Problemas para pensar

PROBLEMA DE LOS TRENES DEL PACÍFICO

Por la vía férrea del Pacífico, que une Nueva York con San Francisco, circulan los trenes directos entre las dos ciudades, que salen de una y de otra todos los días a las siete de la mañana y emplean siete días en el trayecto. Se pregunta: ¿El tren directo que sale de Nueva York con cuántos trenes directos se cruzará en su camino?


Fuente: "Ciencia recreativa" J. Estalella"

PROBLEMA DE LOS CILINDROS

La profesora reparte a sus alumnos una hoja de papel para que hagan un cilindro y calculen su volumen.

Alex lo hace así (enrollando sobre el lado corto):    


Berta lo hace así (enrollando sobre el lado largo): 

 
¿Tienen volúmenes iguales ambos cilindros?  Si no es así, ¿cuál es el de mayor volumen?


PROBLEMA DEL AVIÓN DE RECONOCIMIENTO

Un avión de reconocimiento vuela a 20.000 metros de altura. a) ¿Qué área de la superficie terrestre es capaz de observar? El radio de la Tierra es 6.371 km.

b) Generaliza el problema  para un observador que se halla a una altura h sobre la superficie terrestre.

c) Aplica la fórmula obtenida para los siguientes casos: 1) La Estación Espacial Internacional que está a 418 km. 2) Los satélites de la red GPS que están a 22.000 km. 3) Los satélites geoestacionarios que están a 35.787 km. Haz una gráfica.


https://docs.google.com/document/d/1CNhZ3JP8kINrIegSlvczpejrIMmHWUN_v-scGY_ztnk/edit?usp=sharing


SOLUCIONES

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSdWJZbm5YcHk0dlU/view?usp=sharing

Problemas para pensar en vacaciones1

(Nivel elemental)

La hucha

Mi abuela es muy ahorradora. Tiene dos huchas: una blanca y otra rosa. Cada vez que mete 2 euros en la hucha blanca, mete 5 euros en la hucha rosa. Cuando abrió la hucha blanca tenía 300 euros. ¿Cuánto tendrá la hucha rosa?

(Nivel intermedio)

Las siguientes escaleras de 3 y 4 pisos  están formadas por  6 y 10 ladrillos respectivamente. ¿Cuántos ladrillos utilizará una escalera de 6 pisos? , ¿y de 10 pisos?,  ¿y de 50 pisos? ... ¿y de n pisos?

(Nivel avanzado)

Este un ejercio abierto para investigar y matematizar

Haz estas operaciones con la calculadora:


9 * 6 =                                  6 * 9 =
9 * 66 =                                6 * 99 =
9 * 666 =                              6 * 999 =
9 * 6666 =                            6 * 9999 =

Observa que el resultado es el mismo cuando mueltiplicamos 6 por un número formado n nueves que cuando multiplicamos 9 por un número formado por n seises. Además, observamos que todos los resultados de los productos comienzan por 5 y terminan en 4.

Justificar estas afirmaciones

¿Se puede generalizar a otros números distintos de 6 y de 9?

[Fuentes: " 100 problemas matemáticos" de Germán Bernabeu Soria y "Uso de la calculadora en el aula" de Ángel Álvarez Álvarez]

Desafío matemático 3. El problema del matemático borrachín

Este problema está adaptado de uno que aparece en el excelennte libro de problemas de matemáticas: "El país de las mates. 100 problemas de ingenio", de Miquel Capó Dolz.

PRIMERA PARTE ¿Cuánto hay que pagar por media copa?

Un matemático borrchín entra en un bar de copas y le pregunta al camarero:

-- ¿Cuánto cuesta una copa?
-- 8 euros, señor.
-- No dispongo de ese dinero. Así que lléname la copa sólo hasta la mitad.

El camarero muy diligente le llenó la copa (que tenía forma de cono) hasta la mitad de la altura.
El matemático borrachín se la bebió de un trago. Y se dirigió al camerero.
-- ¿Cuánto te debo?
-- Si una copa son 8 euros, y yo le he servido media copa, entonces me debe 4 euros.
-- De ninguna manera. Eso no es lo justo. Yo te pagaré sólamente lo que me corresponde en función de lo que me he bebido.

¿Puedes ayudar al matemático borrachín a explicarle al camarero cuál es la cantidad que debe pagar?



SEGUNDA PARTE ¿Cuánto hay que llenar pora tomar media copa?

Una situación muy parecida a la anterior. En esta ocasión el matemático borrachín vuelve a entrar en el bar y enseñádole 4 euros al camarero le dice.

