Regla de derivación del producto. Demostración (casi) sin palabras

Como profesor de matemáticas me queda un mal sabor de boca cuando explico las reglas sin justificación.

Para el caso de la regla de la derivación de un producto de funciones ofrezco esta demostración gráfica (casi) sin palabras (proofs without words).

Partimos de un producto de dos factores u•v, que es el área del rectángulo pintado de color naranja. Si incrementamos cada uno de los factores, incrementamos el área en tres rectángulos (el azul, el amarillo y el blanco)

Si, ahora, dividimos los dos miembros de esta igualdad por el incremento de la variable independiente, Δx, para hallar la velocidad de crecimiento, resulta

 

Basta hacer un paso al límite cuando Δx tiende a cero para obtener la regla de derivación del producto

 

Ya que el último sumando tiende a cero porque es el producto de un término que tiende a cero, Δu, por otro, v'.