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jueves, 10 de agosto de 2017

Dodecálogo de un docente (de matemáticas), del Prof Luis Balbuena Castellano


En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS  ya hemos recogido

Hoy taremos a este blog en dodecálogo de un docente (de matemáticas) de nuestro admirado profesor Luis Balbuena Castellano. [Fuente: Diario de las Palmas, 3 de junio de 2017]

He tratado de sintetizar en este dodecálogo algunos principios. Los aporto y comento brevemente, sin dogmatismo. Mi autoridad en este momento solo está avalada por dos detalles: los años y un ejercicio responsable y comprometido de la docencia. El orden de presentación no responde a ningún criterio jerárquico.

1.- Trabaja con ilusión. Y que el alumnado lo note. Debemos enamorarnos ciegamente de nuestro trabajo de manera que conforme pasen los cursos nos sintamos más identificados con lo que hacemos y, en consecuencia, nos guste más. Lo que hacemos: trasmitir conocimientos, valores y actitudes, tiene una enorme repercusión. No es un tópico. Por eso, una de las peores cosas que nos puede pasar es entrar en una fase de trabajo rutinario.


2.- Vigila los detalles. El alumnado tiene una hipersensibilidad para captar los detalles día a día, aunque no lo percibamos explícitamente. Por eso es importante destacar y valorar lo que el alumno haga bien, aunque nos parezca insignificante; comprender que el éxito de un profesor no está solo en que un alumno de diez continué en el diez sino también en que el de tres llegue al menos al cinco. Su autoestima es una magnífica aliada.


3.- Cuida los cimientos. El conocimiento conocimiento matemático es acumulativo. Esto lo considero un axioma. Es como un edificio que empieza a construirse desde los primeros contactos con la Escuela. Sus ladrillos son los conceptos, los algoritmos, las figuras, la resolución de problemas, etc. Si algún ladrillo queda mal colocado, tarde o temprano se notará. Hay estudiantes que comienzan a rechazar las matemáticas en ese momento. Se dice que “tienen falta de base”. Por eso hay que crearse estrategias para averiguar con fiabilidad si las piezas acumuladas anteriormente están o no bien colocadas y, desde luego, poner bien las que le corresponda añadir al edificio.
 

4.- Compensa las deficiencias. El alumnado no es siempre culpable de su nula o deficiente formación matemática. En ocasiones es víctima del propio sistema: largos periodos esperando sustitutos, un aprendizaje poco significativo, un sistema de promoción permisivo, programas que no se acaban, etc. Situaciones en las que se vio inmerso y le produjo ese daño no siempre irreparable irreparable. Hay que aplicar estrategias compensatorias. Los que tienen interés las sabrán aprovechar.

5.- Interésate por las personas. Cada cara es algo más que un número en la lista o una foto en la ficha. Detrás de cada una hay una vida, una historia, unas circunstancias que están modelando un carácter. El profesor debe saber descifrar los códigos de esos rostros. Dedicar una frase, escuchar un lamento, comprender el mensaje de un gesto o leer la tristeza en unos ojos puede tener un efecto educativo superior a la mejor de las clases. Un claro indicador de una buena docencia es que tus exalumnos reconozcan tu dedicación al trabajo y recuerden con agrado el trato que les dispensaste.

6.- Sé feliz enseñando. Y que ellos sean felices aprendiendo. Ser felices es una coletilla que se aplica a casi todo pero se llena de significado cuando se refiere al trabajo que uno realiza. Porque se trata de identificarse con él, de hacerlo de buena gana, que sean horas distendidas y amenas y no una tortura más o menos larga.
Pero no nos confundamos, ser felices enseñando matemáticas, como es mi caso, no quiere decir que no existan escollos. Sería una demagogia educativa tratar de ocultar la dificultad que tiene el acceso al conocimiento matemático.


7.- Haz significativa la enseñanza. Utilizar el medio para enseñar matemáticas y usar las matemáticas para conocer e interpretar el medio, produce siempre un aprendizaje sólido. Por eso hay que hacer esfuerzos para explorar y explotar al máximo el entorno y los intereses del alumnado. Éste no debe acabar con la impresión de que una cosa son las matemáticas de los currículos y otra la que pueda encontrar fuera del aula. Pero las matemáticas también tienen la finalidad de ayudar a desarrollar ciertas capacidades: deducción, abstracción, reflexión crítica, análisis, síntesis, tenacidad, organizar datos...


8.- Sé pedagógicamente ecléctico. Afortunada o desgraciadamente, no existe la varita mágica que solucione los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de forma absoluta. De ahí lo de ser pedagógicamente ecléctico, en el sentido de no abrazar con fe ciega ninguna de las teorías más o menos redentoras que aparecen. No obstante, nos podemos acercar a esa varita mágica si procuramos conocer muchas metodologías y estrategias para utilizar, en cada situación, la que resulte más conveniente y de eficacia contrastada. Hay formas de conseguirlas: compartir con otros colegas en sociedades o departamentos, congresos, revistas... Siempre hay algo y alguien de quien aprender.


