Evolvente y evoluta

Una de los temas más bonitos de la geometría es el estudio de las curvas mecánicas

Aquí os presento un vídeo que he preparado para explicar los conceptos de evolvente y evoluta 

CONGRUENCIAS. Grafos de las potencias de 10 módulo (p)

 Hace unos días vi este vídeo en Aurea Academy 

https://youtube.com/shorts/ZVqI6D5k8kQ?si=Vfo0Z5SqZnCdFW_L

Me pareció muy curioso. Ya hemos dedicado en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS una entrada al estudio de TÉCNICAS PARA ENUNCIAR CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Así que este material es un complemento muy bueno. 

¿Cuál es el resto, r,  de dividir el número  N ="abcd", en base 10, al dividirlo por el número p?

Para saberlo necesitamos un grafo y una ficha de madera que podemos mover por él. 

Veamos este vídeo explicativo

 

* Elegimos el grafo correspondiente del número p.

(El grafo correspondiente al número p está construido de la siguiente manera: Sobre una circunferencia se colocan los posibles restos de dividir por p (los números 0, 1, ..., p-1). Es decir, se escriben las congruencias módulo p. Para hallar la congruencia de un número a se tiene que colocar la ficha en la posición del número 0 y avanzarlo a puestos.  Para realizar el grafo hay que añadir unas flechas rojas. Desde cada resto se dibuja una flecha que le une con la congruencia que resulta de multiplicar por 10 al numero que está en la circunferencia. De esta forma mover la ficha siguiendo la flecha equivale a multiplicar por 10 módulo p.

* Se coloca la ficha en el 0. Se avanza a puestos.

(Con lo cual la ficha quedará situada en número que señala el resto de dividir a por p. Es decir la congruencia de a módulo p)

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

(Con lo cual la ficha se situará en la congruencia con 10·a módulo p) 

* Se avanza la ficha b puestos. 

(Con lo cual la ficha estará en la congruencia de b + a +10·a, módulo p)

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

(Esto equivale a multiplicar por 10. Con lo cual la ficha estará en la congruencia de 10·( b + a +10·a) = 10b+100a, módulo p)

* Se avanza la ficha c puestos. 

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

* Se avanza la ficha c puestos. 

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

* Se avanza la ficha d puestos. Es el resultado r. Si r = 0, significa que N es divisible por p.

(La ficha quedará puesta sobre el resto r que es la congruencia de N = a·1000 + b·100 + c·10 + d )

Aqui puedes encontrar las fichas de los GRAFOS en formato pdf para descargar.

Sumar y multiplicar usando el ábaco de Gerberto de Aurillac

 

Gerberto de Aurillac (945-1003) fue un monje francés. Conoció en el monasterio de Santa María de Ripoll (Girona) las matemáticas árabes. Entre otras cosas el sistema de numeración posicional. Fue un gran estudioso que profundizó en los estudios medievales del Trivium y el Quadrivium. Llegó a ser Papa, con el nombre de Silvestre II. 

En los siguientes vídeos podemos ver cómo se puede utilizar el ábaco de Gerberto de Aurillac para ayudar a la comprensión de los algoritmos de suma y multiplicación. 

SUMAR USANDO EL ÁBACO DE GERBERTO DE AURILLAC

MIULTIPLICAR USANDO EL ÁBACO DE GERBERTO DE AURILLAC

Vamos a hacer la multiplicación 83 x 27. Primero con el siguiente esquema comprendemos bien lo que significa el algoritmo de la multiplicacción

Calculadora CURTA. Cómo usarla

 

Las calculadoras CURTA tienen un amplio club de fans en todo el mundo y hay abundantísima documentación sobre ellas en la web. Incluso su despiece. 

