Péndulo de Huygens. Una aplicación de las propiedades de la cicloide

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la curva Cicloide y sus propiedades:

•  La tautócrona y la braquistócona 
• Las Matemáticas de las cosas que se mueven. La cicloide
•  Método de Galileo de medir el área de la cicloide
• ¿Por qué les gusta tanto la cicloide a los skaters? La cicloide y sus propiedades. Es fácil reconocer al león por sus garras

Hemos comprobado experimentalmente que la curva que describe el péndulo de Huygens es precisamente la cicloide. Puedes verlo en el vídeo.

 EL SIGUIENTE TEXTO ES DE MIGUEL DE GUZMAN Y APARECE EN EL LIBRO "AVENTURAS MATEMÁTICAS"  


Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.

 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 

 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 

 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 

que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 

 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.



PARA APRENDER MÁS Y DISFRUTAR DEL GEOGEBRA TE INVITAMOS A VISITAR ESTE TRABAJO DE CARLOS FLEITAS


http://matematicainteractiva.com/pendulo-de-huygens-propiedad-tautocrona-de-la-cicloide

Matemática Gourmet: Significado de la razón de un lado al seno del ángulo opuesto. Interpretación geométrica de la ley de los senos

En APRENDER y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a tratar cuestiones de Geometría clásica.

Si te interesa, en esta entrada puedes leer unas reflexiones sobre la didáctica de geometría y su importancia en la formación matemática

• Geometría

Para rescatar la afición por los problemas de Geometría y el gusto en las demostraciones nos proponemos ir elaborando una colección de vídeos con demostraciones de gemetría al nivel de los alumnos de últimos cursos de la ESO y del Bachilleato.

"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces" Baltasar Gracián


Otras entradas dedicadas a la Geometría:

Entradas dedicadas a la Geometría

Otras entradas dedicadas a la Geometría

Construir un reloj de Sol. Primera parte.

La propuesta es realizar el proyecto de construir un reloj de Sol para practicar la goemetría y aprender un poco de Astronomía.

Preguntas iniciales:

1. ¿Cuál es la latitud y la longitud del punto donde de va a ubicar el reloj de sol?
2. El mediodía solar es la hora a la que el Sol cruza el eje N-S. Es el momento en que el Sol se encuentra en el punto más alto. ¿A qué hora oficial ocurre? (Es necesario conocer la longitud del lugar).

Empezamos por construir un reloj de sol ecuatorial (el más sencillo). He preparado unos esquemas. A partir de ellos y unas explicaciones básicas .... a investigar un poco más y ..... manos a la obra!!!


Las ideas clave:

 - La Tierra gira uniformemente en torno a su eje, dando una vuelta cada 24 horas. La estrella polar está fija, mientras que todos los astros (incluido el Sol) giran alrededor del eje que nos une con la estrella polar.

- Un palo (gnomon) que apunte hacia la estrella polar proyecta una sombra que gira uniformemente sobre un plano paralelo al ecuador.

La propuesta didáctica es meterse de inmediato a hacer ya el reloj de Sol. Haciendo el reloj comprenderemos cada vez mejor el fenómeno astronómico. Se pueden buscar  en internet varios modelos de reloj se sol ecuatorial. Para llevar a la práctica la construcción del reloj solar lo mejor es echar mano de los materiales que tenemos más a mano(cartón, palillos de pincho moruno) Empezaremos por un prototipo. Para inspirarnos vamos a buscar, observar .... Tener un problema en la cabeza.

Pista: En inglés·"reloj de sol" se dice "sundial" 

 

Matemática Gourmet: Construcción geométrica para hallar el inverso de un número

 En este enlace



https://www.geogebra.org/m/Ps8XCjaN

Puedes ver una constrcción geométrica de regla y compás para, dada la abscisa a de un punto (rojo) hallar la abscisa de su inverso 1/a, (verde).

Mueve usando el ratón el punto rojo para ver cómo funciona la construcción.

El reto que propone APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS es hacer la demostración.

PISTA: La circunferencia es de radio la unidad. Usar la semejanza de triángulos y el hecho de que los ángulos inscritos en una semicircunfereencia son rectos.