9.- Asume el rol de divulgador. Esta es la razón: para muchas personas, el único contacto con esta disciplina se produce en la etapa de enseñanza obligatoria. Como el joven es curioso por naturaleza, debemos usar ese recurso para dejarle el deseo saber más. En esa línea, da muy buen resultado lo que vengo llamando la dinamización matemática de los centros. Se trata de presentar al alumnado formas de acercarse al conocimiento y al razonamiento razonamiento matemático través de juegos de trasfondo matemático, trabajos de indagación, desarrollo de proyectos, etc. El Día Escolar de las Matemáticas ofrece una buena oportunidad.


10.- Sirve de referencia. Nuestro alumnado está formado por personas que están en una etapa de formación. Es una obviedad a tener muy presente por la responsabilidad que conlleva, no solo transmitiéndoles lo que nos indican los currículos, sino ofreciéndoles modelos de actuación que les sirvan de referencia, promoviendo el desarrollo de sus habilidades y capacidades (de organización, de liderazgo, de solidaridad, de tolerancia entendida como aceptación con respeto, etc). La necesaria autoridad del profesor se sustenta en su actitud, en su profesionalidad y en su cultura.


11.- Innova. Es una manera de transmitir al alumnado y a la sociedad que estamos comprometidos con nuestro trabajo. Es también una vía para conseguir que la labor docente sea viva y creativa. La innovación y la actualización son propias de cualquier profesión. Las nuevas tecnologías, por ejemplo, ofrecen recursos (¡y a qué ritmo últimamente!) para mejorar la enseñanza y el aprendizaje que debe ser obligado conocer y utilizar adecuadamente.

12.- Escucha. Un profesor debe ser un buen “escuchador”. Hablar es mucho más fácil que escuchar. Porque escuchar no consiste solo en prestar oído a lo que se nos dice sino que hay una labor posterior de asimilación, de descodificación de lo escuchado y de elaboración de la respuesta más adecuada que, no siempre, tiene que ser oral. Una sonrisa, un gesto, un tender la mano... Escuchar y responder es, por tanto, una parte importante de nuestro trabajo.

lunes, 26 de diciembre de 2016

"¡Quién te ha visto y quién te ve!" Dos propuestas para animar los problemas de matemáticas



Uno de los retos que se plantean los profesores de matemáticas es proponer problemas que sean atractivos y estimulantes para los alumnos.

Hay propuestas muy conocidas de problemas para "pensar" que tienen algo de reto: Son el modelo de  El concurso de Primavera o Kanguro Matemático.

Aquí presentamos otras dos propuestas:

La primera la titulamos "¡Quién te ha visto y quién te ve!". Consiste en tomar un problema aburrido y mecánico basado en la mera aritmetica en otro más atractivo con soporte gráfico y opciones de ampliación y de investigación.

https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSSXNrVUdib2cxdW8/view?usp=sharing




La segunda propuesta está inspirada en las pruebas PISA. Se parte de un cebo donde se pantea una situación cercana al mundo de los alumnos y, a apartir de ella, se le proponen diferentes cuestiones que se resuelven usando las matemáticas.

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSRG56eTBRcEMzWGs/view?usp=sharing


jueves, 14 de abril de 2016

Matemáticas Gourmet. "Las esferas de Dandelin"



Por Antonio Rubio y Ángel de la Llave


Hoy traemos al apartado de Matemáticas Gourmet, con plena justicia, una demostración de Dandelin sobre las propiedades de la elipse, que titulamos “Las esferas de Dandelín

Es frecuente dar dos definiciones de la elipse:

1) Como lugar geométrico del plano (“La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante”) y

2) Como curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo que corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

Una demostración muy clara de la equivalencia de ambas definiciones viene en el libro de “Calculus”, de Tom Apóstol, que la presenta así:
“Hay un razonamiento muy simple y elegante que prueba que la propiedad focal de una elipse es consecuencia de su definición como sección de un cono.
Esta demostración fue descubierta en 1822 por el matemático belga G.P.Dandelin (1794-1847) utilizando dos esferas que son tangentes al cono y al punto secante tal como indica la figura 6.11. Estas esferas son tangentes al cono a lo largo de dos circunferencias C1 y C2. Se demostrará que los puntos F1 y F2 de contacto de las esferas con el plano son precisamente los focos de la elipse”

Desde que estudias la demostración de Dandelin quedas enamorado de ella.

La demostración se basa solamente en el hecho de que las distancias de las tangentes trazadas desde un punto a una esfera miden lo mismo. La demostración  de este lema la puedes leer más abajo.

Una vez establecido este lema, la demostración de Dandelin es una línea. Basta mirar la construcción para entenderla a la primera.

