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jueves, 28 de mayo de 2015

Un juego de cálculo mental basado en la ley de la palanca de Arquímedes


El concepto de centro de gravedad es una de las grandes aportaciones de Arquímedes. El equilibrio de masas es la clave de grandes ideas en Matemáticas y en Física 

Con este instrumento se puede comprobar la ley de la palanca de Arquímedes

Potencia x brazo de potencia = Resistencia x brazo de resistencia 



Aplicaciones didácticas

Además, este artilugio sirve para hacer un juego muy divertido para despepertar el cálculo mental.

Uno de los jugadores pone un cierta cantidad de tuercas en un brazo. El ootro concursante tiene que equilibrar la palanca.

Puede hacerse de manera más complicada si se admite poner las tuercas en dos o tres lugares de la barra.





Construcción 

Para la construccición de este aparato se ha utilizado cinta metálica perforada para fijación y tornillería



Sobre lo que se ve en el vídeo se puede mejorar con una rotulación adecuada de los números que intervienen en el juego

martes, 14 de abril de 2015

Una escalera infinita



Fuentes: 

¿Pueden apilarse una serie de ladrillos de modo que algunos de ellos caigan completamente fuera de la base de sustentación?

La respuesta es sorprendentemente que SÍ. Más aún, puede colocarse un ladrillo tan lejos como se desee de la base de sustentación.

Esta paradoja clásica consiste en apilar una serie de ladrillos idénticos en una mesa, como en el diagrama.

Al ir añadiendo más ladrillos como se indica, podemos hacer que la escalera resultante sobresalga todo lo que queramos sin derrumbarse. Una escalera de n ladrillos , cada uno de longitud 2, sobresale una distancia
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n

Como esta serie (la serie armónica) es divergente, se concluye que el úntimo ladrillo puede colocarse tan lejos como se quiera de la base de sustentación.





Veamos en el siguiente vídeo cómo se hace en la práctica. ¡Es sorpendente!!




Una construcción de 900 antes de Cristo basada en este principio



sábado, 21 de febrero de 2015

La copa de Aquímedes



Fuente de la imagen: http://cinicosdesinope.com/ciencias/el-invento-que-regula-la-codicia/


Cuentan que Arquímedes diseñó un vaso para evitar que los invitados a una fiesta abusasen tomando más de una cierta cantidad de vino.



El experimento:

Una botella de plástico a la que hemos cortado por el fondo nos va a servir de copa. En el tapón hacemos un agujero, por el que pasamos un tubo de plástico con el que hacemos un sifón dentro de la botella.  Después sellamos el tapón con pegamento.

Conforme se va llenando la copa se va cebando el sifón. Cuando se ceba por completo el sifón, el agua se descarga.


domingo, 15 de febrero de 2015

"El contador de arena" una novela de Gilliam Bardshaw sobre Arquímedes


Fuente (dónde encortrar la novela completa): http://www.librosmaravillosos.com/elcontadordearena/index.html

Una novela de Gilliam, Badshaw inpirada en Arquímedes


Resumen 
 
Adelantado a su tiempo y conocido universalmente por el célebre principio que lleva su nombre, el griego Arquímedes fue un pionero del actual método científico, además de notable matemático y pensador. Discípulo de Euclides e hijo del astrónomo Fidias, su azarosa vida resulta tan apasionante como formidable el poder de su intelecto. En esta rigurosa novela histórica, Gillian Bradshaw —autora de grandes éxitos como El faro de Alejandría, Púrpura imperial, Teodora, emperatriz de Bizancio y El heredero de Cleopatra— presenta al lector un Arquímedes de carne y hueso, un ser humano excepcional que, inmerso en la convulsa época que le tocó vivir, tuvo que enfrentarse a múltiples dilemas Deslumbrado por las maravillas de Alejandría tras una estancia de tres años y decidido a radicarse allí para siempre, el joven Arquímedes se ve obligado a volver a Siracusa, su ciudad natal, para ocuparse de su padre enfermo. El contraste no puede ser mayor: de la deslumbrante cuna del saber ha pasado a una ciudad entregada a los frenéticos preparativos para una cruenta guerra contra la poderosa Roma. Convertido por las circunstancias y el destino en el principal artífice de los ingenios bélicos con que se intentará repeler la invasión del coloso romano, Arquímedes atrae la atención del tirano Hierón, quien intenta retenerlo a toda costa en su corte. Y pese a que el mayor deseo del genial griego es volver a Alejandría para perfeccionar sus conocimientos y reunirse con Marco, el leal esclavo que lo ha acompañado desde siempre, un inesperado motivo lo empuja a permanecer en Siracusa, un motivo que ni siquiera su pasión por el saber y la ciencia podrá obviar y que, a la postre, lo obligará a recorrer un sendero salpicado de gloria, amor, guerra y traición.


