Puzzles Pitagóricos

Un puzzle pitagórico es la descomposición de un cuadrado en piezas, que debidamente reordenadas se convierten en dos cuadrados.

En estos puzzles el cuadrado grande se corresponde con el cuadrado de la hipotenusa y los otros dos cuadrados se correspondem con los cuadrados de los catetos.

El caso puzzle pitagórico más famoso es el TANGRAM 


Otros puzzles pitagóricos:  

 

 http://personales.unican.es/alvareze/LabMatematicas/pitagoras/index.htm


http://www.iessandoval.net/sandoval/aplica/activi_mate/actividades/pitagoras/marco_pitagoras4.htm

Comprobación del Teorema de Pitágoras con un cartón y gomas. (Una idea de Loenardo Da Vinci)

La demostración del Teorema de Pitágorada ideada por Leonardo Da Vinci, se puede visualizar muy bien utilizando unas piezas de cartón-pluma unidas por unas gomas elásticas, como se muestra en el vídeo.

Para ampliar:

Diversas demostraciones del Teorema de Pitágoras

Comprobación del Teorema de Pitágotas usando una balanza. (La idea es de Galileo)

Ya en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS hemos dedicado varias entradas a demostraciones diversas del Teorena de Pitágoras.

• Teorema de Pitágoras
• Demostración de los teoremas métricos del triángulo rectángulo  

La idea de esta demostración que presentamos ahora la hemos tomado de Galileo.

El gran sabio de Pisa para de demostrar que dos figuras tenían el mismo área, lo que hacía era comprobar que sus modelos hechos con el mismo material equilibraban una balanza.

En nuestro caso partimos de un triángulo rectángulo.
Hemos hecho en madrera los cuadrados contruidos sobre la hipotenusa y sobre los catetos.

Después, hemos pesado en un brazo de la balanza el cuadrado de la hipotenusa y en el otro lado los cuadrados de los catetos,
Comprobamos que la balanza queda equilibrada.
De este modo resulta que

(a²) = (b² + c²)

La construcción de la balanza es sencilla y se han utulizado materiales de carpinteria muy asequibles. Esta balanza nos va a ser una herramienta muy útil para otros muchos experimentos.

 

¿Cómo debe ser la enseñanza de las Matemáticas en sociedades innovadoras?

Critical Math for Innovative Societies

Este informe, elaborado por la OCDE, reflexiona sobre cómo debe ser la enseñanaza de las Matemáticas en sociedades innovadoras.
La idea fundamental es ahondar en la teoría del Problem Solving, poniendo el acento en las pedagogías basadas en el fomento de la metacognición. En el texto aparece destacado el concepto de Problemas CUN = Complex, Unfamiliar, Non-routine problems. En definitiva, vuelve a aparecer la idea de que en la enseñanza de las matemáticas el método, el cómo, el esencial.

¿Cómo puede la educación matemática fomentar habilidades que sean apropiados para las sociedades innovadoras? La educación matemática ocupa un lugar destacado en los planes de estudio en todo el mundo, sin embargo, todavía se considera que es una piedra de tropiezo para muchos estudiantes. Si bien existe casi un consenso de que las matemáticas apropiados para el siglo xxi debe ser complejas, desconocida y no rutinarias (CUN), la mayoría de los libros de texto aún son principalmente problemas rutinarios basados ​​en la aplicación de algoritmos ya hechas.Ha llegado el momento de introducir métodos de enseñanza innovadores con el fin de mejorar la educación matemática y la capacidad de los estudiantes para resolver tareas CUN. Pedagogías metacognitivas pueden jugar un papel clave en esto. Estas pedagogías entrenan de forma explícita a los estudiantes a "pensar en su pensamiento" durante el aprendizaje. Pueden ser utilizados para mejorar no sólo el rendimiento académico (conocimiento del contenido y la comprensión, la capacidad de manejar los problemas no familiares, etc.), sino también resultados afectivos como la reducción de la ansiedad o la mejora de la motivación. Esta fuerte relación entre los resultados metacognición y escolaridad tiene implicaciones para la comunidad educativa y los responsables políticos.Este libro está diseñado para ayudar a los profesionales, diseñadores de currículos y los responsables políticos por igual en la preparación de los estudiantes de hoy para worl de mañana

http://www.keepeek.com/Digital-Asset-Management/oecd/education/critical-maths-for-innovative-societies_9789264223561-en 