Por ello hemos construido un modelo tridimensional utilizando materiales de andar por casa. Puedes ver el resultado en esta foto y en este vídeo


Demostración 

Considerando las tangentes trazadas desde P a la primera esfera S1
PA1 = PF1
Cnsiderando las tangentes trazadas desde P a la segunda esfera S2
PA2 = PF2

Por consiguiente

PF1 + PF2 = PA1 + PA2 = la distancia  entre los paraleos C1 y C2 = constante

Lema

La longitud de cualquier tangente trazada a una esfera desde un punto exterior es una cantidad fija.

Demostración

En efecto, si P es el punto exterior, O es el centro de la esfera de radio r y T es el punto de tangencia en la superficie esférica. Por el teorema de Pitágoras resulta que PT es un cateto del triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la distancia PO y por otro cateto el radio, r, de la esfera.

Como consecuencia, el lugar geometrico de los puntos de tangencia de las tangentes trazadas a una esfera desde un punto, es un paralelo de la esfera. 



Para los amantes de la bibliografía, la demostración de Dandelin viene recogida en casi todos los cursos de geometría clásica.:

Recomendamos: Elements de Geometrie de FGM, Geometría FTD, Geometrría superior de Bruño, etc. Para los aficionados a las matemáticas diré que uno de los estudios más brillantes de las propiedades de las cónicas está, como es habitual, el libro de Geometría Métrica  de Pedro Puig Adam (libro II, lección 27).


jueves, 4 de febrero de 2016

El hiperboloide elíptico de una hoja



Una de las cosas que más sorprende a la gente es que superficies muy alabeadas estén hechas a base solo de rectas. De hecho, algunas personas me comentaron que es un efecto óptico. A este tipo de superficies se les llama superficies regladas. En una definición más precisa, las superficies regladas se caracterizan por que para cada punto de la superficie hay una recta que pasa por él y que está completamente contenida en la superficie. Las superficies regladas tiene mucha importancia en la arquitectura y en la ingeniería ya que son muy estables debido a que su método constructivo se sostiene sobre estructuras de vigas y los encofrados se hacen a base de listones. Por ejemplo, esta chimenea.

Una buena introducción a las superficies regladas, es usar palillos y un poco de pegamento. Aquí os mostramos dos vídeos. En el primero se puede ver cómo se genera un hermoso hipérboloide al girar una recta. En el segundo se muestra un hiperboloide completo hecho a base de palillos. Las figuras se hacen girar para ver, también cómo se pueden generar por rotación.




¿Cómo deducir las ecuaciones del hiperboloide a partir de su construcción geométrica? Es un bonito ejercicio de geometría analítica al que os invito.
Otro reto más avanzado (solo para los estudiantes de matemáticas universitarios), es buscar cuál es la caracterización diferencial de las superficies regladas.Es muy sencilla y elegante!!

lunes, 25 de enero de 2016

Caleb Gattegno y las regletas Cuisenaire






La foto está extraída del libro de Pedro Puig Adam titulado "El material didáctico Matemático actual" que ya se comentó en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS aquí 
  • CALEB GATTEGNO
En la foto aparece el profesor  Caleb Gattegno (1911-1988) uno de los más importantes matemáticos dedicado a la didáctica de las Matemáticas.


 "Yo no enseño, yo les dejo aprender" Caleb Gattegno

 Gattegno fue el gran difusor de los números de colores y las regletas CUISENAIRE

 Otra de las aportaciones didáctica de Caleb Gattegno es el Método silencioso para el aprendizaje de idiomas.
  • REGLETAS CUISENAIRE
Las regletas de Cuisenaire son un versátil juego de manipulación matemática utilizado en la escuela, así como en otros niveles de aprendizaje e incluso con adultos. Se utilizan para enseñar una amplia variedad de temas matemáticos, como las cuatro operaciones básicas, fracciones, área, volumen, raíces cuadradas, resolución de ecuaciones simples, los sistemas de ecuaciones, e incluso ecuaciones cuadráticas.

Los educacionalistas Maria Montessori y Friedrich Froebel usaron regletas para representar números.
Fue el belga Georges Cuisenaire (1891-1975) quien las introdujo para su uso con profesores a lo largo de todo el mundo a partir de 1945. Cuisenaire fue un profesor de escuela primaria de Bélgica, que publicó un libro sobre su uso en 1952, llamado Los números en colores. El uso de regletas es para la enseñanza tanto de las matemáticas como de idiomas fue desarrollado y popularizado por Caleb Gattegno, en muchos países de todo el mundo.

Sobre el uso de las Regletas Cuisenaire os invitio a leer este artículo de JOSE ÁNGEL MURCIA (Tocamates)










Si alguien desea comprarse una Regletas CUISENAIRE  o FRACTION BARS puede hacerlo aquí


martes, 29 de diciembre de 2015

Matemáticas Gourmet. "El área de las superfiecies esféricas"

Iniciamos con esta entrada una serie bajo el epígrafe de "Matemáticas Gourmet".