Información muy completa sobre la obra de Arquímedes "Arenario"

viernes, 13 de febrero de 2015

Planetario de Arquímedes




Planetario de Arquímedes

Cicerón (106-43 aC) relata que después de la conquista de Siracusa en el 212 aC, el cónsul romano Marcelo llevó a Roma un globo celeste y un planetario construido por Arquímedes (287-212 aC). El planetario era un objeto extraordinario que, en cada rotación, mostraba la Luna y el Sol sobre la Tierra inmóvil, los eclipses de Luna y el Sol en intervalos de tiempo adecuados, así como los movimientos de los otros cinco planetas conocidos: Mercurio, Venus , Marte, Júpiter y Saturno (En la República, I, 14, 21-22; Tusculanas, I, 63). Este planetario también es mencionado por Ovidio (siglo I aC) en el calendario (VI, 263-283), por Lactancio (siglo IV dC) en sus Instituciones Divinas (II, 5, 18) y en un epigrama de Claudiano (siglo IV AD) titulado Esfera de Arquímedes. Añade Claudia que el instrumento fue encerrado en una esfera de cristal llena de estrellas.

Desafortunadamente, no hay una descripción detallada de los mecanismos que animaron planetario de Arquímedes. En 1974, el historiador de la ciencia Derek J. de Solla Price presume que el instrumento funcionó con engranajes similares a los presentes en el mecanismo de Antikythera que data del siglo I aC

 
Mécanismo de Antikythera


 En 1901, un grupo de buceadores rescataron un antiguo naufragio en las inmediaciones de la isla de Antikithera, frente a la costa meridional de Grecia. Se encuentraron un misterioso objeto - un trozo de piedra calcificada que contenía en su interior varias ruedas dentadas soldadas entre sí después de años bajo el mar. El objeto de 2.000 años de edad, no más grande que un ordenador portátil moderno, es ahora considerado como la máquina de calcular más antigua del mundo, Estaba ideado para predecir eclipses solares y, de acuerdo con los últimos hallazgos, calcular el tiempo de los antiguos Juegos Olímpicos. A raíz de los esfuerzos de un equipo internacional de científicos, los misterios del Mecanismo de Antikythera se desvelaron, revelando detalles sorprendentes e impresionantes del objeto que sigue desconcertando.










Para saber más 


  • Antikythera Mechanism Part 1: by Nature Video


http://youtu.be/DiQSHiAYt9
  • Antikythera Mechanism Part 2: by Nature Video

http://youtu.be/znM0-arQvHc


Aplicación didáctica



Como aplicación didáctica hemos construido un planetario inspirado en el que diseñó Arquímedes

En este vídeo se ve como funciona con un panel solar

El planetario lo compramos en esta tienda Y es este en Amazon Solar Planet kit




viernes, 6 de febrero de 2015

El polipasto de Arquímedes



Ilustración de Introduction a la Science de LÌngénieur par J. Claudel. Dunod. París 1875  
Ilustración del libro de Física de FTD- Barcelona 1928

El polipasto  (o juego de poleas fijas y poleas móviles)  es uno de los inventos atribuidos a Arquímedes. Sirve para mover objetos pesados haciendo una pequeña fuerza. Es una especie de ley de la palanca.