Demostración de Dundeney del Teorema de Pitágoras

Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
( H.E. Dundeney 1917)

Esta es la pimera demostración en la que se costruyen las áreas de los cuadrados de los catetos, a partir del cuadrado de la hipotenusa usando sólamente traslaciones (sin usar movimientos inversos)

Para visualizar mejor la demostración hemos usado papel de imán.







Para saber más sobre el teorema de Pitágoras, puede visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

Teorema de Pitágoras

El hiperboloide elíptico de una hoja

Una de las cosas que más sorprende a la gente es que superficies muy alabeadas estén hechas a base solo de rectas. De hecho, algunas personas me comentaron que es un efecto óptico. A este tipo de superficies se les llama superficies regladas. En una definición más precisa, las superficies regladas se caracterizan por que para cada punto de la superficie hay una recta que pasa por él y que está completamente contenida en la superficie. Las superficies regladas tiene mucha importancia en la arquitectura y en la ingeniería ya que son muy estables debido a que su método constructivo se sostiene sobre estructuras de vigas y los encofrados se hacen a base de listones. Por ejemplo, esta chimenea.

Una buena introducción a las superficies regladas, es usar palillos y un poco de pegamento. Aquí os mostramos dos vídeos. En el primero se puede ver cómo se genera un hermoso hipérboloide al girar una recta. En el segundo se muestra un hiperboloide completo hecho a base de palillos. Las figuras se hacen girar para ver, también cómo se pueden generar por rotación.




¿Cómo deducir las ecuaciones del hiperboloide a partir de su construcción geométrica? Es un bonito ejercicio de geometría analítica al que os invito.
Otro reto más avanzado (solo para los estudiantes de matemáticas universitarios), es buscar cuál es la caracterización diferencial de las superficies regladas.Es muy sencilla y elegante!!

Un experimento de Galielo que sirve para aplicar la trigonometría

Fuente: Il Laboratorio di Galileo Galilei

Con esta entrada iniciamos unas cuantas dedicadas a Galileo Galilei.

Uno de los primeros intereses de Galileo fue el estudio de la caída de los cuerpos. Este problema está muy relacionado con el problema de la medida del tiempo. Recuérdese que en la época de Galileo no existían los cronómetros. Ambos problemas se fusionan en el estudio del péndulo.

Es interesante saber que Galileo era hijo de un gran músico, y él mismo era músico. En varios de sus experimentos utilizaba la sensibilidad del oído para medir los tiempos.

EXPERIMENTO

Colocamos planos inclinados partiendo de un punto A con diferentes inclinaciones. Cada uno de los planos inclinados tiene una logitud tal que son cuerdas de una misma circunferencia de diámetro vertical AB = d

Dejamos caer a la vez bolas desde A cayendo por cada una de las cuerdas de la circunferencia. Galileo observó que todas las bolas llegaban a la circunfeferencia al mismo tiempo. La simultaneidad de los sucesos lo ponía de manifiesto colocando en los puntos B1, B2, B3, .... campañillas. Así es fácil observar que todas sonaban a la vez.

EXPLICACIÓN

Este experimento confirma que la ley de la caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado, en el que el espacio recorrido es

 de donde

A la vista del dibujo, y teniendo en cuenta que los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos, se tiene que

si consideramos el movimiento de la masa que rueda sigiendo el plano AB1,  la longitud de la cuerda, y la componente de la aceleración de la gravedad según el plano son:

Por consiguiete, el tiempo empleado en el movimiento de A a B1 es

 

Que como se observa no depende del ángulo.

Comprobación del Teorema de Pitágoras con un cartón y gomas. (Una idea de Loenardo Da Vinci)

La demostración del Teorema de Pitágorada ideada por Leonardo Da Vinci, se puede visualizar muy bien utilizando unas piezas de cartón-pluma unidas por unas gomas elásticas, como se muestra en el vídeo.

Para ampliar:

Diversas demostraciones del Teorema de Pitágoras

Comprobación del Teorema de Pitágotas usando una balanza. (La idea es de Galileo)

Ya en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS hemos dedicado varias entradas a demostraciones diversas del Teorena de Pitágoras.

• Teorema de Pitágoras
• Demostración de los teoremas métricos del triángulo rectángulo  

La idea de esta demostración que presentamos ahora la hemos tomado de Galileo.