Las matemáticas elegantes tienen una capacidad especial para ocupar la mente y darla grandes satisfacciones. Citaremos como ejemplo la siguiente anécdota referida a Pascal

Blaise Pascal, en un momento de su vida había abandonado las matemáticas para centrarse en la polémica teológica. Estando una noche en vela (1658) por las torturas del dolor de muelas, Pascal comenzó a pensar furiosamente en la cicloide, intentando eliminar de su mente el terrible dolor. Con sorpresa se dio cuenta de que el dolor había desaparecido.

Sería bueno buscar tesoros de las matemáticas elementales para que los puedan disfrutar los  estudiantes de secundaria. No se trata tanto de presentar acertijos o curiosidades para llamar la atención, sino de presentar profundas ideas matemáticas con seriedad casi profesional.

Empezamos estas Matemáticas Gourmet con el tema "El área de las superficies esféricas".

He mantenido la presentación del manuscrito de mis notas personales, sin pasar a una redacción tipo libro. Esto lo he hecho con toda intención. El objetivo es acercar al lector joven de esta entrada al modo de estudiar matemáticas.

Por cierto, cuando se habla de "técnicas de estudio", no se suele mencionar nada más que las técnicas de estudio de las materias "de letras". No está de más reivindicar que las Matemáticas y las Ciencias se estudian de otra manera. 



La fuente fundamental de este manuscrito es el Curso de Geometría Racional de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam. 1934

lunes, 28 de diciembre de 2015

Desafíos de la Educación y la cultura científica

Fente a lo que muchos creen la cultura científica se encuentra en un peligroso retroceso. En la enseñanza media y en los estudios superiores cada vez hay menos alumnos que estudian matemáticas, ciencias y tecnología.

 En la última década el número de estudiantes en Grados de Ciencias ha disminuido en un 27,3% y en el caso de los estudiantes de ingeniería el descenso ha sido de un 16,4%. Y esto es especialmente grave cuando en ese mismo periodo el número total de estudiantes universitarios aumentó un 5,6%.

Este retroceso es muy preocupante porque cuando parecía que ya nos habíamos recuperado de la situación que denunciaba Santiago Ramón y Cajal cuando dijo que "Al carro de la cultura española le falta la rueda de la Ciencia", parece que volvemos para atrás.

Este retroceso tiene que ver con varios factores. Tal vez el fundamental es la dureza de la carrera del científico. Pero, también  es necesario revisar el papel que juegan en esta desmotivación los métodos de enseñanza y de evalución (sobre todo las PAU), que desincentivan el estudio reflexivo, la investigación, los experimentos y la afición a plantear y resolver problemas.

Aquí reproducimos una conferencia sobre la Educación y cultura científica de Alejandro Tiana.
  

Ver en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

 * "Educación científica AHORA" Informe Rocard
* Informe ENCIENDE.Enseñanza de las ciencias en la didáctica escolar en edades tempranas en España
 * Cómo debe ser a enseñanza de las Matemáticas en sociedades innovadoras

jueves, 24 de diciembre de 2015

Unas ideas para pensar sobre la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas


Aquí se presentan unas reflexiones sobre la enseñanza aprendizaje de las Matemáticas. Son sólo un embrión para seguir desarrollando ideas en común. Se agradecen sugerencias y comentarios.

lunes, 14 de diciembre de 2015

Homenaje a Miguel de Guzmán

 Imagen: Este es un manuscrito de Miguel de Guzmán que conservo con mucho cariño.

En una entrada anterior de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya trajimos una magistral conferencia de Miguel de Guzmán sobre enseñanza de las Matemáticas y dimos referencias a algunas de sus publicaciones.


Ahora traemos aquí una recopilación de apariciones de Miguel de Guzmán en TV y su intervención en el Congreso de los diputados con motivo del año 2000 de las Matemáticas. Las imagenes están tomadas de un DVD incluido en el libro que recogía el homenaje que se hizo a Miguel de Guzmán en la Universidad Complutense en junio de 2005.
Impresiona oír de nuevo hablar al maestro 


viernes, 18 de septiembre de 2015

¿Cómo debe ser la enseñanza de las Matemáticas en sociedades innovadoras?