En la ilustración podemos ver un polipasto utilizado en la construcción que se conoce como trócola. En las ferreterías se pude comprar el par de poleas fijas/móviles sencillitas como la de la foto de la derecha. Se venden con le nombre de "trocolín" y se usan en pequeñas obras de albañilería.
 
Para elevar un gran peso usando la trócoila hay que deslazar más cuerda, pero haciendo menos fuerzas. La desmultiplicación es un factor de dos veces el múmero de poleas. Por ejemplo en el dibujo para subir una carga de R = 60 kg, bastaría una fuerza de P = 10 kg.

La historia cuenta que Arquímedes inventó el polipasto para desplazar un gran barco que habían construido los habitantes de Siracusa y eran incapaces de botarlo debido a su enorme peso. Arquímedes lo movió el solo musando el polipasto.

Para ver el funcionamiento de la trócola podéis ver este vídeo. Las mochilas que aperecen están lastradas y pesan unos 50 kg. Los alumnos pudieron experimentar cómo eran capaces de moverlos sin apenas hacer fuerza usando sólo dos dedos. ¡¡Toda una experiencia científica!!!



En este otro vídeo una sola persona, sin esfuerzo, puede hacer más fuerza que cuatro tirando con todas sus ganas. El polipasto es un trabajo hecho por Darío (alumno de 4º de ESO). esá copnstruido usando garruchas de tender la ropa fijadas a dos listones de madera.




Parra saber más

Para conocer el análisis de las fuerzas en un polipasto se puede ver aqui:

lunes, 2 de febrero de 2015

Elipsógrafo o compás de Arquímedes. Cómo dibujar curvas usando rectas. (También la Astroide)


Se atribuye a Arquímedes el invento de este artilugio para dibujar elipses. Por ello es conocido como ELIPSÓGRAFO o Compás de Arquímedes

Nos hemos construido uno artesanalmente que funciona así.Es ideal para dibujar elipses en una pizarra.



Construcción 

Se necesita:
Para el cuadrante:
1 cuadrado 23x23 cm
4 cuadrados 11x11 cm
4 cuadrados 10x10 cm
Para los cursores
2 rectágulos 3x1 cm
2 molduras cuadradas 1x1x3 cm que se montan sobre los rectángulos anteriores.
Para el brazo
Una moldura plana, dos trornillos y 4 arandelas que facilitan el juego (en cada tornillo se pone una arriba y otra abajo).
Para sugetar el lapiz o la tiza un rectángulo agujereado que se fija con pegamento y un tornillo al extremo del brazo. 

El resto es un poco de pegamento de contacto y un papel de lija para los ajustes.

La demostración matemática

Hemos hecho una sencilla justificación matemática de que el resultado del dibujo es una elipse. Usamos un poquito de geometría analítica vectorial para hallar la ecuación de u n lugar geométrico.

 






Aquí tenéis una excelente animación hecha con GEOGEBRA obtenida de GEOGEBRATUBE

(Puede que haya problemas con el plugin de Java). Visita este enlace directo

http://tube.geogebra.org/student/m71230


LA ASTROIDE

Nuestro aparato también nos sirve para presentar otra curva: La ASTROIDE, que es la envolvente de los segmentos que define el brazo sobre los ejes. Hemos marcado con tiza blanca las posiciones del segmento que se desplaza por los ejes.

La astroide fue estudiada por Leibnitz. (Un gran amante de los mecanismos)

Esta experiencia es un primer paso para introducir las envolventes. Que son una manera de dibujar curvas usando rectas. Volveremos a ello en otra enttrada.

También en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

Cómo dibujar una elipse doblando papel

 http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2014/07/dibujar-una-elipse-doblando-paapel.html



Para saber más:

En este vídeo puede ver una animación que muestra muy claramente el funcionamiento del elipsógrafo

 http://youtu.be/AHopbTSHoLw

domingo, 25 de enero de 2015

El área de las figuras esféricas. Método de Arquímedes



Una de las obras que se conserva de Arquímedes es una carta a su colega Dosíteo que se titula Sobre la esfera y el cilindro.

