcción de la espiral usando una escuadra.

Dibujemos una circunferencia de radio R.  Hagamos una escuadra en la que su brazo corto tenga por longitud el radio de la circunferencia. Sea el punto X, en el extremo de la escuadra que coincide con el centro de la circunferencia, tal como se ve en el dibujo.

Si se rueda el lado largo de la escuadra sobre la circunferencia, resulta


 MN = arco MP = R t

Como por ser una escuadra, MN = OX se tiene que el punto X describe una espiral de Arquímedes de ecuación

r = R· t


Trisección del ángulo usando la espiral de Arquímedes 

La trisección del ángulo se puede hacer fácilmente si tenemos ya construida una espiral de Arquímedes, de ecuaciones r = k t.  Siendo r, la distancia al origen y t el ángulo con respecto a la horizontal)

Coloquemos una espiral de Aquímedes con origen, O, en el vértice del ángulo que queremos trisecar. En el dibujo hemos usando el color rojo para representar la espiral. Sea Q el punto donde la espiral corta a uno de los lados del ángulo, como se ve en el dibujo.

Dividamos el segmento OQ en tres segmentos iguales, determinando los puntos Q1 y Q2. De tal manera que OQ1 = 1/3 OQOQ2 = 2/3 OQ.  [*]

Con centro en O, usando el compás, trasladamos las distancias OQ1 y OQ2 a la espiral, determinando en ella los puntos H1 y H2.  Es decir, se verifica OH1 = OQ1 = 1/3 OQ  y   OH2 = OQ2 = 2/3 OQ

 Aplicando la definición de la espiral de Arquímedes resulta que las rectas OH1 y OH2 trisecan el ángulo QOP.

En efecto, si llamanos t1 al ángulo POH1,  t2 al ángulo POH2 y t3 al ángulo dado POQ, se tiene  que
por la definición de la espiral
OH1 = k t1
OH2 = k t2
OQ = k t3

y de la telación [*] tesulta que t1 = 1/3 t  y t2 = 2/3



Área encerrada por la espiral de Árquímedes 

Aquímedes calculó, utilizando el método de exhaución para calcular el área que encierra el radio vector de la espiral en su primera revolución. llegando al resultado que dice

"El área barrida por la espiral de Arquímedes en una vuelta es igual a 1/3 del área del cículo que la encierra




Una demostración con todo detalle puede verse aquí


 http://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Pappus/Bookiv/Pappus.iv.21-25/Pappus.iv.21_25.html


La espiral de Arquímedes y los números primos 

Una curiosoidad es la relación que existe netre la espiral de Arquímedes y la distibución de los números primos. (Espilral de Ulam)

http://youtu.be/pnYkK6PqUro

http://demonstrations.wolfram.com/SpiralOfPrimes/