El gran sabio de Pisa para de demostrar que dos figuras tenían el mismo área, lo que hacía era comprobar que sus modelos hechos con el mismo material equilibraban una balanza.

En nuestro caso partimos de un triángulo rectángulo.
Hemos hecho en madrera los cuadrados contruidos sobre la hipotenusa y sobre los catetos.

Después, hemos pesado en un brazo de la balanza el cuadrado de la hipotenusa y en el otro lado los cuadrados de los catetos,
Comprobamos que la balanza queda equilibrada.
De este modo resulta que

(a²) = (b² + c²)

La construcción de la balanza es sencilla y se han utulizado materiales de carpinteria muy asequibles. Esta balanza nos va a ser una herramienta muy útil para otros muchos experimentos.

 

Regla de derivación del producto. Demostración (casi) sin palabras

Como profesor de matemáticas me queda un mal sabor de boca cuando explico las reglas sin justificación.

Para el caso de la regla de la derivación de un producto de funciones ofrezco esta demostración gráfica (casi) sin palabras (proofs without words).

Partimos de un producto de dos factores u•v, que es el área del rectángulo pintado de color naranja. Si incrementamos cada uno de los factores, incrementamos el área en tres rectángulos (el azul, el amarillo y el blanco)

Si, ahora, dividimos los dos miembros de esta igualdad por el incremento de la variable independiente, Δx, para hallar la velocidad de crecimiento, resulta

 

Basta hacer un paso al límite cuando Δx tiende a cero para obtener la regla de derivación del producto

 

Ya que el último sumando tiende a cero porque es el producto de un término que tiende a cero, Δu, por otro, v'.

La espiral de Arquímedes y la trisección del ángulo

La espiral de Arquímedes es una curva mecánica ideada por el sabio de Siracusa con el fin de resolver el problema de la trisección del ángulo. El estudio de las espirales centró la atención de Arquímedes y uno de sus libros más complicados es el que tituló "Sobre las espirales":

Definición

Imagínese una línea en un plano que describe un punto que gira con velocidad angular constante a la par que va ampliando el radio del giro. Con más precisión:

Las ecuación en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes es, pues,

r = k· t

La espiral de Arquímedes, también se llama espiral aritmética.

Para saber más aquí


Procedimiento mecánico de construcción de la espiral usando una escuadra.

Dibujemos una circunferencia de radio R.  Hagamos una escuadra en la que su brazo corto tenga por longitud el radio de la circunferencia. Sea el punto X, en el extremo de la escuadra que coincide con el centro de la circunferencia, tal como se ve en el dibujo.

Si se rueda el lado largo de la escuadra sobre la circunferencia, resulta

 MN = arco MP = R t

Como por ser una escuadra, MN = OX se tiene que el punto X describe una espiral de Arquímedes de ecuación

r = R· t

Trisección del ángulo usando la espiral de Arquímedes 

La trisección del ángulo se puede hacer fácilmente si tenemos ya construida una espiral de Arquímedes, de ecuaciones r = k t.  Siendo r, la distancia al origen y t el ángulo con respecto a la horizontal)

Coloquemos una espiral de Aquímedes con origen, O, en el vértice del ángulo que queremos trisecar. En el dibujo hemos usando el color rojo para representar la espiral. Sea Q el punto donde la espiral corta a uno de los lados del ángulo, como se ve en el dibujo.

Dividamos el segmento OQ en tres segmentos iguales, determinando los puntos Q1 y Q2. De tal manera que OQ1 = 1/3 OQ y  OQ2 = 2/3 OQ.  [*]

Con centro en O, usando el compás, trasladamos las distancias OQ1 y OQ2 a la espiral, determinando en ella los puntos H1 y H2.  Es decir, se verifica OH1 = OQ1 = 1/3 OQ  y   OH2 = OQ2 = 2/3 OQ

 Aplicando la definición de la espiral de Arquímedes resulta que las rectas OH1 y OH2 trisecan el ángulo QOP.