Se sabe que este estudio sobre el cilindro y la esfera era el más querido de Arquímedes y que dispuso que en su tumba se esculpiese una esfera dentro de un cilindro

Esta obra se encuenta recogida en el libro "Dios creó a los números . Los descubvrimientos matemáticos que cambiaron la Historia. Edición comentada por Stephen Hawking." Ed. Crítica. Barcelona 2011.

El método utilizado para el estudio del área de la superficie esférica es muy formativo.

Aquí presentamos la exposición de la cuestión tal como viene en el libro de bachillerato de Rey Pastor y Puig Adam, del que hablamos en otra entrada anterior.



Ver también esta entrada en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS
dobre el volumen de la esfera:




viernes, 23 de enero de 2015

La longitud de una circunferencia y el área de un círculo. Cálculo de PI por el método de Arquímedes



Un alumno de 4º de ESO o de Bachillerato está en condiciones de entender y disfrutar con una lectura en detalle del método de Arquímedes para rectificar una circunferencia y cuadrar un círculo, aproximando el valor del número pi.

Este tema es muy formativo porque reune ideas fundamentales de geometría, álgebra, límites, y métodos de cálculo numérico utilizando hojas de cálculo.


Descargrar el pdf  AQUÍ




Recursos GEOGEBRA:



La historia de PI (un vídeo de Tom Apostol)






PROPUESTA de trabajo

1. Exponer el tema
2. Escribir una fórmula de recurrencia para la apotema
3. Aproximar pi con una hoja de cálculo a partir del lado del triángulo equilátero.

martes, 30 de diciembre de 2014

La geometría del bachillerato (1934) de Rey Pastor y Puig Adam



Esta entrada está destinada a recuperar la memoria de un viejo libro de texto de matemáticas usado a principios del siglo XX.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos otra entrada a recordar la figura de D. Ignacio Suarez Somonte y su original libro de texto de geometría sin figuras ni fórmulas.

Ahora traemos aquí dos libros de Geomertría  para el bachillerato de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam, escritos en 1933.


Como dato de contexto hay que recordar que la República II derogó el Plan de bachillerato hecho durante la Dictadura de Primo de Rivera (Plan Callejo) y volvió a implantar el plan de estudios de 1903. En este plan, la Geometría se estudiaba en el tercer curso del  bachillerato con alumnos de 14 años. (Historia del bachillerato en España)

En el prólogo se explica que los libros son una adaptación hecha por Pedro Puig Adam de unos textos de bachillerato escritos por Julio Rey Pastor para la Argentina.

Hay dos versiones del mismo curso

Elementos y Complementos de Geometría (Colección elemental intuitiva) y otra que se titula Elementos de Geometría Racional en dos tomos, el primero dedicado a la geometría plana y el segundo a la del espacio. Estos últimos son los que aparecen en la imagen de más arriba.

En el libro se estructuran los conocimientos básicos de geometría de una manera muy clara y asequible. Hay algunos temas del tomo 2 que abordan resultados y métodos muy interesantes con más elaboración en los argumentos de las demostraciones. Uno de ellos es el que vamos a poner a continuación como muestra.

Ojalá pronto recuperemos el estudio de la Geometría clásica en la Enseñanza media que serviría muy bien para despertar vocaciones matemáticas

Ver:  Didáctica de la Geometría. Caja de Herrramientas de la geometria clásica

Como muestra ponemos una lección sobre el calculo de áreas en la superficie esférica. Esta lección, además, nos viene muy a propósito en nuestro estudio de Arquímedes. Disfrutad con la exposición.

 Lección 21. El área de las figuras esféricas















lunes, 29 de diciembre de 2014

La tumba de Arquímedes

 Fuente de la imagen 
http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Tomb/TombIllus.html]

En la necrópolis de Siracusa, en la puerta de Agrigento, se halla la Tumba de Arquímedes. En ella estaba esculpida una esfera dentro de un cilindro.

