domingo, 29 de septiembre de 2019

El efecto de añadir un idiota en un comité. (Un ejemplo de matematzación)

 En esta entrada presentamos una sugerente matematización de la situación que se produce cuando se incluye a un idiota en un comité que toma decisiones.  Puede servir para ver cómo las matemáticas ayudan a analizar situaciones cotidianas. Mirar al mundo con ojos matemáticos es muy divertido.

El efecto de añadir un idiota en un comité

Los seres humanos se equivocan, y algunos más que otros. Una manera de aumentar la fiabilidad de las decisiones, aun con gente no infalible, es consultar a varios y tomar el voto de la mayoría. Para simplificar, supongamos que tenemos tres expertos que se equivocan con una probabilidad p (pequeña) y que ponemos un comité en el que se toman las decisiones por mayoría. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité se equivoque?
Claramente el comité se equivoca si el primero acierta y los otros dos se equivocan, si el segundo acierta y los otros dos fallan, si el tercero acierta y los otros dos fallan y si los tres fallan. Poniendo todo esto junto nos da una probabilidad de

3p^2(1 - ­ p) + p^3

que si p es pequeño, la suma es aproximadamente 3p^2 que es más pequeño que p. Es decir, que a base de poner más personas y tomar la mayoría tenemos un resultado mejor que si tuviéramos solo uno.

Supongamos ahora que en el comité de tres personas hay dos expertos y un idiota que no sabe nada y acierta con la misma probabilidad que tirar a cara o cruz, es decir ½. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité falle? Haciendo el mismo análisis que antes vemos que es. (ponemos, por ejemplo al idiota en el primer puesto).

½ p^2 + ½ p(1 - ­ p) + ½ (1 - ­ p)p + ½ p^2 = p^2 + p(1 - ­ p) = p

Un comité de tres personas seleccionado a la ligera con un solo idiota es exactamente tan efectivo como una sola persona correctamente seleccionada.
Se podría pensar que poniendo a un idiota en un comité de tres vamos a tener algo tan efectivo que un comité con dos expertos, pero no es así. La realidad es peor que eso. Meter a un idiota en un comité de tres obtenemos una fiabilidad como si tuviésemos un solo experto. El idiota no sólo ha generado su gasto si no que ha echado a la basura el gasto de otro experto. Esto se puede explicar de una manera intuitiva. El idiota puede dar la mayoría a la decisión equivocada de una persona, y esto pasa la mitad de las veces que una persona se equivoque, con lo cual un comité de tres personas con un idiota es equivalente a una sola persona.
Se puede hacer, ­pero es menos elemental­, el caso del comité de N personas con M  idiotas. Se puede ver que los idiotas aumentan mucho la disfunción de los comités más allá de su peso.

7 comentarios:

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