En efecto, si llamanos t1 al ángulo POH1,  t2 al ángulo POH2 y t3 al ángulo dado POQ, se tiene  que
por la definición de la espiral
OH1 = k t1
OH2 = k t2
OQ = k t3

y de la telación [*] tesulta que t1 = 1/3 t  y t2 = 2/3 t 

Área encerrada por la espiral de Árquímedes 

Aquímedes calculó, utilizando el método de exhaución para calcular el área que encierra el radio vector de la espiral en su primera revolución. llegando al resultado que dice

"El área barrida por la espiral de Arquímedes en una vuelta es igual a 1/3 del área del cículo que la encierra

Una demostración con todo detalle puede verse aquí


 http://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Pappus/Bookiv/Pappus.iv.21-25/Pappus.iv.21_25.html


La espiral de Arquímedes y los números primos 

Una curiosoidad es la relación que existe netre la espiral de Arquímedes y la distibución de los números primos. (Espilral de Ulam)

http://youtu.be/pnYkK6PqUro

http://demonstrations.wolfram.com/SpiralOfPrimes/

La trisección del ángulo utilizando una tira de papel (Arquímedes)

Hace más dos mil años, los geómetras griegos se propusieron el problema de la trisección de un ángulo dado utilizando exclusivamente la regla y el compás. Este problema estuvo vivo hasta que en el siglo XIX, gracias a la teoría de ecuaciones algebraicas, se logró demostrar que ésta era una construcción imposible.

Que la trisección del ángulo no sea posible hacerla sólo con regla y compás, no quiere decir que no pueda hacerse utilizando otras herramientas tan simples como una tira de papel.

Veamos cómo se hace en el siguiente vídeo:

 

TRISECCION DEL ANGULO from angel on Vimeo.

[Fuente: Heinrich Dörrie. 100 Great Problems of elementary Mathematics their history and solution. Ed. Dover. N. Y. 1958]

Este método de efectuar la trisección de unángulo se le atribuye a Arquímedes Aquí puedes ampñiar la costrucción y ver un applet de geometría dinámica

http://apolonio.es/guirnalda/la-triseccion-del-angulo-de-arquimedes/

En esta  entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS puedes ver otro método de hacer la trisección de un ángulo

• Trisección de un ángulo usando un instrumento de cartulina
• Trisección de un ángulo. Método de Hipócrates

Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

• La didáctica de la geometría clásica. Parte 1 la Caja de herramientas

El área de las figuras esféricas. Método de Arquímedes

Una de las obras que se conserva de Arquímedes es una carta a su colega Dosíteo que se titula Sobre la esfera y el cilindro.

Se sabe que este estudio sobre el cilindro y la esfera era el más querido de Arquímedes y que dispuso que en su tumba se esculpiese una esfera dentro de un cilindro

Esta obra se encuenta recogida en el libro "Dios creó a los números . Los descubvrimientos matemáticos que cambiaron la Historia. Edición comentada por Stephen Hawking." Ed. Crítica. Barcelona 2011.

El método utilizado para el estudio del área de la superficie esférica es muy formativo.

Aquí presentamos la exposición de la cuestión tal como viene en el libro de bachillerato de Rey Pastor y Puig Adam, del que hablamos en otra entrada anterior.



Ver también esta entrada en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS
dobre el volumen de la esfera:

• "Esfera + cono = cilindro". Repetimos el experimento de Arquímedes. Desafío: ¿Cómo demostró Arquímedes la fórmula del volumen de la esfera?

La longitud de una circunferencia y el área de un círculo. Cálculo de PI por el método de Arquímedes

Un alumno de 4º de ESO o de Bachillerato está en condiciones de entender y disfrutar con una lectura en detalle del método de Arquímedes para rectificar una circunferencia y cuadrar un círculo, aproximando el valor del número pi.

Este tema es muy formativo porque reune ideas fundamentales de geometría, álgebra, límites, y métodos de cálculo numérico utilizando hojas de cálculo.

Descargrar el pdf  AQUÍ

Recursos GEOGEBRA:

• Applet de Geogebra longitud de la circunferencia

• Applet Geogebra Área del círculo

La historia de PI (un vídeo de Tom Apostol)






PROPUESTA de trabajo

1. Exponer el tema
2. Escribir una fórmula de recurrencia para la apotema
3. Aproximar pi con una hoja de cálculo a partir del lado del triángulo equilátero.

