Comprobación del Teorema de Pitágoras con un cartón y gomas. (Una idea de Loenardo Da Vinci)

La demostración del Teorema de Pitágorada ideada por Leonardo Da Vinci, se puede visualizar muy bien utilizando unas piezas de cartón-pluma unidas por unas gomas elásticas, como se muestra en el vídeo.

Para ampliar:

Diversas demostraciones del Teorema de Pitágoras

Comprobación del Teorema de Pitágotas usando una balanza. (La idea es de Galileo)

Ya en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS hemos dedicado varias entradas a demostraciones diversas del Teorena de Pitágoras.

• Teorema de Pitágoras
• Demostración de los teoremas métricos del triángulo rectángulo  

La idea de esta demostración que presentamos ahora la hemos tomado de Galileo.

El gran sabio de Pisa para de demostrar que dos figuras tenían el mismo área, lo que hacía era comprobar que sus modelos hechos con el mismo material equilibraban una balanza.

En nuestro caso partimos de un triángulo rectángulo.
Hemos hecho en madrera los cuadrados contruidos sobre la hipotenusa y sobre los catetos.

Después, hemos pesado en un brazo de la balanza el cuadrado de la hipotenusa y en el otro lado los cuadrados de los catetos,
Comprobamos que la balanza queda equilibrada.
De este modo resulta que

(a²) = (b² + c²)

La construcción de la balanza es sencilla y se han utulizado materiales de carpinteria muy asequibles. Esta balanza nos va a ser una herramienta muy útil para otros muchos experimentos.

 

Un juego de cálculo mental basado en la ley de la palanca de Arquímedes

El concepto de centro de gravedad es una de las grandes aportaciones de Arquímedes. El equilibrio de masas es la clave de grandes ideas en Matemáticas y en Física 

Con este instrumento se puede comprobar la ley de la palanca de Arquímedes

Potencia x brazo de potencia = Resistencia x brazo de resistencia 

Aplicaciones didácticas

Además, este artilugio sirve para hacer un juego muy divertido para despepertar el cálculo mental.

Uno de los jugadores pone un cierta cantidad de tuercas en un brazo. El ootro concursante tiene que equilibrar la palanca.

Puede hacerse de manera más complicada si se admite poner las tuercas en dos o tres lugares de la barra.

Construcción 

Para la construccición de este aparato se ha utilizado cinta metálica perforada para fijación y tornillería



Sobre lo que se ve en el vídeo se puede mejorar con una rotulación adecuada de los números que intervienen en el juego

Una escalera infinita

Fuentes: 

• Q.E.D. de Burkard Polster. Wooden Books limited 2011. Recogido en Scientia de editorial Librero 2014
• Overhang* Mike Paterson and Uri Zwick Ameriucan Mathematical Monthly
• Maximum Overhang Mike Paterson, Yuval Peres, Mikkel Thorup, Peter Winkler, and Uri Zwick

¿Pueden apilarse una serie de ladrillos de modo que algunos de ellos caigan completamente fuera de la base de sustentación?

La respuesta es sorprendentemente que SÍ. Más aún, puede colocarse un ladrillo tan lejos como se desee de la base de sustentación.

Esta paradoja clásica consiste en apilar una serie de ladrillos idénticos en una mesa, como en el diagrama.

Al ir añadiendo más ladrillos como se indica, podemos hacer que la escalera resultante sobresalga todo lo que queramos sin derrumbarse. Una escalera de n ladrillos , cada uno de longitud 2, sobresale una distancia

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n

Como esta serie (la serie armónica) es divergente, se concluye que el úntimo ladrillo puede colocarse tan lejos como se quiera de la base de sustentación.

Veamos en el siguiente vídeo cómo se hace en la práctica. ¡Es sorpendente!!

Una construcción de 900 antes de Cristo basada en este principio

El polipasto de Arquímedes

Ilustración de Introduction a la Science de LÌngénieur par J. Claudel. Dunod. París 1875  
Ilustración del libro de Física de FTD- Barcelona 1928

El polipasto  (o juego de poleas fijas y poleas móviles)  es uno de los inventos atribuidos a Arquímedes. Sirve para mover objetos pesados haciendo una pequeña fuerza. Es una especie de ley de la palanca.

En la ilustración podemos ver un polipasto utilizado en la construcción que se conoce como trócola. En las ferreterías se pude comprar el par de poleas fijas/móviles sencillitas como la de la foto de la derecha. Se venden con le nombre de "trocolín" y se usan en pequeñas obras de albañilería.
 

Para elevar un gran peso usando la trócoila hay que deslazar más cuerda, pero haciendo menos fuerzas. La desmultiplicación es un factor de dos veces el múmero de poleas. Por ejemplo en el dibujo para subir una carga de R = 60 kg, bastaría una fuerza de P = 10 kg.