Yo conocí las calculadoras CURTA leyendo a Pedro Puig Adam en su libro "El material didáctico Matemático actual". Pedro Puig Adam en los años 50 pensaba que iba a ser muy positivo que a los estudiantes de matemáticas se les facilitara una herramienta de cálculo para usarla en cualquier momento y así poder hacer y comprobar argumentos numéricos. También pensaba que sería muy positivo en la enseñanza de la aritmética si se ponía la atención los fundamentos de los algoritmos de las operaciones. Estos fundamentos quedarían más claros comprendiendo el uso de las calculadoras mecánicas.

Estuve mucho tiempo deseando tener una calculadora CURTA en mis manos. Por fin encontré una en venta en una visita familiar al mercadillo de Notting Hill, en Londres. Encontré un matemático jubilado (llamado Flechet) que vendía varias cosas personales: instrumentos de dibujo, libros, ..... y una CURTA. Como era cara (700 libras) le dije que sólo se la compraría si funcionaba. Así que le propuse una multiplicación y me la hizo sin  problemas. A pesar de mi admiración yo disimulaba mi entusiasmo con intención de pedir una posible rebaja. El señor Flechet me explicó que era un pobre jubilado al que no le llegaba la pensión y estaba vendiendo, con dolor, sus objetos personales. Me dijo que sólo se los entregaría a alguien que los apreciase y no especulase con ellos. Por ese motivo se había propuesto sólo vendérselos a otro matemático. Yo le dije que era matemático. Él me escribió en un papel una integral inmediata, y me pidió que la hiciese. En cuanto se la hice cerramos el trato. 

• CRURTA Presentación

• CURTA Sumar

• CURTA Restar

• CURTA Multiplicar

• CURTA Dividir

• CURTA Dividir multiplicando

Calculadora con tambor de Odhener. Cómo usarla

 

Aquí os presento esta bellísima calculadora mecánica que compré a un anticuario. Está en perfecto estado. Este modelo lo fabricaba la Mira-Rechenmaschinen-Fabrik de Reichenberg (Bohemia, Alemania). El modelo que vemos en la foto yo creo que se fabricó en los años veinte del siglo XX.

Las calculadoras Mira están basadas  en el mecanismo de molinete diseñado por W.T. Odhner en el año 1873, inspirado a su vez en el aritmómetro. Esta calculadora muestra el bello diseño de los aritmómetros de la época, similar al de las célebres Brunsviga, Thales o Triumphator, entre otras.  

Aritmómetro de Odhener

He hecho unos vídeos caseros mostrándo cómo se usa

• PRESENTACIÓN

• SUMAR

• RESTAR

• MULTIPLICAR

• DIVIDIR

• DIVIDIR MULTIPLICANDO

Aritmómetro. Cómo se usa

 En los años sesenta del siglo XX mi padre compró a un chatarrero una máquina de calcular mecánica, este Aritmómetro, y nos enseño a usarla a mi hermano y a mi. 

El propósito de esta entrada es enseñar a usar esta maravilla de después de 130 años funciona perfectamente. He hecho unos modestos vídeos caseros que espero mejorar.

• HISTORIA

- En 1820 Xavier Thomas de Colomar (1785-1870) patentó el Aritmómetro. La primera máquina de calcular comercial. Posteriormente tuvo varias versiones.

- El Aritmómetro estaba basado en el diseño de la máquina de calcular de Leibniz (1646-1716). 

- La máquina que vamos a utilizar es un modelo desarrollado por  C & E. Layton en Londres.

- La fecha de la construcción de la máquina calculo que es alrededor de 1890, ya que existe una igual en el museo Smithsonian Institution (Museo de. Historia de América) de Washington. 

En el siguiente enlace puedes ver la ficha del objeto, con muchas fotografías y datos históricos

Tate Arithmometer

- Esta es la referencia en la Wkipedia 

Aritmómetro en la Wikipedia

  

- Hay un vídeo muy detallado que explica el funcionamiento del Arithmometer

How Arithmometer work

• PRESENTACIÓN

• SUMAR

• RESTAR

• MULTIPLICAR

• DIVIDIR

• DIVIDIR MULTIPLICANDO