Critical Math for Innovative Societies

Este informe, elaborado por la OCDE, reflexiona sobre cómo debe ser la enseñanaza de las Matemáticas en sociedades innovadoras.
La idea fundamental es ahondar en la teoría del Problem Solving, poniendo el acento en las pedagogías basadas en el fomento de la metacognición. En el texto aparece destacado el concepto de Problemas CUN = Complex, Unfamiliar, Non-routine problems. En definitiva, vuelve a aparecer la idea de que en la enseñanza de las matemáticas el método, el cómo, el esencial.
¿Cómo puede la educación matemática fomentar habilidades que sean apropiados para las sociedades innovadoras? La educación matemática ocupa un lugar destacado en los planes de estudio en todo el mundo, sin embargo, todavía se considera que es una piedra de tropiezo para muchos estudiantes. Si bien existe casi un consenso de que las matemáticas apropiados para el siglo xxi debe ser complejas, desconocida y no rutinarias (CUN), la mayoría de los libros de texto aún son principalmente problemas rutinarios basados ​​en la aplicación de algoritmos ya hechas.Ha llegado el momento de introducir métodos de enseñanza innovadores con el fin de mejorar la educación matemática y la capacidad de los estudiantes para resolver tareas CUN. Pedagogías metacognitivas pueden jugar un papel clave en esto. Estas pedagogías entrenan de forma explícita a los estudiantes a "pensar en su pensamiento" durante el aprendizaje. Pueden ser utilizados para mejorar no sólo el rendimiento académico (conocimiento del contenido y la comprensión, la capacidad de manejar los problemas no familiares, etc.), sino también resultados afectivos como la reducción de la ansiedad o la mejora de la motivación. Esta fuerte relación entre los resultados metacognición y escolaridad tiene implicaciones para la comunidad educativa y los responsables políticos.Este libro está diseñado para ayudar a los profesionales, diseñadores de currículos y los responsables políticos por igual en la preparación de los estudiantes de hoy para worl de mañana



http://www.keepeek.com/Digital-Asset-Management/oecd/education/critical-maths-for-innovative-societies_9789264223561-en 


Miguel de Guzmán. Una conferencia sobre la enseñanza de las Matemáticas


K
He tenido la gran suerte de haber sido alumno de Miguel de Guzmán. He disfrutado de tres de sus cursos universitarios de licenciatura (Seminario de Análisis, Análisis II y Ecuaciones deferenciales en derivadas parciales). He asistido a muchas de sus conferencias. He leído sus libros. He recibido sus consejos como director de departamento, cuando yo fui PNN. Miguel de Guzmán es auténtico maestro que deja huella imborrable.

Recuerdo que Miguel de Guzmán era un profesor distinto. Cuando entramos en primero de carrera nos dio la asignatura "Seminario de Análisis". Me sorprendió porque desde el primer día de curso conocía mi nombre y se había interesado por saber que yo era premio de la Olimpiada matemática. Después de las clases se paraba a hablar con nosotros e interesarse por nuestra opinión de las clases y de otras cosas. De  hecho al final de curso quedamos los compañeros de clase para cenar  en una modestisima tasca de Argüelles, y él vino con su mujer. Desde el primer día nos dijo que en los exámenes nos dejaría utilizar los apuntes de clases y las notas que hubiésemos elaborado personalmente. Durante los exámenes las ojeaba, y se hacía una idea de la manera de trabajar de sus alumnos. Siempre nos daba la bibliografía que debíamo consultar para cada tema. Como detalle que le caracterizaba su forma de enseñar, nos suscribió a todos al "American Mathematical Monthly". A diferencia de otros profesores, en la pizarra se formulaba preguntas e intentaba responderlas usando matemáticas. Sabía esperar las aportaciones de los alumnos y las matizaba o desarrollaba. Muchas veces iniciaba caminos equivocados y retrocedía para intentarlo de nuevo. En esto era completamente diferente a las calses "bourbakistas" que esataban de moda en aquel entonces. Otra carácterística que hacía especial a Miguel de Guzmán era su gran cultura, que manejaba con gran humildad y sentido del humor. En las discusiones, en las juntas de facultad o reuniones de departamento, siempre era capaz de hallar una referncia histórica, una cita sabia, o una anéctdota que clarificaba la cuestión o abría un nuevo punto de vissta.

Aquí os dejo una de sus conferencias dadas a proferores de Matemáticas sobre cómo él concebía que debía ser la enseñanza de las matemáticas.





Una reflexión escrita de Miguel de Guzmán sobre Educación matemática



Ver también en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS:


Como muestra de la capacidad de Miguel de Guzmán para enseñar Matemáticas traigo estos "Experimentos de Geometría" que muestran muy bien la manera de enseñar Matemáticas de Miguel de Guzmán.






Para conocer mejor a Miguel de Guzmán

UN LEGADO DE FE
(Publicado  por su viuda póstumamente)

El valor heuristico de los ejercicios de San Ignacio de Loyola

OBRAS DE MIGUEL DE GUZMAN
https://documat.unirioja.es/servlet/autor?codigo=20477

El legado de Miguel de Guzmán
Homenaje a Miguel de Guzmán de la RSME
Miguel de Guzmán. In memoriam
Miguel de Guzmán. El último Pitagórico


Algunos libros de Miguel de Guzmán
Artículos sobre enseañnza de las Matemáticas
La enseñanza de las Matemáticas
Jornada en el Congreso sobre Educación Matemática



Libros
La experiencia de descubrir en Geometría 
Aventuras Matemáticas
La enseñanza de las Ciencias y la Matemática
Para pensar mejor
El rincón de la pizarra 
Los matemáticos no son gente seria
Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas
Mirar y ver
Problemas, conceptos y métodos de Análisis matemático
Integración. Teoría y técnicas
Problemas de EDO
Cuentas con cuentos 
Estrucuras fractales y sus aplicaciones 
Libros de texto de secundaria
Artículos científicos

lunes, 24 de agosto de 2015

La historia de los monos y las bananas

Fuente de la imagen: http://www.taringa.net/posts/offtopic/16047636/Aprende-que-es-y-como-nace-un-paradigma.html


Leyendo el libro de Adrian Paenza, "Matemáticas estás ahí" me he encontrado con esta historia muy sugerente para iniciar una reflexión de por qué hacemos las cosas tal cómo las hacemos.
Disdfrutad de esta historia!!!