Los historiadores Plutarco y Tito Livio hicieron referencia a la tumba de Arquímedes. Tumba que buscó y descubrió Cicerón

En lo que sigue están recogidas las citas textuales que ghacen referencia a la tumba de Arquímedes. También podrás ver algunos cuadros que representan a Cicerón descubriendo la tumba de Arquímedes. 

La tumba de Arquímedes tenía una esfera inscrita en un cilindro haciendo referencia a lo que él consideraba que eran sus mejores ideas: 
1) El área de la superficie esférica es igual al área lateral del cilindro que la circunscribe.
2) El volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe.

Para una ampliación de la cuestión ver, por ejemplo, el artículo de Miguel de Guzmán "La mejor idea de Arquímedes"
   
Un artículo más en profundidad sobre el tema es: Arquímedes (La cubatura y la cuadratura de la esfera)

Si quieres, puedes ver antes, otras entradas de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS dedicadas a

Fuente: En el blog NO MOLESTES MIS CÍRCULOS encontramos esta entrada:

Plutarco, en sus Vidas Paralelas capítulo 17 (Pelópidas  y  Marcelo) , nos describe a Arqiímedes  de la siguiente manera:

"Arquímedes poseyó un espíritu tan alto, un alma tan profunda, así como tesoros de conocimiento científico, que aunque estas invenciones ya le habían otorgado la fama de una sagacidad sobrehumana, él no se dignó a dejar cualquier comentario o escrito sobre tales temas; pero, repudiando como sórdido e innoble todo el comercio de la ingeniería, y todo tipo de arte que se preste a mero uso y provecho, situó todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras, donde no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida.Sus investigaciones, la superioridad de quien es incuestionable por los demás, y donde la única duda puede ser si la belleza y la grandeza de los sujetos examinados, de la precisión y la contundencia de los métodos y medios de prueba, más merecen nuestra admiración."

Tito Livio (Historia de Roma desde su fundación)  Libro XXV cuenta la muerte de Arquímedes

"Entre otros muchos horribles ejemplos de furia y rapacidad, destacó el destino de Arquímedes. Queda memoria de que, en medio de todo el terror y alboroto producido por los soldados que corrían por la ciudad capturada en busca de botín, estaba él absorto en silencio con algunas figuras geométricas que había dibujado en la arena y resultó asesinado por un soldado que no sabía quién era. Marcelo quedó muy apesadumbrado y se encargó de que su funeral se llevara a cabo apropiadamente; y tras haber descubierto dónde estaban sus familiares, fueron honrados y protegidos por el nombre y memoria de Arquímedes."
Plutarco, en sus Vidas Paralelas capítulo 17 (Pelópidas  y  Marcelo) , nos describe así cómo afecto a marcelo la muerte de Arqiímedes 

"Nada afectó a Marcelo tanto como la muerte de Arquímedes, que se encontraba entonces, así lo quiso el destino, absorto trabajando en algún problema mediante un diagrama, y habiendo fijado su mente y sus ojos sobre el tema de su especulación, no había notado la incursión de los romanos , ni que la ciudad estaba siendo tomada.
En este extasis de estudio y contemplación, un soldado, de forma inesperada   se le acercaba, le ordenó seguir a Marcelo, que se negó a hacerlo antes de que hubiera acabado su demostración; El soldado, enfurecido, sacó su espada y le dio muerte."
En el libro "Al margen de la clase. amenidades matemáticas" encontramos:

[Fuente: Rafael Rodríguez Annoni. Al margen de la clase. Amenidades matemáticas. Librería general. Zaragoza1959]

Cicerón, cuando fue cuestor de Lilibea, en Sicilia, visitó la tumba de Arquímedes. En las Cuestiones Tusculanas relata así el descubrimiento de la tumba de Arquímedes así:

