Demostraciones sin palabras: "La media geométrica de dos números es menor o igual que la media aritmética"

Teorema: 

La media geométrica de dos números positivos siempre es menor o igual que la media aritmética. Sólo es igual cuando ambos números son iguales.

Recordar el Teorema de la altura: aquí

Recordar:
- Los triángulos inscritos en una semicircunferencia son rectángulos.
- La altura de un triángulo rectángulo es la media geométrica de las ptoyecciones de los catetos (teorema de la altura)

Problemas para pensar en vacaciones1

(Nivel elemental)

La hucha

Mi abuela es muy ahorradora. Tiene dos huchas: una blanca y otra rosa. Cada vez que mete 2 euros en la hucha blanca, mete 5 euros en la hucha rosa. Cuando abrió la hucha blanca tenía 300 euros. ¿Cuánto tendrá la hucha rosa?

(Nivel intermedio)

Las siguientes escaleras de 3 y 4 pisos  están formadas por  6 y 10 ladrillos respectivamente. ¿Cuántos ladrillos utilizará una escalera de 6 pisos? , ¿y de 10 pisos?,  ¿y de 50 pisos? ... ¿y de n pisos?

(Nivel avanzado)

Este un ejercio abierto para investigar y matematizar

Haz estas operaciones con la calculadora:


9 * 6 =                                  6 * 9 =
9 * 66 =                                6 * 99 =
9 * 666 =                              6 * 999 =
9 * 6666 =                            6 * 9999 =

Observa que el resultado es el mismo cuando mueltiplicamos 6 por un número formado n nueves que cuando multiplicamos 9 por un número formado por n seises. Además, observamos que todos los resultados de los productos comienzan por 5 y terminan en 4.

Justificar estas afirmaciones

¿Se puede generalizar a otros números distintos de 6 y de 9?

[Fuentes: " 100 problemas matemáticos" de Germán Bernabeu Soria y "Uso de la calculadora en el aula" de Ángel Álvarez Álvarez]

Desafíos de la Educación y la cultura científica (Alejandro Tiana)

Desafíos de la Educación y la cultura científica

Lecciones activas de matemáticas: "Vectores en el plano"

Comezamos --con esta-- una serie de materiales destinados a los alumnos de Secundaria. Pretendemos que sean prácticos y sirvan para cubrir los contenidos de los programas oficiales.

La idea de estas "lecciones activas" es ofrecer unos cuadernos de actividades para que los alumnos puedan estudiar de manera casi autónoma o, mejor, en pequeños grupos de trabajo cooperativo, con la ayuda de un monitor y unas explicaciones generales del profesor.

La metodología empleada es la del prendizaje activo basado en la resolución de problemas.

Se agradecen sugerencias para mejorra estos materiales. 

Vectores en El Plano by Ángel de la Llave

Feliz día de PI

Hoy es14 de marzo. (3-14 en la notación anglosajona). Hoy celebramos el día de PI.

Demostrar los teorema del seno y del coseno

"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces"
Baltasar Gracián


Ya hemos dedicado varias entradas en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS para subrayar lo importante que son las demostraciones en la formación matemática. Ver los enlaces al final de esta entrada.

De manera provisional pongo aquí unos vídeos de escasa calidad con las demostración de los teoremas del seno y del coseno. Estos vídeos los grabé para mis alumnos del curso pasado. Hoy las coloco aquí para animar a mis alumnos de este curso a mejorarlos. 

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO




DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO




Aprovecho la ocasión para recomendar encarecidamente, que para aprender un teorema de geometría no se memoricen las fórmulas usando letras. Las letras pueden variar de un problema a otro. Es mucho mejor memorizar (y entender) el significado.

Teorema del seno 

• Vale para cualquier triángulo. 

• Establece una relación entre los lados de un triángulo y los senos de sus ángulos opuestos.

• Está indicado cuando se conoce un lado y su águlo opuesto (caso ALA).

"En un triángulo cualquier, la razón entre los lados y el seno de su ángulo opuesto es constante."

Teorema del coseno

•  Vale para cualquier triángulo. 

• Permite calcular un lado conocidos los otros dos y el ángulo opuesto. O visto de otra manera, permite calcular el ángulo conocidos los lados del triángulo.

• Está indicado cuando se conocen los tres lados (caso LLL) y cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido (caso LAL).

"El cuadrado de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo opuesto."









En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS:

• Demostración de los teoremas métricos del triángulo rectángulo (tma de la altura y Tma. del cateto)

• Demostración del teorema de Pitágoras
• Didáctica de la geometría. Caja de herramientas de las demostraciones

•  Teorema de Pitágoras 
• Un texto de geometría sin figuras ni fórmulas
  

• La suma de los tres ángulos de un triángulo es un llano
• Esfera + cono = cilindro 
• Construir una circunferencia goniométrica doblando papel
• Las matemáticas de las cosas que se mueven. La cicloide
• Volumen del cono y de la pirámide
• Calcular pi pesando
• Goniómetro de campo. Aplica,os la trigonometría
• Volumen del tetraedro
• Empaquetamiento óptimo de círculos
• Probabilidad geométrica. Calcular PI con arroz y palillos 
• Las apariencias engañan
• Compás aureo