jueves, 13 de agosto de 2015

Técnicas para enunciar criterios de divisibilidad


En esta entrada se ofrecen unas notas en las que se exponen diversas técnicas para enunciar critérios de divisibilidad de núneros expresados en el sistema de numeración decimal. Algunas técnicas son muy conocidas y otras no tanto.

La historia de este trabajito tiene para mi una anécdota muy entrañable. En 1984, cuando estaba destinado en Aranda de Duero, la familia hicimos una excursión para ver el monasterio de santo Domingo de Silos. En aquella época, Silos era un lugar que no tenía la importancia turística que tuvo más tarde. De hecho, en la visita estabamos nosotros solos. Esto permitió establecer una comunicación muy cordial con el fraile benedictino que nos guiaba en la visita. Cuando él se enteró de que yo era profesor de Matemáticas y de que mi suegro (que estaba con nosotros) también era matemático nos pidió pidió ayuda.
-- Tengo un hermano que se presenta a unas oposiciones y en el temario aperece una cuestión: "criterio de divisibilidad por siete". He estado buscando en la biblioteca del monasterio y no lo he podido encontrar. Os agradecería que me mandáseis una referencia para mandársela a mi hermano e incorporarla a la biblioteca del monasterio.
Rápidamente le expliqué un criterio de divisibilidad por siete muy poco conocido que había aprendido de mi padre (que tal vez lo leyó en algún libro de aritmética mercantil). De todas maneras, estimulado por la idea de quedar mi escrito archivado en la biblioteca del monasterio de Silos, mecanografié estas notas. Son de elaboración propia y están inspiradas, básicamente en el libro de Análisis algebraico de Rey Pastor y el libro de Análisis matemático del padre Chacón SJ. En el artículo se formula una conjetura, sin demostración, referida a los periodos de los restos potenciales de diez. Cuando le planteé el problema a mi amigo el famoso físico-matemático Alan Sokal me escribió una demostración cuyo manuscrito se incorpora al final del texto para los amantes de la matemática discreta. 

NOTA: Me han advertido que hay algún error en el ecaneo, debido a que el original es tamaño folio y no DIN A4. Hay algunas notas a pie de página que están incompletas. Para completarles las copio a continuación

Página 2
(**) Si un número es de la forma a = multiplo de k + q, entonces  son equivalentes:
a = multiplo de k  <=> q = múltplo de k.

Página 5 
(*) Se llama "gaussiano" de n con respecto al módulo, al menos g tal que se satisface la congruencia
n elevado a g es congruente con 1 módulo k 

Página 6
(*) Un hecho, que hemos observado, aunque no hemos encontrado demostración, es que en el caso de que k sea primo y el gausiano sea k-1, en la sucesión de restos potenciales se da una simetría consistente en que si se toman los restos por exceso y por defecto  demodo que su valor absoluto sea lo más pequeño posible, ,la primera mitad del periodo coincide con la segunda mitad, sólo que cambiada de signo.





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