-- Hoy puedo pagarme media copa. Dispongo de 4 euros. Así que llename la copa.
-- Vaya lío. Espere que voy a por una calculadora y una regla.

¿Podrías decirle al camarero qué proporción de la altura total de la copa debe llenar para que el matemático borrachín quede satisfecho?

Desafío matemático 2. Justificar un truco de cálculo mental

Seguimos con los desafíos matemáticos que consisten en hacer demostraciones. El desafío es demostrar el siguiente truco para elevar al cuadrado un número acabado en "5".

Cogemos el número formado por las primeras cifras, las que van delante del "5". Lo multiplicamos por su siguiente. Al resultado le colocamos detrás un "25".

Ejemplos:

25 · 25 = 625     (2 · 3 = 6)
35 · 35 = 1225   (3 · 4 = 12)
45 · 45 = 2025   (4 · 5 = 20)
55 · 55 = 3025   (5 · 6 =30)
65 · 65 = 4225   (6 · 7 = 42)
75 · 75 = 5625   (7 · 8 = 56)
85 · 85 = 7225   (8 · 9 =72)
95 · 95 = 9025    (9 · 10 = 90)
115 · 115 = 13225   (11 ·12 = 132)


PISTA. Un número  N  acabado en 5, se puede escribir de la forma   N = 10 · D + 5
Donde D es el número entero de decenas.

Desafío matemático 1. Demostrar que un ángulo es de 60º

Por si alguien se aburre, presentamos un DESAFÍO MATEMÁTICO.

El desafío consiste en hacer una demostración de geometría clásica.
"Demostrar" y "Geometría clásica" esas grandes olvidades de los planes de estudios.

El problema que se propone está inspirado en un artículo del libro de Brian Bolt "Aún más actividades matemáticas de la Editorial Labor

Las matemáticas no dan más que problemas. Unos problemillas para pensar en el puente

1. LOS NÚMEROS PRIMOS SON INFINITOS, PERO ...


Alumno: entonces, ¿los primos son infinitos?

Maestro: Así es, ya lo demostró Euclides  hace muchísimos años.

Alumno: Entonces, ¿es imposible saber cuántos primos hay terminados en 1, cuántos terminados en 3, cuántos terminados en 7 y cuántos terminados en 9?

Maestro: Así es, pero sin embargo, te puedo decir cuál es último dígito del producto de todos los primos que existen...

Alumno: ?


2. LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

Un problema que trajo de cabeza a los griegos fue el de la Cuadratura del circulo. El problema consistia en dado circulo, construir, utilizando sólo la regla y el compás, un cuadrado de su misma área.
Pasados dos mil años, en el el siglo XVIII, se demostró que es imposible hacerlo.

Viendo el dibujo siguente, en el que un circulo, de radio R, rueda sobre su circunferencia, calcula el área del cuadrado. [Puedes utilizar que la longitud de una circunferencia es longitud = 2 * pi * radio

[Fuente: "Proofs without words". Roger. B Nelsen]

Desafío de Matemáticas de la semana pasada en El País

EL PAÍS durante 30 semanas publica un problema en coordinación con la Real Sociedad Matemática Española, que en 2011 cumple 100 años.

El cuarto desafío nos ha parecido especialmente ilustrativo de un modo de razonar muy matemático. Es un razonamiento para demostrar la existencia de una manera no constructiva. El problema que se plantea es muy interesante: podríamos decir que es como el teorema del valor intermedio para un caso discreto. Además, otro atractivo del problema es que está muy bien explicado por Elisa Lorenzo García, estudiante de doctorado de la Universidad Politécnica de Cataluña.

Problema planteado:



Solución del problema:




Esta semana el desafío matemático es este

Problemilla para el fin de semana (4)

Nivel A

Nivel B

Cayo y Sempronio se fueron a comer juntos. Cayo aportó 7 panes y Sempronio 8. Llegó Tito inesperadamente y entre los tres compartieron la comida en partes iguales de 5 panes cada uno. Al terminar, Tito pagó 30 monedas. ¿Cómo se las deben repartir Cayo y Sempronio?

(Este problema es del tiempo del emperador Justiniano)

Problemilla para el fin de semana (3)

Nivel A



Nivel B

Problemilla para el fin de semana (2)

Nivel A

Nivel B

Un problemilla para el fin de semana (1)

Nos proponemos presentar todos los fines de semana dos problemillas de matemáticas para pesar Distinguimos dos niveles.

Nivel A



Nivel B