¡EUREKA! El Principio de Arquímedes

Es bien conocida la historia de Arquímedes saliendo desnudo del baño, gritando por las calles de Siracusa ¡Eureka! ¡Eureka!

El rey Hierón II había entregado a un joyero un lingote de oro para que le fabricase una corona. Una vez recibido el encargo, el rey desconfiaba de que el oro no hubiese sido mezclado con otro metal menos denso. La corona, ciertamente pesaba lo mismo que el oro entregado, pero ¿estaba hecha de oro puro?

La idea genial de Arquímedes fue pesar el lingote de oro y la corona sumergidos en agua. Cuando hacemos esto, el empuje del agua sobre la corona  falsa es mayor que el empuje sobre el lingote, ya que al tener la corona más volumen desplaza más líquido.

Principio de Arquímedes. Todo cuerpo sumergido en un líquido, experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen del líquido que desaloja. (El líquido tiende a ocupar su espacio y empuja al objeto intruso)    

EL EXPERIMENTO

Hemos recreado el experimento de Arquímedes para que los alumnos lo puedan vivir por sí mismos.

Hemos construido dos piezas de igual peso. Una, de metal dorado (el tirador de una puerta), que representa el lingote de oro. Otra, (un huevo de madera, lastrado hasta conseguir que pese lo mismo que la primera pieza, pintado de purpurina), que representa la corona adulterada.

También nos hemos construido una balanza, capaz de detectar cuando los pesos de ambos brazos están equilibrados.

1. Pesada en el aire

Estas dos piezas pesadas en el aire equilibran un balanza.

2. Pesada sumergidas las piezas en agua

¿Qué pasará si metemos las piezas un sendos vasos de agua, y repetimos la pesada?

La falsa corona sufre un empuje mayor que el lingote, debido a su mayor volumen que desplaza una mayor cantidad de agua. Con lo que la balanza se desequilibra.

Vídeo del experimento

    

PROBLEMA NUMÉRICO

Se dispone de dos piezas de metal A y B, ambas de 1 kg de peso.
La pieza A está hecha de oro puro. Y la pieza B a partes iguales en masa de oro y de plata.
La densidad del oro es 19,32 y la densidad de la plata es 10,5.
¿Cuál es la diferencia de pesos aparente de estas dos piezas cuando se pesan sumergidas en agua?

Respuesta: 21,75 g.

 

PARA PENSAR MÁS ALLÁ

¿Qué justifica el Principio de Arquimedes?

Una primera explicación podría ser que la masa de agua del recipiente rechaza a objeto extraño y empuja para expulsarlo.

 Esta respuesta parece bastante satisfactoria en un primer momento. Pero hace agua si lo pensamos un poco más.

Piensa en un petrolero de gran tonelaje sumergido en una exclusa que se adapta casi perfectamente al perfil del casco del barco. De este modo una pequenísima cantidad de agua ejercería la fuerza del empuje del petrolero que son muchísimas toneladas.

La explicación correcta es en la reacción del suelo sobre el objeto sumerjido, considerando que el agua es incomprensible y transmite la presión perfectamente al fondo.

ERROR EN MUCHOS LIBROS y VÍDEOS

En muchos libros de texto, e incluso en la serie "Érasese una vez los inventores" aparece una explicación equivocada del experimento de Arquíimedes. 

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Este error parece ser que se arrastra desde que Vitrubio explico mal el experimento de Arquímedes. 

Según muchos libros lo que hizo Arrquímedes es sumergir la corona falza en agua para determinar su volumen. ¡Error! Por este método no se detremina con lasuficiente precisión el volumen, debido a la tensión superficial.  Para darse cuenta  se puede hacer el expimeto de llenar un vaso y luego, poco a poco ir añadiendo monedas. 

Por favor, no lo sigáis difundiendo.

Por qué "Mundo Arquímedes"

Durante este curso hemos etado trabajando con los alumnos de un curso de Cuarto de ESO para crear nuestro MUNDO ARQUÍMEDES, que se ha materializado en un trabajo escrito y en una exposición.  Muchos de los contenidos los habéis ido viendo en este blog. Otros aún están pendientes de subir.

Compartimos la presentación del trabajo, donde se justifica el porqué y el cómo.

Presentación 

Aquí se presenta el resultado de unos meses dándole vueltas a un personaje: Arquímedes. Durante este tiempo unas ideas nos han llevado a otras y cada vez más tenemos el sentimiento de que apenas hemos empezado a conocer algo del tema. Por eso no damos por terminado el trabajo. Esto no ha hecho nada más que empezar.

Santiago Ramón y Cajal en su libro “Los tónicos de la voluntad: Reglas y consejos sobre la investigación científica” decía que “Toda obra grande es fruto de la paciencia y la perseverancia, combinada con la atención orientada tenazmente durante meses, y aun años, a un objeto particular”. De acuerdo con el maestro, estamos convencidos de que uno de los mejores métodos de estimular la inteligencia es tener un tema en la cabeza. Un centro de interés. Al cabo del tiempo, todo lo que nos rodea nos lleva a profundizar más y más en él, a establecer nuevas conexiones. Mientras pulimos nuestras primeras ideas, elaboramos nuestro personal punto de vista. Poco a poco van naciendo ideas originales.