Sobre la conducta de los monos

Por Adrián Paenza

Suponga que uno tiene seis monos en una pieza. Del cielo raso, cuelga un “cacho” de bananas. Justo debajo de él hay una escalera (como la de un pintor o un carpintero). No hace falta que pase mucho tiempo para que uno de los monos suba las escaleras hacia las bananas.

Y ahí comienza el experimento: en el mismo momento en que toca la escalera, todos los monos son rociados con agua helada. Naturalmente, eso detiene al mono.

Luego de un rato, o bien el mismo mono o alguno de los otros hace otro intento con el mismo resultado: todos los monos son rociados con el agua helada a poco que uno de ellos toque la escalera. Cuando este proceso se repite un par de veces más, los monos ya están advertidos. No bien alguno de ellos quiere intentarlo, los otros tratan de evitarlo, y terminan a los golpes si es necesario.

Una vez que llegamos a este estadío, retiramos uno de los monos de la pieza, y lo sustituimos por uno nuevo (que obviamente no participó del experimento hasta aquí). El nuevo mono ve las bananas e inmediatamente trata de subir por las escaleras. Para su horror, todos los otros monos lo atacan. Y obviamente se lo impiden. Luego de un par de intentos más, el nuevo mono ya aprendió: si intenta subir por las escaleras, lo van a golpear sin piedad.

Luego, se repite el procedimiento: se retira un segundo mono y se incluye uno nuevo otra vez. El recién llegado va hacia las escaleras y el proceso se repite: no bien la toca (la escalera), es atacado masivamente. No sólo eso: el mono que había entrado justo antes que él (¡que nunca había experimentado el agua helada!) participaba del episodio de violencia con gran entusiasmo.

Un tercer mono es reemplazado y no bien intenta subir las escaleras, los otros cinco lo golpean, impidiéndoselo. Con todo, dos de los monos que lo golpean no tienen ni idea del porqué uno no puede subir las escaleras.

Se reemplaza un cuarto mono, luego el quinto y por último, el sexto, que a esta altura es el único que quedaba del grupo original. Al sacar a éste, ya no queda ninguno que haya experimentado el episodio del agua helada. Sin embargo, una vez que el último lo intenta un par de veces, y es golpeado furiosamente por los otros cinco, ahora queda establecida la regla: no se puede subir por las escaleras. Quien lo hace se expone a una represión brutal. Sólo que ahora ninguno de los seis tiene argumentos para sostener tal barbarie.

Cualquier similitud con la realidad de los humanos, no es pura coincidencia ni casualidad. Es que así somos: como monos.

Esta historia me la contó mi sobrina Lorena, cuando todavía no se había graduado de bióloga en la UBA ni se había casado con Ignacio Demarco, otro biólogo. Pero siempre me impactó por todo lo que implica en cuanto se trata de explicar la conducta de los humanos (la fuente es De banaan wordt bespreekbaar, de Tom Pauka y Rein Zunderdorp, Nijgh en van Ditmar, 1988).

 Esta es la versión en un vídeo

https://youtu.be/rOPG-UXP1qY 






¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión?

¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión? Tengo ejemplos anecdóticos para ilustrar esta idea,

Por ejemplo, ¿por qué en los libros de texto se usa "sen" para indicar el seno y no "sin", del latín sinus? Es raro hacerlo así porque "sin" es la notación usada por los clásicos y es la señalada por normas internacionale. ¿Por qué algunos profesores son reacios a enseñar el método de Gauss (el príncipe de las Matemáticas) para resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales?

Otras preguntas de más calado se pueden hacer en referencia a la enseñanza de las matemáticas¿Cuáles se te ocurren?....

domingo, 26 de julio de 2015

Una paradoja financiera


Uno de las mejores maneras de entender en profundidad los conceptos y los modelos matemáticos que los relacionan es explicar paradojas.
Aquí os presentamos una paradoja financiera que involucra unas matemáticas muy sencillitas. Sólo hay que saber resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
¿Serías capaz de explicar en dónde está el fallo? 
 
En una ciudad  hay dos constructoras, A y B, que son empresas familares en manos de dos hermanos gemelos. Cada una de ellas posee un edificio de 10 millones de euros.

