miércoles, 6 de diciembre de 2017

Mi primer teorema: un teorema de Thales. Para despertar el gusanillo de hacer demostraciones



¡¡Cuánto echo de menos que se enseñe más Geometría en educación secundaria!! Es la herramienta ideal para despertar en los jóvenes el gusanillo por hacer demostraciones, y engancharlos a las matemáticas.

Dicen que la primera demostración, como tal,  de un teorema de  matemáticas se debe a Thales de Mileto. Es el conocido como segundo teorema de Thales, que dice

"Cualquier ángulo inscrito en una semi-circunferencia es recto"


Yo suelo hacerles la demostración a los alumnos de la ESO y descubro con mucho agrado que a los chicos les encanta ver que la parte más bonita de las matemáticas consiste en demostrar teoremas.

La demostración de este primer teorema se comprende con facilidad y demuestra un hecho que en principio sorprende por su generalidad. Es decir, este es, sin duda, un buen primer ejemplo para enseñar qué es un teorema de matemáticas y cómo se hace una demostración. (Herramientas básicas de la geometría)

La demostración se basa en estos dos hechos:
1) Los triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales. (Es el famoso pons asinorun del los Elementos de Euclides). Este resultado se puede hacer muy evidente doblando papel.
2) La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es un ángulo llano. Este resultado también se puede hacer evidente de manera muy intuitiva. Ver aquí.

Viendo la imagen del principio, resulta que para la demostración del teorema basta observar: Por un lado, que el triángulo ABO es isósceles porque tuiene dos lados que son iguales por ser radios de la misma circunferencia. Y por otro, que el triángulo BOC también es isósceles por tener dos lados iguales, que son radios de la misma circunferencia.

Este método de demostración es fácil generalizarlo para demostrar que los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales, e iguales al la mitad del ángulo central. Introduciendo después el concepto de "arco capaz", tan útil.....

Naturalmente, este tipo de cosas no entran en los exámenes.





 

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