martes, 3 de mayo de 2022

Construcción de una superficie reglada usando palillos y también analíticamente







Las superficies regladas son bellísimas y sorprendentes. Resulta maravilloso que una superficie alabeada esté formada por rectas. 

 Las superficies regladas estructuralmente son muy estables al estar formadas por rectas. Además, son muy fáciles de construir, al utilizarse vigas rectas. Paradójicamente, a pesar de basarse en líneas rectas, las superficies regladas que resultan pueden tener una gran curvatura. 

Se puede construir una preciosa superficie reglada como la de la fotografía usando palillos. Es muy sencillo basta ir pegando palillos sobre una estructura de apoyo formada por dos rectas que se cruzan, tal como explicaremos más adelante. 

Puede verse una explicación de la construcción a la que nos referimos en el portal https://en.etudes.ru/ 

Por cierto, este es un portal muy recomendable que está lleno de ideas matemáticas, desarrolladas mediante aparatos y construcciones visuales y manipulativas. No hay que perdérselo.

Gracias a la notación vectorial la geometría analítica se hace muy sencilla y visual. Para muestra, en el artículo que va a continuación llegaremos a la ecuación analítica de la superficie que hemos formado materialmente.

Leed el documento en PDF en este enlace:




martes, 8 de febrero de 2022

Multiplicar usando una Parábola



Viendo la web del Exploratorium de San Francisco he descubierto un ejemplo muy bonito de matemáticas manipulativas. Se trata de una manera muy sencilla de multiplicar usando la gráfica de una parábola. 

Para multiplicar dos números se unen dos puntos de la gráfica de la parábola y se mira dónde corta la recta con el eje de ordenadas. 

Rápidamente me he puesto manos a la obra para hacerme un prototipo con materiales de andar por casa y buscar una justificación matemática del proceso usando la geometría analítica. Por cierto, la justificación es un buen ejercicio para los alumnos de primero de Bachillerato.

Veamos algunos ejemplos: 

6 por 4 = 24


 


8 por 6 = 48



10 por 5 = 50



JUSTIFICACIÓN 







domingo, 6 de octubre de 2019

Curso de MAXIMA de Javier Arántegui


Maxima es un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas, incluyendo diferenciación, integración, expansión en series de Taylor, transformadas de Laplace, ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices y tensores. Maxima produce resultados de alta precisión usando fracciones exactas, números enteros de precisión arbitraria y números de coma flotante con precisión variable. Adicionalmente puede graficar funciones y datos en dos y tres dimensiones.

Es sofware abierto libre gratuito. Hay versiones para varos sistemas operativs incluyendo teléfonos móviles. 

Una excelente introduccón al MAXIMA son los vídeos de JAVIER ARÁNTEGUI alojados en VIMEO. Ir al canal


0. Instalación y MAXIMA y WxMAXIMA en Windows

1. Introducción a MAXIMA

2. Interface WxMAXIMA

3. MAXIMA como calculadora científica

4. Definición de variables y funciones

5. Resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones 

6. Representación de funciones (1ª parte)

7.  Representación de funciones (2ª parte)

8. Derivadas de una variable

9. Integrales de una variable

10. Límites

11. Transformada de Laplace

12. Resolución de una ecuación diferencial

13. Animaciones (1ª parte)

14. Animaciones (2ª parte)

domingo, 29 de septiembre de 2019

El efecto de añadir un idiota en un comité. (Un ejemplo de matematzación)



 En esta entrada presentamos una sugerente matematización de la situación que se produce cuando se incluye a un idiota en un comité que toma decisiones.  Puede servir para ver cómo las matemáticas ayudan a analizar situaciones cotidianas. Mirar al mundo con ojos matemáticos es muy divertido.

El efecto de añadir un idiota en un comité

Los seres humanos se equivocan, y algunos más que otros. Una manera de aumentar la fiabilidad de las decisiones, aun con gente no infalible, es consultar a varios y tomar el voto de la mayoría. Para simplificar, supongamos que tenemos tres expertos que se equivocan con una probabilidad p (pequeña) y que ponemos un comité en el que se toman las decisiones por mayoría. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité se equivoque?
Claramente el comité se equivoca si el primero acierta y los otros dos se equivocan, si el segundo acierta y los otros dos fallan, si el tercero acierta y los otros dos fallan y si los tres fallan. Poniendo todo esto junto nos da una probabilidad de

3p^2(1 - ­ p) + p^3

que si p es pequeño, la suma es aproximadamente 3p^2 que es más pequeño que p. Es decir, que a base de poner más personas y tomar la mayoría tenemos un resultado mejor que si tuviéramos solo uno.

Supongamos ahora que en el comité de tres personas hay dos expertos y un idiota que no sabe nada y acierta con la misma probabilidad que tirar a cara o cruz, es decir ½. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité falle? Haciendo el mismo análisis que antes vemos que es. (ponemos, por ejemplo al idiota en el primer puesto).