Miguel de Guzmán. Una conferencia sobre la enseñanza de las Matemáticas

K
He tenido la gran suerte de haber sido alumno de Miguel de Guzmán. He disfrutado de tres de sus cursos universitarios de licenciatura (Seminario de Análisis, Análisis II y Ecuaciones deferenciales en derivadas parciales). He asistido a muchas de sus conferencias. He leído sus libros. He recibido sus consejos como director de departamento, cuando yo fui PNN. Miguel de Guzmán es auténtico maestro que deja huella imborrable.

Recuerdo que Miguel de Guzmán era un profesor distinto. Cuando entramos en primero de carrera nos dio la asignatura "Seminario de Análisis". Me sorprendió porque desde el primer día de curso conocía mi nombre y se había interesado por saber que yo era premio de la Olimpiada matemática. Después de las clases se paraba a hablar con nosotros e interesarse por nuestra opinión de las clases y de otras cosas. De  hecho al final de curso quedamos los compañeros de clase para cenar  en una modestisima tasca de Argüelles, y él vino con su mujer. Desde el primer día nos dijo que en los exámenes nos dejaría utilizar los apuntes de clases y las notas que hubiésemos elaborado personalmente. Durante los exámenes las ojeaba, y se hacía una idea de la manera de trabajar de sus alumnos. Siempre nos daba la bibliografía que debíamo consultar para cada tema. Como detalle que le caracterizaba su forma de enseñar, nos suscribió a todos al "American Mathematical Monthly". A diferencia de otros profesores, en la pizarra se formulaba preguntas e intentaba responderlas usando matemáticas. Sabía esperar las aportaciones de los alumnos y las matizaba o desarrollaba. Muchas veces iniciaba caminos equivocados y retrocedía para intentarlo de nuevo. En esto era completamente diferente a las calses "bourbakistas" que esataban de moda en aquel entonces. Otra carácterística que hacía especial a Miguel de Guzmán era su gran cultura, que manejaba con gran humildad y sentido del humor. En las discusiones, en las juntas de facultad o reuniones de departamento, siempre era capaz de hallar una referncia histórica, una cita sabia, o una anéctdota que clarificaba la cuestión o abría un nuevo punto de vissta.

Aquí os dejo una de sus conferencias dadas a proferores de Matemáticas sobre cómo él concebía que debía ser la enseñanza de las matemáticas.

Una reflexión escrita de Miguel de Guzmán sobre Educación matemática

TENDENCIAS INNOVADORAS EN EDUCACIÓN MATEMÄTICA

Ver también en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS:

Homenaje a Miguel de Guzmán

Como muestra de la capacidad de Miguel de Guzmán para enseñar Matemáticas traigo estos "Experimentos de Geometría" que muestran muy bien la manera de enseñar Matemáticas de Miguel de Guzmán.

   experimentos de geometria by chicunha

Para conocer mejor a Miguel de Guzmán

UN LEGADO DE FE
(Publicado  por su viuda póstumamente)

El valor heuristico de los ejercicios de San Ignacio de Loyola

OBRAS DE MIGUEL DE GUZMAN
https://documat.unirioja.es/servlet/autor?codigo=20477

El legado de Miguel de Guzmán
Homenaje a Miguel de Guzmán de la RSME
Miguel de Guzmán. In memoriam
Miguel de Guzmán. El último Pitagórico


Algunos libros de Miguel de Guzmán
Artículos sobre enseañnza de las Matemáticas
La enseñanza de las Matemáticas
Jornada en el Congreso sobre Educación Matemática



Libros
La experiencia de descubrir en Geometría 
Aventuras Matemáticas
La enseñanza de las Ciencias y la Matemática
Para pensar mejor
El rincón de la pizarra 
Los matemáticos no son gente seria
Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas
Mirar y ver
Problemas, conceptos y métodos de Análisis matemático
Integración. Teoría y técnicas
Problemas de EDO
Cuentas con cuentos 
Estrucuras fractales y sus aplicaciones 
Libros de texto de secundaria
Artículos científicos

La historia de los monos y las bananas

Fuente de la imagen: http://www.taringa.net/posts/offtopic/16047636/Aprende-que-es-y-como-nace-un-paradigma.html


Leyendo el libro de Adrian Paenza, "Matemáticas estás ahí" me he encontrado con esta historia muy sugerente para iniciar una reflexión de por qué hacemos las cosas tal cómo las hacemos.
Disdfrutad de esta historia!!!