La paradoja mecánica

La "Paradoja mecánica" es un experimento que sirve para explicar el concepto de centro de gravedad.

La construcción del experimento es muy simple. Se necesita:
1) Unos listones de madera (fáciles de conseguir en cualquier tienda de molduras de madera),
2) Un cilindro (puede ser el eje de un rollo de papel de aluminio) y
3) Dos conos de poliespán que se pegan por las bases (estos conos los venden el las tiendas de manualidades o en almacenes de plásticos).

Lo que se observa es que el cono sube por los listones que forman un plano inclinado, desafiando, aparentemente, la ley de la gravedad.

Para entender lo que está pasando, hay que observar que lo que sube, o baja, es el centro de gravedad del doble cono. Mientras asciende por los listones, el centro de gravedad del bicono está bajando debido a la abertura de los listones..

Otra versión de la Paradoja mecánica en un modelo de madera







Aplicaciciones didácticas

El cáculo de dónde están los centros de gravedad de algunas figuras da origen a muy buenas matemáticas. En proximas entradas nos dedicaremos a ello.

Caos. Una aventura mátemática

Con los vídeos y las explicaciones de esta web se puede aprender mucho sobre las matemáticas de los Sistemas Dinámicos. Una maravilla de la animación para comprender mejor las matmáticas del movimiento. 

http://www.chaos-math.org/es

CAOS es una película matemática dirigida a todo público, que consta de nueve capítulos con una duración de trece minutos cada uno. Trata de sistemas dinámicos, del efecto mariposa y de la teoría del caos. Al igual que DIMENSIONS, la película es difundida bajo la licencia Creative Commons y fue realizada por Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez. CAOS está disponible en una amplia gama de idiomas y de subtítulos.


Son NUEVE capítulos. Este es el primero:

Trisección del ángulo. Método de Hipócrates

En entradas anteriores hemos presentado ya varios métodos de efectuar la trisección de un ángulo.

• Trisección de un ángulo utilizando una tira de papel
• Trisección de un ángulo usando un instrumento de cartulina
• Un trisector de ángulo. Otro más. Un desafío: justificarlo!!

En esta entrada presentamos otro más: El método ideado por Hipócrates. 
 
En este vídeo se explica en qué consiste

Un trisector de ángulos. Otro más. Un desafío: justificarlo!!!

En las dos entradas anteriores

• Trisección de un ángulo utilizando una tira de papel
• Trisección de un ángulo usando un instrumento de cartulina

hemos presentado dos formas distintas de efectuar la trisección de un ángulo dado, utilizando diversos instrumentos. En unos vídeos se hacen las demostraciones que justifican cada uno de los métodos.

En esta entrada os presentamos el diseño de otro trisector de ángulos. Otro más. Aparece en el Tomo I (pág. 83) del libro " Geometría Métrica" de Pedro Puig Adam.

El desafío que os proponemos es construiros uno y buscar la demostración del procedimiento. Con las pautas que aparecen en las dos entradas anteriores no resulta muy difícil . ¡Ámimo!!

Trisección de un ángulo utilizando un instrumento de cartulina

En una entrada anterior  de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS vimos cómo se podía efectuar la   

• Trisección de un ángulo utilizando una tira de papel (Método de Arquimedes)  y  
• Trisección de un ángulo por el método de Hipócrates

En esta entrada veremos otra forma de efectuar la trisección de un ángulo. En este caso utilizando un instrumento hecho con cartulina. 

triseccion con instrumento de cartulina from angel on Vimeo.

El desafio que os proponemos es buscar otras demostraciones diferentes. Hay muchas posibilidades.

Otra posible demostracion, diferente a la que aparece en el vídeo, es la que ponemos en la imagen de la derecha

Esta demostración es más directa que la que se ve en el vídeo,  pues se basa en los criterios de igualdad de triángulos.

Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

• Geometría

Otro trisector de ángulos en esta entrada:

• Otro trisector del ángulo

Por si te quieres imprimir un trisector de ángulos 

   Trisector de Angulos by Ángel de la Llave

Dos libros clásicos para aprender geometría que están en la web

En esta entrada vamos a presentar dos auténticos clásicos para estudiar la Geometria. Libros imprescindibles. Ambos volúmenes se pueden encontrar escaneados en la web. A continuación tenéis los enlaces.