½ p^2 + ½ p(1 - ­ p) + ½ (1 - ­ p)p + ½ p^2 = p^2 + p(1 - ­ p) = p

Un comité de tres personas seleccionado a la ligera con un solo idiota es exactamente tan efectivo como una sola persona correctamente seleccionada.
Se podría pensar que poniendo a un idiota en un comité de tres vamos a tener algo tan efectivo que un comité con dos expertos, pero no es así. La realidad es peor que eso. Meter a un idiota en un comité de tres obtenemos una fiabilidad como si tuviésemos un solo experto. El idiota no sólo ha generado su gasto si no que ha echado a la basura el gasto de otro experto. Esto se puede explicar de una manera intuitiva. El idiota puede dar la mayoría a la decisión equivocada de una persona, y esto pasa la mitad de las veces que una persona se equivoque, con lo cual un comité de tres personas con un idiota es equivalente a una sola persona.
Se puede hacer, ­pero es menos elemental­, el caso del comité de N personas con M  idiotas. Se puede ver que los idiotas aumentan mucho la disfunción de los comités más allá de su peso.

jueves, 26 de septiembre de 2019

Sin más dimensiones no nos moveremos






Este es un artículo publicado en la revista Educar(NOS). nº 88 Ver aquí

SIN MÁS DIMENSIONES NO NOS MOVEREMOS

Ángel de la Llave (M)

En 1884 Edwin Abbott escribió un cuento con el título “Planilandia”. La historia es una fantasía sobre cómo sería un mundo que solamente tuviese dos dimensiones. Todo el cuento es en realidad un pretexto para hacernos reflexionar sobre lo que limita nuestra mente el considerar una cantidad escasa de dimensiones.

Siguiendo el cuento, os invito a pensar qué pasaría en un mundo unidimensional. Imaginad un grupo de hormigas que viviesen a lo largo de un estrecho tubo. Para estos pobres insectos unidimensionales un simple punto sería una frontera infranqueable. Sin embargo, estas mismas hormigas, bloqueadas por un puntito, salvarían el obstáculo fácilmente si dispusiesen de una segunda dimensión en la que moverse.

Además, a estas hormigas vivir en un tubo les crearía graves problemas de apreciación. Al carecer de perspectiva, pueden creer que avanzan por el simple hecho de andar hacia adelante. Pero esto no deja de ser más que una falsa impresión. En la realidad, mientras las hormigas creen que avanzan puede que estén retrocediendo, si la línea por la que marchan se dobla sobre sí misma, como le ocurre a una circunferencia.

Para terminar con estas metáforas sobre las dimensiones, veamos otro ejemplo más: Pensad ahora en unas hormigas que solo pudiesen moverse en una superficie de dos dimensiones. Para estos pobres animalillos planos todas las figuras – los círculos, los triángulos, los cuadrados... – serían vistas como iguales. Todas ellas, al mirarlas sin perspectiva, serían simples segmentos. Solamente cuando se miran las figuras desde una tercera dimensión se descubren en su auténtica forma. En el quehacer de la Escuela muchas veces nos topamos con callejones sin salida, contradicciones y problemas aparentemente irresolubles. Pero, todas estas dificultades se ponen en camino de superación si somos capaces de mirarlas con nuevas dimensiones.

Las nuevas dimensiones son los grandes conceptos en Educación. Esas ideas simples que iluminan y mueven a la acción. Al mirar la escuela desde nuevas dimensiones se hace la luz y se nos abren nuevos caminos por donde movernos. Por eso, es una gran alegría cuando encontramos personas o descubrimos lecturas que nos señalan dimensiones nuevas desde las que asomarnos al mundo. Cando nos creíamos profesores que enseñábamos a los alumnos, el fracaso escolar era un obstáculo insalvable. En este tema nos ocurría lo que les pasaba a las pobres hormigas que vivían en un tubo: no veíamos más allá de nuestras narices y cuando creímos avanzar, en realidad estábamos yendo cada vez más atrás. Para muchos de nosotros Carta a una maestra nos descubrió nuevas dimensiones de la cuestión, y ya nunca más vimos las cosas de la misma manera.

No se puede ver a los alumnos de la escuela sólo como alumnos, sin considerar su personalidad, su clase social y la necesidad que tenemos todos de comprender, entre todos, lo que está pasando. La escuela no puede acomodarse a no pensar sobre lo que está haciendo. No puede dejar de mirar cuáles son los intereses a los que sirve. Y así, tomando conciencia de lo que ocurre, ha de hacer escuela más allá de la escuela. Por eso, ¡ojo! Ahora en el discurso educativo se está reavivando una fuerte tendencia a podar las dimensiones de la Educación. Hay muchos temas de los que ya no se habla ni en los claustros, ni en las aulas, ni en los aledaños de la escuela, ni en las facultades del magisterio. Cada vez más se intenta ver la Educación como si fuese solo un problema contable para expertos. Y así no hay manera de educar(NOS).

domingo, 15 de septiembre de 2019

Vídeos de Cristóbal Vila: Inspiración, matemátcas, naturaleza, arte, arqitectura.

Cristóbal Vila es un diseñador gráfico de animaciones 3D que es capaz de hacer vídeos maravillosos en las que se mezcla la inapiración, las matemáticas, la naturaeza, el arte, la arquitectura.

En su blog, ÉTERA, puedes encontrar todo tipo de explicaciones sobre el guión  y su desarrollo así como varios cometarios apasionantes.

Su úlimo vídeo INFINITE PATTENRS




Otro vídeos de Cristóbal Vila

NATURE BY NUMBERS


NATURE BY NUMBERS from Cristóbal Vila on Vimeo.


INSPITATIONS


INSPIRATIONS from Cristóbal Vila on Vimeo.