"Puse yo todo mi desvelo en encontrar esta tumab. Los de Siracusa me afirmaban que no exiistía en absoluto. A fuerza de buscar la encontré al fin, cubierta de zarzas y malezas. En este descubrimiento,  fui guiado por ciertas líneasde una inscripción que se decía habían sido grabadas sobre el monumento, y que se referían a una esfera y un cilindo puestas en el vértice de la tumba. Mirando entre las numerosas tumbas que se encuentran hacia la puerta de Agrigento, me fijé en una pequeña columna que se elevaba sobre los matorrales: en ella estaban la figura de una esfera y un cilindro. Inmediatamente exclamé delante de los habitantes de Siracusa que me acompañaban: ¡Aquí está lo que yo busco! entonces se apresuraron a cortar las malezas y poner el emplazamiento al descubierto.
Terminado este trabajo nos acercamos a la tumba: Vimos allí la inscripción medio carcomida por el tiempo, Así que la más noble y en otro tiempo más instruída ciudad de Grecia, ignoraría el lugar del dsepulcro del más inteligente de sus ciudadanos, si un desconocido extranjero no hubiese ido allí para enseñárselo"


Acontinuación algunos cuadros que representan el momento en el que Cicerón descubre la tu,ba de Arquímedes tomados del blog TURISMO MATEMÁTICO








En TURISMO MATEMATICO se pueden encontrar maravillosas referencias de Arquímedes en la pintura y la escultura
Del mismo autor en Divulgamat


 

 


sábado, 25 de octubre de 2014

Stomachion de Arquímedes



Seguimos en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS  dedicándole entradas a Arquímedes


El stomachion ("dolor de estómago", en griego) es un puzzle que estudió Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.).
Es una descomposición del cuadrado en 14 piezas que tienen por área números enteros. Una especie de tangram. Un juguete muy fácil de construir, pero muy difícil de resolver. Un problema de combinatoria geométrica. Se piensa que Arquímedes desarrolló criterios sobre cómo debían acoplarse los lados y los ángulos de las piezas. 

Con las piezas del Stomachion se pueden construir figuras variadas. Incluso se pueden reordenar las piezas de modos diferenntes para recomponer el cuadrado original de otra manera.




En noviembre de 2003, Bill Cutler encontró que hay 536 maneras distintas de colocar las piezas para construir el cuadrado original. Las soluciones que son rotaciones o simetrías se cosideran equivalentes. Si no es así el número total de soluciones asciende a 17.152.

Para calcular el área de las figuras del stomachion, lo más sencillo es utilizar el TEOREMA DE PICK
que permite calcular fácilmente el área de polígonos dibujados en una cuadrícula.

Para saber más sobre el tema:








martes, 16 de septiembre de 2014

Arquímedes



"A Arquímedes se le recordará cuando el dramaturgo Esquilo haya sido olvidado. Los idiomas mueren, pero las ideas matemáticas permanecen."
G. H. Hardy
“Quien comprenda a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de hombres posteriores.”
G. W. LEIBNIZ
El objetivo que nos planteamos para este primer timestre es acercarnos, junto con los alumnos de 4º de la ESO, a la figura de ARQUÍMEDES y, a través de él, a algunas ideas matemáticas que nacieron de su pensamiento genial.

Intentaremos reconstruir algunos de sus razonamientos y de fabricar con nuestros medios algunos de sus inventos más notables.

Si somos capaces, prepararemos una exposición con todas nuestras investigaciones. Así podremos compartirlas con todo el mundo y aprender técnicas para comunicarnos mejor.

Para los interesados en la Ciencias Sociales, también de la mano de Arquimedes, nos acercaremos a la historia de su tiempo y analizaremos por qué se perdió su legado durante casi dos milenios.

Para empezar

1) Vamos a ver estos documentales










Película de cine mudo Cabiria fue dirigida por Giovanni Pastrone y estrenada en abril de 1914.

La ira de Arquímedes from arfraile on Vimeo.