Después podéis consultar un trabajo sobre didáctica de la Geometría clásica ya publicado en este blog y un comentario que he escrito sobre el libro de FGM. Y después para ampliar algunos trabajos de Miguel Guzmán sobre GEOMETRÍA.






F.G.-M. 
Exercises de Geometrie


Ver aquí

Este libro tiene una reimpresión muy asequible aquí:

Antoine Dalle
2000 theoremes et problemes de geometrie avec solutions

Ver aquí



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En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

• Didáctica de la geometría clásica 1. La caja de herramientas

Comentario sobre el F.G.-M. 

Cada vez valoro más los libros como objetos. Eso sí unos objetos que tienen mucho contenido, mucha vida y mucho significado emocional. Por eso, cada vez más lo que más me gusta de los libros es poseerlos.

El F.G.-M es uno de los libros más queridos y valorados de mi biblioteca personal. Conseguirlo me costó muchos años de búsqueda por librerias de saldo.

Miguel Guzmán en su libro "La experiencia de descubrir en Geometría (2002)" explica cómo gracias a este
libro se despertó en él su amor a la Geometría y a las Matemáticas. Estas son sus palabras:

"Yo debía tener 13 o 14 años. [...] Através de ellos [mis hermanos], llegué a tener acceso a los principales textos de geometría que entonces se usaban. [...] Los que más me atrajeron fueron el Rouché-Comberuse y la impresionante colección de ejercicios de geometría de F.G.-M., texto al que coloquialmente se le llamaba el FGM.
[...] Los problems del FGM me servían de ocupación salteada en los muchos ratos de un ocio que recuerdo lleno de paz y de satizfacción en medio del siilencio de una clase solitaria en tardes de vacación: Iba tratando por mi cuenta de resolver aquellos problemas  y cuando después de ocuparme en alguno un rato bastante largo no lograba dar con la respuesta  acudía al libro en que se ofrecía la solución y una abundante información sobre los teoremas y  problemas relacionados de más envergadura.
De vez en cuando el FGM ofrecía, en sus nortas informativas, resultados interesantes sin proporcionar pistas . Esto espoleaba mi interés." 

Este libro corresponde a un florecimiento del estudio de la geometría clásica que se produjo a finales del siglo XIX y las primeras décadas del XX, En aquellos años aparecieron temas nuevos de investigación  como "La gometría del triángulo" y otros resultados antiguos se reformularon utuilizando conceptos tomados de la geometría proyectiva. Muchos matemáticos destacados, como Hadamard, escribieron en aquella época textos de geometría sintética.( Ver aquí el texto de Hadamard  y aquí las soluciones de los problemas)

El libro de FGM es una autética enciclopedia que incluye referencias históricas y amplísimos índices.

La primera parte del libro está destinada a presentar con abundantes ejemplos los métodos principales usados en geometría:

- Métodos generales.
- Lugares geométricos.
- Empleo de figuras auxiliares.
- Trasformaciones de figuras.
- Discinsión y extensión.
- Método algebrico.
. Máximos y mínimos.

Después hay una segunda parte muy voluminosa de ejercicios resueltos organizada en ocho libros. Cada uno de los libros se divide, a su vez, en dos partes, Teoremas y Problemas

Una tercera parte (breve) está destida a resolver problemas numéricos.

Una cuarta parte estádestinada a la "geometría del triángulo"

Para terminar hay más de cuarenta páginas de notas, índices y referencias para localizar la información en el texto.

¿Quién es el autor F.G.-M?

 F.G.-M. son las iniciales de Frère Gabriel Marie. Este era el nombre del superior general de los Hermanos de la Doctrina Cristiana (Hermanos de La Salle).  Era costumbre que todas las obras editadas por los Hermanos de la Salle estuviesen firnmadas por FGM. Para más información sobre FGM  AQUÍ
Esto era corriente en las órdenes religiosas de la enseñanza francesas. por ejemplo, Los libros de los Hermanos Maristas tenían por autor FTD (Frere Theophane Duran) 

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Para ampliar:


GEOMETRÍA en Miguel Guzmán:

http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/educacion/geometria


Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

• La didáctica de la geometría clásica. Parte 1 la Caja de herramientas