Asesorados por unos fondos de inversión deciden pasar de ser empresas privadas a ser empresas cotizadas en Bolsa.

Antes de salir a los mercados, y dados los lazos familiares, cada empresa cede el 50% a la otra otra empresa. Debido a la simetría evidente de esta operación, no hay intercambio de dinero.Vaya lo uno por lo otro.

Así que en el momento de salir a Bolsa, cada una de las empresas tiene un edificio de 10 millones de euros y el 50% de las acciones de la otra empresa.

¿Cuál es la valoración de cada una de estas dos empresas?

Si denotamos estas valoraciones (en millones de euros) como VA y VB tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

VA = 10 + 0,5 VB
VB = 10 + 0,5 VA


Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, resulta que

VA = 10 + 0,5 ( 10 + 0,5 VA)
=10 + 5 + 0,25 VA


Por tanto,

0,75 VA = 15
VA  = (15/0,75) = 20

De manera similar, también
 VB  =  20

 O sea, que por el mero hecho de salir a bolsa, el precio de cada una de las empresas es el doble que el valor de los edificios que tiene.


lunes, 15 de junio de 2015

Por qué "Mundo Arquímedes"





Durante este curso hemos etado trabajando con los alumnos de un curso de Cuarto de ESO para crear nuestro MUNDO ARQUÍMEDES, que se ha materializado en un trabajo escrito y en una exposición.  Muchos de los contenidos los habéis ido viendo en este blog. Otros aún están pendientes de subir.

Compartimos la presentación del trabajo, donde se justifica el porqué y el cómo.
Presentación 

Aquí se presenta el resultado de unos meses dándole vueltas a un personaje: Arquímedes. Durante este tiempo unas ideas nos han llevado a otras y cada vez más tenemos el sentimiento de que apenas hemos empezado a conocer algo del tema. Por eso no damos por terminado el trabajo. Esto no ha hecho nada más que empezar.

Santiago Ramón y Cajal en su libro “Los tónicos de la voluntad: Reglas y consejos sobre la investigación científica” decía que “Toda obra grande es fruto de la paciencia y la perseverancia, combinada con la atención orientada tenazmente durante meses, y aun años, a un objeto particular”. De acuerdo con el maestro, estamos convencidos de que uno de los mejores métodos de estimular la inteligencia es tener un tema en la cabeza. Un centro de interés. Al cabo del tiempo, todo lo que nos rodea nos lleva a profundizar más y más en él, a establecer nuevas conexiones. Mientras pulimos nuestras primeras ideas, elaboramos nuestro personal punto de vista. Poco a poco van naciendo ideas originales.

 ¿Por qué hemos elegido a Arquímedes? El físico e historiador de la Ciencia, Lucio Russo, en su trabajo “La revoluzione dimenticata” sostiene que Arquímedes es mucho más que el personaje de las anécdotas graciosas. Arquímedes y algunos de sus coetáneos, como Euclides, Hiparco, Conón, Eratóstenes y Apolonio, son protagonistas de una revolución olvidada que cristalizó en el mundo heleno durante el siglo III antes de Cristo. En ese tiempo se produjo un cambio radical en el paradigma del conocimiento. Una revolución que pudo haber cambiando el rumbo de la Humanidad. Lamentablemente la manera de ver el mundo que tenía Arquímedes se perdió por avatares de la Historia y no se recuperó hasta mucho después con personajes como Galileo y Descartes. En Arquímedes encontramos las ideas fundamentales de la Ciencia. Ese gran fenómeno cultural e ideológico de la Humanidad. Siguiendo la argumentación de Lucio Russo, la Ciencia no es tanto el conocimiento de esto o aquello, sino el método demostrativo que justifica lo observado y lo aplica a la técnica.

Mayo 2015

jueves, 28 de mayo de 2015

Un juego de cálculo mental basado en la ley de la palanca de Arquímedes


El concepto de centro de gravedad es una de las grandes aportaciones de Arquímedes. El equilibrio de masas es la clave de grandes ideas en Matemáticas y en Física 

Con este instrumento se puede comprobar la ley de la palanca de Arquímedes

Potencia x brazo de potencia = Resistencia x brazo de resistencia 



Aplicaciones didácticas

Además, este artilugio sirve para hacer un juego muy divertido para despepertar el cálculo mental.

Uno de los jugadores pone un cierta cantidad de tuercas en un brazo. El ootro concursante tiene que equilibrar la palanca.

Puede hacerse de manera más complicada si se admite poner las tuercas en dos o tres lugares de la barra.





Construcción 

Para la construccición de este aparato se ha utilizado cinta metálica perforada para fijación y tornillería



Sobre lo que se ve en el vídeo se puede mejorar con una rotulación adecuada de los números que intervienen en el juego

martes, 14 de abril de 2015

Una escalera infinita



Fuentes: 

¿Pueden apilarse una serie de ladrillos de modo que algunos de ellos caigan completamente fuera de la base de sustentación?