Sobre la conducta de los monos

Por Adrián Paenza

Suponga que uno tiene seis monos en una pieza. Del cielo raso, cuelga un “cacho” de bananas. Justo debajo de él hay una escalera (como la de un pintor o un carpintero). No hace falta que pase mucho tiempo para que uno de los monos suba las escaleras hacia las bananas.

Y ahí comienza el experimento: en el mismo momento en que toca la escalera, todos los monos son rociados con agua helada. Naturalmente, eso detiene al mono.

Luego de un rato, o bien el mismo mono o alguno de los otros hace otro intento con el mismo resultado: todos los monos son rociados con el agua helada a poco que uno de ellos toque la escalera. Cuando este proceso se repite un par de veces más, los monos ya están advertidos. No bien alguno de ellos quiere intentarlo, los otros tratan de evitarlo, y terminan a los golpes si es necesario.

Una vez que llegamos a este estadío, retiramos uno de los monos de la pieza, y lo sustituimos por uno nuevo (que obviamente no participó del experimento hasta aquí). El nuevo mono ve las bananas e inmediatamente trata de subir por las escaleras. Para su horror, todos los otros monos lo atacan. Y obviamente se lo impiden. Luego de un par de intentos más, el nuevo mono ya aprendió: si intenta subir por las escaleras, lo van a golpear sin piedad.

Luego, se repite el procedimiento: se retira un segundo mono y se incluye uno nuevo otra vez. El recién llegado va hacia las escaleras y el proceso se repite: no bien la toca (la escalera), es atacado masivamente. No sólo eso: el mono que había entrado justo antes que él (¡que nunca había experimentado el agua helada!) participaba del episodio de violencia con gran entusiasmo.

Un tercer mono es reemplazado y no bien intenta subir las escaleras, los otros cinco lo golpean, impidiéndoselo. Con todo, dos de los monos que lo golpean no tienen ni idea del porqué uno no puede subir las escaleras.

Se reemplaza un cuarto mono, luego el quinto y por último, el sexto, que a esta altura es el único que quedaba del grupo original. Al sacar a éste, ya no queda ninguno que haya experimentado el episodio del agua helada. Sin embargo, una vez que el último lo intenta un par de veces, y es golpeado furiosamente por los otros cinco, ahora queda establecida la regla: no se puede subir por las escaleras. Quien lo hace se expone a una represión brutal. Sólo que ahora ninguno de los seis tiene argumentos para sostener tal barbarie.

Cualquier similitud con la realidad de los humanos, no es pura coincidencia ni casualidad. Es que así somos: como monos.

Esta historia me la contó mi sobrina Lorena, cuando todavía no se había graduado de bióloga en la UBA ni se había casado con Ignacio Demarco, otro biólogo. Pero siempre me impactó por todo lo que implica en cuanto se trata de explicar la conducta de los humanos (la fuente es De banaan wordt bespreekbaar, de Tom Pauka y Rein Zunderdorp, Nijgh en van Ditmar, 1988).

 Esta es la versión en un vídeo

https://youtu.be/rOPG-UXP1qY 






¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión?

¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión? Tengo ejemplos anecdóticos para ilustrar esta idea,

Por ejemplo, ¿por qué en los libros de texto se usa "sen" para indicar el seno y no "sin", del latín sinus? Es raro hacerlo así porque "sin" es la notación usada por los clásicos y es la señalada por normas internacionale. ¿Por qué algunos profesores son reacios a enseñar el método de Gauss (el príncipe de las Matemáticas) para resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales?

Otras preguntas de más calado se pueden hacer en referencia a la enseñanza de las matemáticas¿Cuáles se te ocurren?....