La historia cuenta que Arquímedes inventó el polipasto para desplazar un gran barco que habían construido los habitantes de Siracusa y eran incapaces de botarlo debido a su enorme peso. Arquímedes lo movió el solo musando el polipasto.

Para ver el funcionamiento de la trócola podéis ver este vídeo. Las mochilas que aperecen están lastradas y pesan unos 50 kg. Los alumnos pudieron experimentar cómo eran capaces de moverlos sin apenas hacer fuerza usando sólo dos dedos. ¡¡Toda una experiencia científica!!!

En este otro vídeo una sola persona, sin esfuerzo, puede hacer más fuerza que cuatro tirando con todas sus ganas. El polipasto es un trabajo hecho por Darío (alumno de 4º de ESO). esá copnstruido usando garruchas de tender la ropa fijadas a dos listones de madera.

Parra saber más

Para conocer el análisis de las fuerzas en un polipasto se puede ver aqui:

• http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/mecanismos/mec_polipasto.htm

• http://youtu.be/s9-dpMA29z0

La trisección del ángulo utilizando una tira de papel (Arquímedes)

Hace más dos mil años, los geómetras griegos se propusieron el problema de la trisección de un ángulo dado utilizando exclusivamente la regla y el compás. Este problema estuvo vivo hasta que en el siglo XIX, gracias a la teoría de ecuaciones algebraicas, se logró demostrar que ésta era una construcción imposible.

Que la trisección del ángulo no sea posible hacerla sólo con regla y compás, no quiere decir que no pueda hacerse utilizando otras herramientas tan simples como una tira de papel.

Veamos cómo se hace en el siguiente vídeo:

 

TRISECCION DEL ANGULO from angel on Vimeo.

[Fuente: Heinrich Dörrie. 100 Great Problems of elementary Mathematics their history and solution. Ed. Dover. N. Y. 1958]

Este método de efectuar la trisección de unángulo se le atribuye a Arquímedes Aquí puedes ampñiar la costrucción y ver un applet de geometría dinámica

http://apolonio.es/guirnalda/la-triseccion-del-angulo-de-arquimedes/

En esta  entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS puedes ver otro método de hacer la trisección de un ángulo

• Trisección de un ángulo usando un instrumento de cartulina
• Trisección de un ángulo. Método de Hipócrates

Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

• La didáctica de la geometría clásica. Parte 1 la Caja de herramientas

Elipsógrafo o compás de Arquímedes. Cómo dibujar curvas usando rectas. (También la Astroide)

Se atribuye a Arquímedes el invento de este artilugio para dibujar elipses. Por ello es conocido como ELIPSÓGRAFO o Compás de Arquímedes

Nos hemos construido uno artesanalmente que funciona así.Es ideal para dibujar elipses en una pizarra.



Construcción 

Se necesita:
Para el cuadrante:
1 cuadrado 23x23 cm
4 cuadrados 11x11 cm
4 cuadrados 10x10 cm
Para los cursores
2 rectágulos 3x1 cm
2 molduras cuadradas 1x1x3 cm que se montan sobre los rectángulos anteriores.
Para el brazo
Una moldura plana, dos trornillos y 4 arandelas que facilitan el juego (en cada tornillo se pone una arriba y otra abajo).
Para sugetar el lapiz o la tiza un rectángulo agujereado que se fija con pegamento y un tornillo al extremo del brazo. 

El resto es un poco de pegamento de contacto y un papel de lija para los ajustes.

La demostración matemática

Hemos hecho una sencilla justificación matemática de que el resultado del dibujo es una elipse. Usamos un poquito de geometría analítica vectorial para hallar la ecuación de u n lugar geométrico.

Demostración matemática. Ecuaciones de un lugar geométrico 

 

Aquí tenéis una excelente animación hecha con GEOGEBRA obtenida de GEOGEBRATUBE

(Puede que haya problemas con el plugin de Java). Visita este enlace directo

http://tube.geogebra.org/student/m71230


LA ASTROIDE

Nuestro aparato también nos sirve para presentar otra curva: La ASTROIDE, que es la envolvente de los segmentos que define el brazo sobre los ejes. Hemos marcado con tiza blanca las posiciones del segmento que se desplaza por los ejes.

La astroide fue estudiada por Leibnitz. (Un gran amante de los mecanismos)

Esta experiencia es un primer paso para introducir las envolventes. Que son una manera de dibujar curvas usando rectas. Volveremos a ello en otra enttrada.

También en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

Cómo dibujar una elipse doblando papel

 http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2014/07/dibujar-una-elipse-doblando-paapel.html



Para saber más:

En este vídeo puede ver una animación que muestra muy claramente el funcionamiento del elipsógrafo

 http://youtu.be/AHopbTSHoLw

La paradoja mecánica

La "Paradoja mecánica" es un experimento que sirve para explicar el concepto de centro de gravedad.

La construcción del experimento es muy simple. Se necesita:
1) Unos listones de madera (fáciles de conseguir en cualquier tienda de molduras de madera),
2) Un cilindro (puede ser el eje de un rollo de papel de aluminio) y
3) Dos conos de poliespán que se pegan por las bases (estos conos los venden el las tiendas de manualidades o en almacenes de plásticos).

Lo que se observa es que el cono sube por los listones que forman un plano inclinado, desafiando, aparentemente, la ley de la gravedad.

Para entender lo que está pasando, hay que observar que lo que sube, o baja, es el centro de gravedad del doble cono. Mientras asciende por los listones, el centro de gravedad del bicono está bajando debido a la abertura de los listones..

Otra versión de la Paradoja mecánica en un modelo de madera







Aplicaciciones didácticas

El cáculo de dónde están los centros de gravedad de algunas figuras da origen a muy buenas matemáticas. En proximas entradas nos dedicaremos a ello.

Caos. Una aventura mátemática

Con los vídeos y las explicaciones de esta web se puede aprender mucho sobre las matemáticas de los Sistemas Dinámicos. Una maravilla de la animación para comprender mejor las matmáticas del movimiento. 

http://www.chaos-math.org/es

CAOS es una película matemática dirigida a todo público, que consta de nueve capítulos con una duración de trece minutos cada uno. Trata de sistemas dinámicos, del efecto mariposa y de la teoría del caos. Al igual que DIMENSIONS, la película es difundida bajo la licencia Creative Commons y fue realizada por Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez. CAOS está disponible en una amplia gama de idiomas y de subtítulos.


Son NUEVE capítulos. Este es el primero:

Trisección del ángulo. Método de Hipócrates

En entradas anteriores hemos presentado ya varios métodos de efectuar la trisección de un ángulo.

• Trisección de un ángulo utilizando una tira de papel
• Trisección de un ángulo usando un instrumento de cartulina
• Un trisector de ángulo. Otro más. Un desafío: justificarlo!!

En esta entrada presentamos otro más: El método ideado por Hipócrates. 
 
En este vídeo se explica en qué consiste

Feliz día de PI

Hoy es14 de marzo. (3-14 en la notación anglosajona). Hoy celebramos el día de PI.

Demostrar los teorema del seno y del coseno

"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces"
Baltasar Gracián


Ya hemos dedicado varias entradas en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS para subrayar lo importante que son las demostraciones en la formación matemática. Ver los enlaces al final de esta entrada.

De manera provisional pongo aquí unos vídeos de escasa calidad con las demostración de los teoremas del seno y del coseno. Estos vídeos los grabé para mis alumnos del curso pasado. Hoy las coloco aquí para animar a mis alumnos de este curso a mejorarlos. 

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO




DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO




Aprovecho la ocasión para recomendar encarecidamente, que para aprender un teorema de geometría no se memoricen las fórmulas usando letras. Las letras pueden variar de un problema a otro. Es mucho mejor memorizar (y entender) el significado.

Teorema del seno 

• Vale para cualquier triángulo. 

• Establece una relación entre los lados de un triángulo y los senos de sus ángulos opuestos.

• Está indicado cuando se conoce un lado y su águlo opuesto (caso ALA).

"En un triángulo cualquier, la razón entre los lados y el seno de su ángulo opuesto es constante."

Teorema del coseno

•  Vale para cualquier triángulo. 

• Permite calcular un lado conocidos los otros dos y el ángulo opuesto. O visto de otra manera, permite calcular el ángulo conocidos los lados del triángulo.

• Está indicado cuando se conocen los tres lados (caso LLL) y cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido (caso LAL).

"El cuadrado de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo opuesto."









En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS:

• Demostración de los teoremas métricos del triángulo rectángulo (tma de la altura y Tma. del cateto)

• Demostración del teorema de Pitágoras
• Didáctica de la geometría. Caja de herramientas de las demostraciones

•  Teorema de Pitágoras 
• Un texto de geometría sin figuras ni fórmulas
  

• La suma de los tres ángulos de un triángulo es un llano
• Esfera + cono = cilindro 
• Construir una circunferencia goniométrica doblando papel
• Las matemáticas de las cosas que se mueven. La cicloide
• Volumen del cono y de la pirámide
• Calcular pi pesando
• Goniómetro de campo. Aplica,os la trigonometría
• Volumen del tetraedro
• Empaquetamiento óptimo de círculos
• Probabilidad geométrica. Calcular PI con arroz y palillos 
• Las apariencias engañan
• Compás aureo

Vídeos de divulgación científica en el canal de la FECYT

La Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT) tiene por actividad divulgar y potenciar la Ciencia y la Tecnología.

A los profesores y a los alumnos nos ofrece una buena cantidad de recursos escritos y audiovisuales.

PORTAL TV de la FECYT

Algunos entretenimientos matemáticos

La revista Quo tiene un canal con pequeños vídeos de "truquillos" de Matemáticas y su explicación . Este es un ejemplo:

Calendario





Paridad