La respuesta es sorprendentemente que SÍ. Más aún, puede colocarse un ladrillo tan lejos como se desee de la base de sustentación.

Esta paradoja clásica consiste en apilar una serie de ladrillos idénticos en una mesa, como en el diagrama.

Al ir añadiendo más ladrillos como se indica, podemos hacer que la escalera resultante sobresalga todo lo que queramos sin derrumbarse. Una escalera de n ladrillos , cada uno de longitud 2, sobresale una distancia
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n

Como esta serie (la serie armónica) es divergente, se concluye que el úntimo ladrillo puede colocarse tan lejos como se quiera de la base de sustentación.





Veamos en el siguiente vídeo cómo se hace en la práctica. ¡Es sorpendente!!




Una construcción de 900 antes de Cristo basada en este principio



lunes, 2 de febrero de 2015

La trisección del ángulo utilizando una tira de papel (Arquímedes)



Hace más dos mil años, los geómetras griegos se propusieron el problema de la trisección de un ángulo dado utilizando exclusivamente la regla y el compás. Este problema estuvo vivo hasta que en el siglo XIX, gracias a la teoría de ecuaciones algebraicas, se logró demostrar que ésta era una construcción imposible.

Que la trisección del ángulo no sea posible hacerla sólo con regla y compás, no quiere decir que no pueda hacerse utilizando otras herramientas tan simples como una tira de papel.

Veamos cómo se hace en el siguiente vídeo:

 



[Fuente: Heinrich Dörrie. 100 Great Problems of elementary Mathematics their history and solution. Ed. Dover. N. Y. 1958]

Este método de efectuar la trisección de unángulo se le atribuye a Arquímedes Aquí puedes ampñiar la costrucción y ver un applet de geometría dinámica

http://apolonio.es/guirnalda/la-triseccion-del-angulo-de-arquimedes/

En esta  entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS puedes ver otro método de hacer la trisección de un ángulo


Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

viernes, 30 de enero de 2015

Las Matemáticas de las cosas que se mueven. La cicloide.


 

 https://youtu.be/jc9R7TdzLtg

 

Cuando en el programa de Matemáticas llegamos al estudio de funciones, suelo comentar a mis alumnos lo importante que fue la revolución conceptual que se produjo en el pensamiento científico en el siglo XVII. Hasta entonces, las matemáticas eran las matemáticas de las cosas quietas (la aritmética y la geometría). Estas matemáticas son muy importantes pero, sin embargo, no sirven para entender las cosas que se mueven. Un ejemplo de la dificultad para comprender el movimiento usando las matemáticas clásicas es la famosa paradoja de Aquiles y la tortuga.

Para entender bien el análisis matemático, manejar las gráficas y razonar con las funciones es imprescindible cambiar el paradigama de las matemáticas. Hay que pasar de buscar reglas y algoritmos fijos, (las matemáticas de las identidades), a ver los objetos moviéndose, las cantidades variando. No buscar tanto las reglas y las soluciones, sino las interpretaciones de los fenómenos.

Es difícil, que los alumnos adquieran el concepto de función sin observar el movimiento con ojos matemáticos. Por eso, nuestro interés se centra en estos momentos en diseñar, para el Gabinete de matemáticas, móviles para ilustrar movimientos y variaciones descritas por funciones.

 El artiligio que se ve en el vídeo está construido con materiales caseros al alcance de cuslquiera: Unos listones, un cartón, un salvamanteles de Ikea, unos palillos para brochetas y un poco de cola. 


SOBRE LA CICLOIDE

Visita en este blog la entrada:  ¿Por qué les gusta tanto la cicloide a los skaters?


Para saber más obre la cicloide en eel bñpg NO MOLESTES MIS CÍRCULOS

La cicloide poliginal    http://nomolestesmiscirculos.hol.es/?p=3165&

A vueltas con la cicloide http://nomolestesmiscirculos.hol.es/?p=3170

La Helena de la Geometría http://nomolestesmiscirculos.hol.es/?p=2404&


Otras entradas entradas sugeridas:

domingo, 25 de enero de 2015

El área de las figuras esféricas. Método de Arquímedes



Una de las obras que se conserva de Arquímedes es una carta a su colega Dosíteo que se titula Sobre la esfera y el cilindro.

Se sabe que este estudio sobre el cilindro y la esfera era el más querido de Arquímedes y que dispuso que en su tumba se esculpiese una esfera dentro de un cilindro

Esta obra se encuenta recogida en el libro "Dios creó a los números . Los descubvrimientos matemáticos que cambiaron la Historia. Edición comentada por Stephen Hawking." Ed. Crítica. Barcelona 2011.

El método utilizado para el estudio del área de la superficie esférica es muy formativo.

Aquí presentamos la exposición de la cuestión tal como viene en el libro de bachillerato de Rey Pastor y Puig Adam, del que hablamos en otra entrada anterior.



Ver también esta entrada en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS
dobre el volumen de la esfera: