Aprender y enseñar Matemáticas: Elipsógrafo o compás de Arquímedes. Cómo dibujar curvas usando rectas. (También la Astroide)

lunes, 2 de febrero de 2015

Elipsógrafo o compás de Arquímedes. Cómo dibujar curvas usando rectas. (También la Astroide)

Se atribuye a Arquímedes el invento de este artilugio para dibujar elipses. Por ello es conocido como ELIPSÓGRAFO o Compás de Arquímedes

Nos hemos construido uno artesanalmente que funciona así.Es ideal para dibujar elipses en una pizarra.

Construcción

Se necesita:
Para el cuadrante:
1 cuadrado 23x23 cm
4 cuadrados 11x11 cm
4 cuadrados 10x10 cm
Para los cursores
2 rectágulos 3x1 cm
2 molduras cuadradas 1x1x3 cm que se montan sobre los rectángulos anteriores.
Para el brazo
Una moldura plana, dos trornillos y 4 arandelas que facilitan el juego (en cada tornillo se pone una arriba y otra abajo).
Para sugetar el lapiz o la tiza un rectángulo agujereado que se fija con pegamento y un tornillo al extremo del brazo.

El resto es un poco de pegamento de contacto y un papel de lija para los ajustes.

La demostración matemática

Hemos hecho una sencilla justificación matemática de que el resultado del dibujo es una elipse. Usamos un poquito de geometría analítica vectorial para hallar la ecuación de u n lugar geométrico.

Demostración matemática. Ecuaciones de un lugar geométrico

Aquí tenéis una excelente animación hecha con GEOGEBRA obtenida de GEOGEBRATUBE

(Puede que haya problemas con el plugin de Java). Visita este enlace directo

http://tube.geogebra.org/student/m71230

LA ASTROIDE

Nuestro aparato también nos sirve para presentar otra curva: La ASTROIDE, que es la envolvente de los segmentos que define el brazo sobre los ejes. Hemos marcado con tiza blanca las posiciones del segmento que se desplaza por los ejes.

La astroide fue estudiada por Leibnitz. (Un gran amante de los mecanismos)

Esta experiencia es un primer paso para introducir las envolventes. Que son una manera de dibujar curvas usando rectas. Volveremos a ello en otra enttrada.

También en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

Cómo dibujar una elipse doblando papel

http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2014/07/dibujar-una-elipse-doblando-paapel.html

Para saber más:

En este vídeo puede ver una animación que muestra muy claramente el funcionamiento del elipsógrafo

http://youtu.be/AHopbTSHoLw

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Aprender matemáticas es "hacer matemáticas"

Aprender matemáticas es esencialmente “hacer matemáticas” y la enseñanza de esta disciplina debe desarrollar, por encima de todo, la capacidad de resolver problemas, razonar y comunicar matemáticamente, estimular la apreciación del valor de las matemáticas y la confianza de las alumnas y alumnos para que participen en actividades relacionadas con ellas. Para alcanzar estos objetivos, es crucial el papel de las actividades de aprendizaje en la medida en que estas favorezcan formulación de conjeturas, su discusión y su argumentación que son aspectos fundamentales de de la experiencia matemática que deben proporcionarse a los alumnos.

National Council of Teachers of Mathematics (1989)

Pistas

"Lo afectivo es lo efectivo". Enseñar consiste en coseguir que los estudiantes quieran aprender y de hecho aprendan"
Miguel de Guzmán

"Es mucho mejor resolver un problema de cinco maneras diferentes, que reslover cinco problemas de una sola manera"
G. Polya

"Las Matemáticas rigurosas se hacen con la mente, las Matemáticas hermosas se hacen con el corazón."
Claudi Alsina

“Se me piden normas didácticas. Preferiría despertar una conciencia didáctica; sugerir formas de sentir antes que modos de hacer.”
Peddro Puig Adam

"Oigo y olvido; veo y recuerdo; hago y comprendo."
Proverbio chino

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”.
René Descartes

"Nunca dejará de asombrarme que las matemáticas, un producto de la libre imaginación humana, se correspondan tan exactamente con la realidad."
Albert Einstein

"En Matemáticas el arte de de proponer problemas, es mucho más estimulante que el de resolverlos"
Georg Cantor

"Las matemáticas no sólo poseen la verdad, sino la suprema belleza."
Bertrand Russell

"El mayor descubrimiento de la humanidad, la auténtica piedra filosofal, es la capacidad de razonar"
E. Spitznagel

"Los hombres mientras enseñan aprenden."
Seneca

La característica más sorprendente de la matemática, como disciplina intelectual, quizá sea la enorme variedad de los problemas que aborda; y no podemos dejar de maravillarnos de que estén relacionados de una manera significativa."
S. M Ulam

"Solemos llamar inútiles a las cosas que no comprendemos."
Fontenelle

"Cultura no es sino aquello que queda en el espíritu después de haber olvidado todo lo aprendido en el periodo escolar"
P. Puig Adam y J. Rey Pastor

"¡Dichoso el que puede meditar de veras en el torbellino en que vivimos!"
Pedro Puig Adam

"Ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas."
(Quijote II, 18)

"Usted puede elegir entre tener unas ciertas nociones claras de matemática o no tenerlas, pero debe saber que si no las tiene, es usted una persona mucho más manipulable que en el caso contrario."
John Allen Paulos

"Se ve que las matemáticas son gratas a la gente y útiles para los pobres"
S. José de Calasanz

"El conocimiento es uno de los pocos bienes que crece a medida que se comparte y se somete a la discusión abierta."
Proverbio

«¡Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad!»
Albert Einstein

"El que aprende y aprende y no practica lo que sabe es como el que ara y ara y nunca siembra."
Platon

"Despacito y buena letra,
que el hacer las cosas bien
importa más que el hacerlas"
Antonio Machado

"No he fallado. Sólo he encontrado 10.000 casos que no funcionan."
T. A. Edison

"Aprendí a aprender para poder enseñar y aprendí a enseñar para poder aprender."
Luis Santaló

“No es lo que importa que el material sea poco o mucho, pobre o rico, grande o pequeño; lo que interesa es que sea adecuado a aquella obra de educación activa, forjadora…y por adecuado, en este respecto, entiendo vivo; y vivo quiere decir, por lo que hace a la escuela primaria, fabricado en ella como obra del trabajo común de maestro y discípulo”
M. B. Cossío

Lo más curioso es que todos aquellos que estudian seriamente esta ciencia, caen en una especie de pasión. Verdaderamente, lo que más placer proporciona no es el saber, sino el estudiar; no la posesión, sino la conquista; no estar aquí, sino ir hacia allá.
K. F. Gauss

A partir del examen de ejemplos es posible elaborar un método-
Descartes

Aún Gauss, cuando se le preguntó cómo llegaba a alguna de sus ideas generales respondió "DURCH PLANMÄSSIGES TATONIEREN",es decir, a través de la experimentación sistemática.
S M. Ullam

No hay modo de entender bien al hombre si no se repara en que la Matemática brota de la misma raíz que la poesía, del don imaginativo.
José Ortega y Gasset

"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces"
Baltasar Gracián

"La formulación de un problema es más importante que la solución.❞
Albert Einstein

❝No es la respuesta lo que ilumina, sino la pregunta.❞
Eugène Ionenesco

"Hacer Matemáticas es, antes que nada, demostrar lo que afirmamos"
Riemann

"En matemáticas el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas"
Título de la tesis doctoral de Georg Cantor

IGNORANCIA IGUAL A SABIDURÍA
En 1945, un niño que participaba en una Olimpiada matemática en Rusia ganó el primer premio aunque ni siquiera había intentado resolver un problema. El premio fue otorgado por un comentario que entregó junto con una demostración incompleta:
"He pasado mucho rato intentando demostrar que una línea recta no puede cortar a los tres lados de un triángulo en sus puntos interiores pero he fracasado porque, para mi desconsuelo, me he dado cuenta de que no sé qué es una línea recta."
Tomado de Anne Rooney. Historia de las matemáticas

La perfección no se alcanza cuando no hay nada más que añadir, sino cuando no hay nada más que quitar.
Antoine de Saint-Exupéry

"La belleza es el primer requisito. No hay lugar permanente para la matemática fea"
G. H. Hardy

"El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la belleza?"
Miguel de Guzmán

"Conviene que todos los ciudadanos entren en contacto con la verdadera matemática, que es método, arte y ciencia, muy distinta de la calculatoria, que es técnica y rutina."
Luis Antonio Santaló

"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por medios propios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo”.
Georges Polya

“La creación o invención es la fase de la actividad matemática que mayor placer comporta. Privamos a nuestros alumnos de este placer cuando presentamos la matemática al modo de una aburrida guía de museo”
Miguel de Guzmán

Es una verdad por todos comprobada que la Matemática, lo mismo que el latín y otras disciplinas, puede no dejar rastro alguno formativo o dejar huellas muy distintas según el profesor y según el método que le hayan servido de guía.
Pedro Puig Adam

Lo que dice el profesor en clase no carece de importancia, pero lo que los alumnos piensan es mil veces más importante. Las ideas deben nacer en la mente de los alumnos. y el profesor debe actuar como una comadrona.”.
G. Polya

“Oigo y olvido; veo y recuerdo; hago y comprendo”.
Confucio

"Si quieres construir un barco, no empieces por buscar madera, cortar tablas o distribuir el trabajo. Evoca primero en los hombres y mujeres el anhelo del mar libre y ancho."
A. Saint Exupery

En los primeros meses de curso mi clase es, en rigor, sala de estudio. Desde entonces la clase varía de aspecto, el alumno sabe ya estudiar y se le puede exigir que estudie sin explicarle previamente más que aquellos puntos que puedan presentar serias dificultades. De este modo, no encontrando el alumno al estudiar obstáculos que no pueda vencer, estudia con gusto y corre en la asignatura, de tal suerte que saca con holgura el atraso de los primeros meses.
Ignacio Suárez Somonte

"Uno de los fines principales a que sirven las matemáticas, cuando se enseñan bien, es despertar en el estudiante la creencia en la razón, su confianza en la verdad de lo que ha sido demostrado y en el valor de la demostración."
Bertrand Russell

"Yo no enseño, yo les dejo aprender"
Caleb Gattegno

El ángel de los números

Vírgenes con escuadras
y compases, velando
las celestes pizarras.

Y el ángel de los números,
pensativo, volando
del 1 al 2, del 2
al 3, del 3 al 4.

Tizas frías y esponjas
rayaban y borraban
la luz de los espacios.

Ni sol, luna ni estrellas,
ni el repentino verde
del rayo y el relámpago,
ni el aire. Solo nieblas.

Vírgenes sin escuadras,
sin compases, llorando.

Y en las muertas pizarras,
el ángel de los números,
sin vida, amortajado
sobre el 1 y el 2,
sobre el 3, sobre el 4...

Rafael Alberti
Puerto de Santa María, 1902

"Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá"
Hipatia de Alejandría

“El motivo más importante para trabajar tanto en la escuela como en la vida es el placer por el trabajo, por sus resultados y por la aportación a la comunidad en la que se vive”.

Albert Einstein

Los únicos conocimientos que no se aplican nunca son los que no se tienen
Pedro Puig Adam