En esta entrada vamos a exponer una manera manipulativa de demostrar el siguiente resultado
Si una recta tiene de pendiente m, entonces su recta perpendicular tiene por pendiente -1/m (el opuesto del inverso).
Por ejemplo, si una recta tiene de pendiente 1/3, su recta perpendicular tiene de pendiente -3.
Para hacer esto evidente, basta coger dos rectángulos iguales, de lados 1 y m. Luego, tal como se ve en la foto, se dibuja la diagonal en ambos rectángulos. Estas diagonales las señalamos como las rectas r y s, respectivamente.
Colocando adecuadamente los rectágulos resulta evidente la relación antes enunciada entre las pendientes de dos rectas perpendiculares.
En efecto,
- La pendiente de la recta r es m/1= m
- La pendiente de la recta s es -1/m
Esta entrada está hecha en base a los diseños de Borja González Lorente. Él es el autor del método de construcción, la construcción en sí misma y del vídeo. Gracias Borja.
Los cinco poliedros regulares están llenos de belleza y curiosidades. En esta entrada os invitamos a admirar elICOSAEDRO.
Para construir un icosaedro empezamos por recortar en cartón-pluma tres rectángulos cuyos lados están en la razón áurea. Por ejemplo, 10 cm por 16,2 cm. Luego hay que ensamblarlos formando un triedro rectrángulo. Una manera de construir el triedro es dando unos cortes a los rectángulos como se puede ver en la figura, para que encajen unos con otros. De esta manera se encajan unos con otros. El resultado se puede ver en la foto de más abajo. Esto lo considero muy ingenioso, pues no hace falta usar pegamento alguno. La construcción se completa con un hilo que va pasando por los vértices.
El objetivo de esta entrada es invitar al los profesores y a los autores de los libros de texto de matemáticas de bachillerato a recuperar la notación de los incrementos y de los infinitésimos. Una notación que debemos a Leibnitz.
Esta notación, creo, que facilita hacer las demostraciones de las reglas de derivación, ayuda a comprender las fórmulas de la física. Estando familiarizado con esta notación incluso se podrían plantear ecuaciones diferenciales elementales a los alumnos de secundaria más aventajados.
Para colaborar a este fin he redactado una notas elementales que puedan servir de apoyo a profesores y alumnos.
Si colocamos en una tabla cuadrada la frase latina "SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS" la misma frase se puede lleer del dereclo del revés, de arriba a abajo y de abajo arriba, de dercha a izquierda y de izquierda a derechhas.
Para saber más cosas, algunas muy curiosas, sobre este enigmático cuadro VER AQUÏ
Hoy traigo a APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS un conocido juego de adivinación basado en el sistema de numeración binario.
El juego consiste en presentar al jugador un conjunto de cinco fichas. Se le invita al jugador a que piense un número secreto del 1 al 31, por ejemplo una fecha de cumpleaños. Luego se le pide que indique las fichas en las que aparece el número que ha pensado. A la vista de las fichas seleccionadas, el mago inmediatamente averigua el número secreto. ¿Cómo?
Con chicos pequeños puede ser un entretenimiento divertido. Con muchachos un poco más mayores, puede servir, además, para introducir el sistema de numeración binario y algo de combinatoria si se tercia.
A continuación os dejo un documento con las fichas (que podéis recortar), y la explicación del juego.
Que os divirtáis.
Llevo muchos años planteando a mis alumnos de ESO y Bachilleraro el clásico problema del matemático borracho. Nunca obtuve la respuesta correcta. Por eso me he decidido a hacer un vídeo que demuestre la solución también experimentalmente.
PROBLEMA DEL MATEMÁTICO BORRACHO
El profesor se presenta ante los alumnos de la clase con una copa de cóctel en la mano, como la de la imagen, y cuenta la siguiente historia:
Había una vez un matemático borracho (que no era yo) que salíó un día de fiesta. Entró en un bar de copas donde ofrecían: "COPA LLENA DE CÓCTEL POR 8 EUROS".
El matemático, que se moría de ganas de beber, pero no llevaba suficiente dinero, le dice al camarero de la barra.
- Quiero beber, pero no me puedo pagar una copa entera, así que, por favor, llénamela hasta la mitad.
El camarero lo hace, llenando la copa hasta una altura igual a la mitad de la altura de la copa completa.
El matemático se bebe su media copa tan contento. A la hora de ir a pagar el camarero le dice:
- Como te llené media copa, me debes 4 euros.
El matemático replica,
- Eso no es justo, ya que la mitad de arriba admite más líquido que la mitad de abajo. Debo de pagar menos.
La pregunta es: ¿QUÉ CANTIDAD DEBE PAGAR, EN JUSTICIA; EL MATEMÁTICO BORRACHO?
Lo normal es que los alumnos digan cosas como 3 euros, 2 euros y medio, 2 euros, ....
Todos se sorprenden mucho cuando les digo que la respuesta correcta es tan solo1 euro.
Hay veces, según el interés que hayan puesto los alumnos en resolver el problema, que les planteo en la pizarra: ¿Qué es lo que pasa al volumen de un cubo cuando le duplico las longitudes de sus dimensiones?
En el dibujo vemos que, si las longitudes de un cubo se duplican, el volumen del nuevo cubo queda multiplicado por 8. En general, en un cuerpo geométrico, si las longitudes se multiplican por una constante k, el volumen se multiplica por k^3.
Los alumnos más avispados, después de esta explicación, deducen que lo correcto es que el matemático borracho pague sólo 1 euro. Ya que si las longitudes de la copa se reducen a la mitad, entonces el volumen se reduce a la octava parte.
No obstante, no acaban de creérselo. Por eso es necesaria una evidencia experimental.
VÍDEO
En este vídeo se comprueba experimentalmente que para llenar una copa completa, son necesarias 8 medias copas
REFLEXIONES POSTERIORES
Este razonamiento geométrico tiene implicaciones en la biología. Es muy interesante el planteamiento de la cuestión que hace Galileo en los Discorsi.
¿Puede existir un animal tan grande como se quiera?
Si el volumen de un animal y, por tanto su peso, crecen según el cubo de sus dimensiones y las secciones de los huesos crecen según su cuadrado, entonces llegará un momento en que los huesos no puedan soportar la presión del peso del animal según va aumentando su tamaño. Galileo se dio cuenta que los huesos deberían ir ensanchandose, como se ve en el dibujo.
¿Qué pasa si el animal en cuestión es un pez que está sumergido en el agua y sufre el empuje del Principio de Arquímedes?
También, si quedan ganas se puede hablar del cñasico problema de la duplicación del cubo.