The sand reckoner: Do not dirturb my circles




Lucio Russo hablando sobre Arquímedes



Posibilidades didácticas de Arquímedes y del número pi I from CRFP CLM on Vimeo.


y

2) leer este libro:

Arquimedes y la Palanca. En 90 minutos
Paul Strathern
Editorial Siglo XXI


A ver qué cosas nos suguieren hacer...






En una próxma entrada, a sugerencias vuestras, haremos una lista de preguntas y respuestas que nos ayuden a fijar ideas.






Agunos vídeos sugerentes sobre cosas que hizo Arquímedes

La WEB de ARQUIMEDES

EL JARDÍN DE ARQUÍMEDES

WEB SOBRE ARQUÍMEDES EL MATEMATICO

Tornillo de Arquimedes

Ley de la Palanca

Poleas y polipastos

La historia de PI

Experimento de Arquímedes = Cilindro = esfera  + cono

La copa de Arquímedes

La copa de Arquímedes. (Si te pasas lo pierdes todo)

La copa de Arquímedes (Ciencia divertida) 

Arquímedes y el área de la elipse

Método de Arquímedes de hallar el área de un segmento parabólico

Arquímedes demostración del área de una elipse 

El volumen de una esfera

Sólidos arquimedianos

Comferencia de Tom M Apostol (la primera parte esta dedicada a las ideas matematicas de Arquimedes)

Arco de segmento parabólico. Matemáticas visuales

La muerte de Arquimedes en el arte (divulgamat)

El experimento del fantasma atrapado en una botella

La cubatura y la cuadratura de la esfera  (divulgamat)

 Arquímedes en Turismo Matemático
 
La mejor idea de Arquímedes (Miguel de Guzmán)

Elipsógrafo de Arquímedes





domingo, 16 de junio de 2013

"Esfera + cono = cilindro". Repetimos el experimento de Arquímedes. Desafío: ¿Cómo demostró Arquímedes la fórmula del volumen de la esfera?


[Lápida de Arquímedes, según  Plutarco (46-120 dC): Un cilindro que contiene una esfera con una inscripción dando la proporción volumen de la esfera/volumen de un cilindro = 2/3. 
Fuente de la imagen: http://home.swipnet.se/polygon/saaPlu.htm]

De los muchos descubrimientos matemáticos y mecánicos que hizo Arquímedes, del que estaba más orgulloso era este: "El volumen de una esfera y el del cilindro cinscunscrito a ella, están en la relación de 2:3".
Tan es así que Arquímedes mando inscribir en su tumba una figura como la de la imagen.

En clase de Matemáticas hemos repetido el experimento de Arquimedes. Aquí está el vídeo 



Podemos formular un desafío a dos niveles.

El  desafío sencillo es, simplemente, comprobar algebraicamente que las fórmulas que vienen en los libros, efectivamente funcionan.

 
El  desafío avanzado, sería hacer una auténtica demostración.de la proposición de Arquímedes. Para ello hay que estudiar las secciones de las esfera y el cono a la misma altura.

A investigar: ¿Cuál fue la demostración de Arquímedes de la fórmula del volumen de la esfera?

En Aprender y enseñar matemáticas ya hemos dedicado anteriormente algunas entradas relacionadas con este tema:

Para ampliar:

La demostración que suele venir en los libros de texto del volumen de la esfera es esta:
 (Esta que presentamos es la demostración que aparece en el lubro "Matemáticas 3º de ESO". Bruño. Ángel de la Llave Canosa)









miércoles, 7 de marzo de 2012

Volumen del cono y la pirámide

Con unos simples recipientes, como los de la fotografía, se puede demostrar la fórmula del volumen de los conos y las prámides.

El siguiente experimimento hace evidente que el voliumen de un cilindro es igual a tres veces el del cono de la misma base y la misma altura. (Análogamente se puede hacer para la pirámide y el prisma de la misma base y la misma altura).

Es decir, El volumen del cono es un tercio del área de la base por la altura.



Este mismo tema se ha tratado en le entrada: Volumen del tetraedro