 ¿Por qué hemos elegido a Arquímedes? El físico e historiador de la Ciencia, Lucio Russo, en su trabajo “La revoluzione dimenticata” sostiene que Arquímedes es mucho más que el personaje de las anécdotas graciosas. Arquímedes y algunos de sus coetáneos, como Euclides, Hiparco, Conón, Eratóstenes y Apolonio, son protagonistas de una revolución olvidada que cristalizó en el mundo heleno durante el siglo III antes de Cristo. En ese tiempo se produjo un cambio radical en el paradigma del conocimiento. Una revolución que pudo haber cambiando el rumbo de la Humanidad. Lamentablemente la manera de ver el mundo que tenía Arquímedes se perdió por avatares de la Historia y no se recuperó hasta mucho después con personajes como Galileo y Descartes. En Arquímedes encontramos las ideas fundamentales de la Ciencia. Ese gran fenómeno cultural e ideológico de la Humanidad. Siguiendo la argumentación de Lucio Russo, la Ciencia no es tanto el conocimiento de esto o aquello, sino el método demostrativo que justifica lo observado y lo aplica a la técnica.

Mayo 2015

La espiral de Arquímedes y la trisección del ángulo

La espiral de Arquímedes es una curva mecánica ideada por el sabio de Siracusa con el fin de resolver el problema de la trisección del ángulo. El estudio de las espirales centró la atención de Arquímedes y uno de sus libros más complicados es el que tituló "Sobre las espirales":

Definición

Imagínese una línea en un plano que describe un punto que gira con velocidad angular constante a la par que va ampliando el radio del giro. Con más precisión:

Las ecuación en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes es, pues,

r = k· t

La espiral de Arquímedes, también se llama espiral aritmética.

Para saber más aquí


Procedimiento mecánico de construcción de la espiral usando una escuadra.

Dibujemos una circunferencia de radio R.  Hagamos una escuadra en la que su brazo corto tenga por longitud el radio de la circunferencia. Sea el punto X, en el extremo de la escuadra que coincide con el centro de la circunferencia, tal como se ve en el dibujo.

Si se rueda el lado largo de la escuadra sobre la circunferencia, resulta

 MN = arco MP = R t

Como por ser una escuadra, MN = OX se tiene que el punto X describe una espiral de Arquímedes de ecuación

r = R· t

Trisección del ángulo usando la espiral de Arquímedes 

La trisección del ángulo se puede hacer fácilmente si tenemos ya construida una espiral de Arquímedes, de ecuaciones r = k t.  Siendo r, la distancia al origen y t el ángulo con respecto a la horizontal)

Coloquemos una espiral de Aquímedes con origen, O, en el vértice del ángulo que queremos trisecar. En el dibujo hemos usando el color rojo para representar la espiral. Sea Q el punto donde la espiral corta a uno de los lados del ángulo, como se ve en el dibujo.

Dividamos el segmento OQ en tres segmentos iguales, determinando los puntos Q1 y Q2. De tal manera que OQ1 = 1/3 OQ y  OQ2 = 2/3 OQ.  [*]

Con centro en O, usando el compás, trasladamos las distancias OQ1 y OQ2 a la espiral, determinando en ella los puntos H1 y H2.  Es decir, se verifica OH1 = OQ1 = 1/3 OQ  y   OH2 = OQ2 = 2/3 OQ

 Aplicando la definición de la espiral de Arquímedes resulta que las rectas OH1 y OH2 trisecan el ángulo QOP.

En efecto, si llamanos t1 al ángulo POH1,  t2 al ángulo POH2 y t3 al ángulo dado POQ, se tiene  que
por la definición de la espiral
OH1 = k t1
OH2 = k t2
OQ = k t3

y de la telación [*] tesulta que t1 = 1/3 t  y t2 = 2/3 t 

Área encerrada por la espiral de Árquímedes 

Aquímedes calculó, utilizando el método de exhaución para calcular el área que encierra el radio vector de la espiral en su primera revolución. llegando al resultado que dice

"El área barrida por la espiral de Arquímedes en una vuelta es igual a 1/3 del área del cículo que la encierra

Una demostración con todo detalle puede verse aquí


 http://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Pappus/Bookiv/Pappus.iv.21-25/Pappus.iv.21_25.html


La espiral de Arquímedes y los números primos 

Una curiosoidad es la relación que existe netre la espiral de Arquímedes y la distibución de los números primos. (Espilral de Ulam)

http://youtu.be/pnYkK6PqUro

http://demonstrations.wolfram.com/SpiralOfPrimes/

La trisección del ángulo utilizando una tira de papel (Arquímedes)

Hace más dos mil años, los geómetras griegos se propusieron el problema de la trisección de un ángulo dado utilizando exclusivamente la regla y el compás. Este problema estuvo vivo hasta que en el siglo XIX, gracias a la teoría de ecuaciones algebraicas, se logró demostrar que ésta era una construcción imposible.

Que la trisección del ángulo no sea posible hacerla sólo con regla y compás, no quiere decir que no pueda hacerse utilizando otras herramientas tan simples como una tira de papel.

Veamos cómo se hace en el siguiente vídeo:

 

TRISECCION DEL ANGULO from angel on Vimeo.

[Fuente: Heinrich Dörrie. 100 Great Problems of elementary Mathematics their history and solution. Ed. Dover. N. Y. 1958]

Este método de efectuar la trisección de unángulo se le atribuye a Arquímedes Aquí puedes ampñiar la costrucción y ver un applet de geometría dinámica

http://apolonio.es/guirnalda/la-triseccion-del-angulo-de-arquimedes/

En esta  entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS puedes ver otro método de hacer la trisección de un ángulo

• Trisección de un ángulo usando un instrumento de cartulina
• Trisección de un ángulo. Método de Hipócrates

Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

• La didáctica de la geometría clásica. Parte 1 la Caja de herramientas