domingo, 3 de febrero de 2019

Un juego de adivinación que sirve para introducir el sistema de numeración binario



Hoy traigo a APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS un conocido juego de adivinación basado en el sistema de numeración binario.

El juego consiste en presentar al jugador un conjunto de cinco fichas. Se le invita al jugador a que piense un número secreto del 1 al 31, por ejemplo una fecha de cumpleaños. Luego se le pide que indique las fichas en las que aparece el número que ha pensado. A la vista de las fichas seleccionadas,  el mago inmediatamente averigua el número secreto. ¿Cómo?

Con chicos pequeños puede ser un entretenimiento divertido. Con muchachos un poco más mayores, puede servir, además, para introducir el sistema de numeración binario y algo de combinatoria si se tercia.

A  continuación os dejo un documento con las fichas (que podéis recortar), y la explicación del juego.
Que os divirtáis.

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viernes, 1 de febrero de 2019

El problema del matemático borracho

Llevo muchos años planteando a mis alumnos de ESO y Bachilleraro el clásico problema del matemático borracho. Nunca obtuve la respuesta correcta. Por eso me he decidido a hacer un vídeo que demuestre la solución también experimentalmente. 

PROBLEMA DEL MATEMÁTICO BORRACHO 

El profesor se presenta ante los alumnos de la clase con una copa de cóctel en la mano, como la de la imagen, y cuenta la siguiente historia:

Había una vez un matemático borracho (que no era yo) que salíó un día de fiesta. Entró en un bar de copas donde ofrecían: "COPA LLENA DE CÓCTEL POR 8 EUROS".
El matemático, que se moría de ganas de beber, pero no llevaba suficiente dinero, le dice al camarero de la barra. 

   - Quiero beber, pero no me puedo pagar una copa entera, así que, por favor, llénamela hasta la mitad.


El camarero lo hace, llenando la copa hasta una altura igual a la mitad de la altura de la copa completa.
El matemático se bebe su media copa tan contento. A la hora de ir a pagar el camarero le dice:

  - Como te llené media copa, me debes 4 euros.

El matemático replica,
- Eso no es justo, ya que la mitad de arriba admite más líquido que la mitad de abajo. Debo de pagar menos.  
La pregunta es: ¿QUÉ CANTIDAD DEBE PAGAR, EN JUSTICIA; EL MATEMÁTICO BORRACHO?

Lo normal es que los alumnos digan cosas como 3 euros, 2 euros y medio, 2 euros, ....
Todos se sorprenden mucho cuando les digo que la respuesta correcta es tan solo 1 euro. 
  
Hay veces, según el interés que hayan puesto los alumnos en resolver el problema, que les planteo en la pizarra: ¿Qué es lo que pasa al volumen de un cubo cuando le duplico las longitudes de sus dimensiones?

En el dibujo vemos que, si las longitudes de un cubo se duplican, el volumen del nuevo cubo queda multiplicado por 8. En general, en un cuerpo geométrico, si las longitudes se multiplican por una constante k, el volumen se multiplica por k^3.

Los alumnos más avispados, después de esta explicación, deducen que lo correcto es que el matemático borracho pague sólo 1 euro. Ya que si las longitudes de la copa se reducen a la mitad, entonces el  volumen se reduce a la octava parte.

No obstante, no acaban de creérselo. Por eso es necesaria una evidencia experimental.

VÍDEO

En este vídeo se comprueba experimentalmente que para llenar una copa completa, son necesarias 8 medias copas 
  



REFLEXIONES POSTERIORES

Este razonamiento geométrico tiene implicaciones en la biología. Es muy interesante el planteamiento de la cuestión que hace  Galileo en los Discorsi.


¿Puede existir un animal tan grande como se quiera?
Si el volumen de un animal y, por tanto su peso, crecen según el cubo de sus dimensiones y las secciones de los huesos crecen según su cuadrado, entonces llegará un momento en que los huesos no puedan soportar la presión del peso del animal según va aumentando su tamaño. Galileo se dio cuenta que los huesos deberían ir ensanchandose, como se ve en el dibujo.
¿Qué pasa si el animal en cuestión es un pez que está sumergido en el agua y sufre el empuje del Principio de Arquímedes?




También, si quedan ganas se puede hablar del cñasico problema de  la duplicación del cubo.