Apuntes de Lógica Matemática

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Obtener la gráfica de la función seno cortando un cilindro

Sobre un cilindro hemos enrrollado una hoja de papel. Después hemos cortado el cilindro de manera oblicua. El resultado del corte, como es conocido, es una elipse. Luego desplegamos el papel y resulta.... La gráfica de una función sinusoidal.

El reto que os proponemos es hallar una demostración analítica de que, en efecto, la curva obtenida es la gráfica de una función sinusoidal.

En unos días aparecerá aquí nuestra respuesta. Se agradecen sugerencias.

Péndulo de Huygens. Una aplicación de las propiedades de la cicloide

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la curva Cicloide y sus propiedades:

•  La tautócrona y la braquistócona 
• Las Matemáticas de las cosas que se mueven. La cicloide
•  Método de Galileo de medir el área de la cicloide
• ¿Por qué les gusta tanto la cicloide a los skaters? La cicloide y sus propiedades. Es fácil reconocer al león por sus garras

Hemos comprobado experimentalmente que la curva que describe el péndulo de Huygens es precisamente la cicloide. Puedes verlo en el vídeo.

 EL SIGUIENTE TEXTO ES DE MIGUEL DE GUZMAN Y APARECE EN EL LIBRO "AVENTURAS MATEMÁTICAS"  


Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.

 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 

 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 

 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 

que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 

 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.



PARA APRENDER MÁS Y DISFRUTAR DEL GEOGEBRA TE INVITAMOS A VISITAR ESTE TRABAJO DE CARLOS FLEITAS


http://matematicainteractiva.com/pendulo-de-huygens-propiedad-tautocrona-de-la-cicloide

"¡Quién te ha visto y quién te ve!" Dos propuestas para animar los problemas de matemáticas

Uno de los retos que se plantean los profesores de matemáticas es proponer problemas que sean atractivos y estimulantes para los alumnos.

Hay propuestas muy conocidas de problemas para "pensar" que tienen algo de reto: Son el modelo de  El concurso de Primavera o Kanguro Matemático.

Aquí presentamos otras dos propuestas:

La primera la titulamos "¡Quién te ha visto y quién te ve!". Consiste en tomar un problema aburrido y mecánico basado en la mera aritmetica en otro más atractivo con soporte gráfico y opciones de ampliación y de investigación.

https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSSXNrVUdib2cxdW8/view?usp=sharing

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La segunda propuesta está inspirada en las pruebas PISA. Se parte de un cebo donde se pantea una situación cercana al mundo de los alumnos y, a apartir de ella, se le proponen diferentes cuestiones que se resuelven usando las matemáticas.

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSRG56eTBRcEMzWGs/view?usp=sharing

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Matemática Gourmet: Significado de la razón de un lado al seno del ángulo opuesto. Interpretación geométrica de la ley de los senos

En APRENDER y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a tratar cuestiones de Geometría clásica.

Si te interesa, en esta entrada puedes leer unas reflexiones sobre la didáctica de geometría y su importancia en la formación matemática

• Geometría

Para rescatar la afición por los problemas de Geometría y el gusto en las demostraciones nos proponemos ir elaborando una colección de vídeos con demostraciones de gemetría al nivel de los alumnos de últimos cursos de la ESO y del Bachilleato.

"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces" Baltasar Gracián


Otras entradas dedicadas a la Geometría:

Entradas dedicadas a la Geometría

Otras entradas dedicadas a la Geometría

La braquistocrona y la tautocrana

Ya anteriormente hemos dedicado varias entradas de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS a una curva tan atractiva como es la CICLOIDE.

• Las Matemáticas de las cosas que se mueven. La cicloide
•  Método de Galileo de medir el área de la cicloide
• ¿Por qué les gusta tanto la cicloide a los skaters? La cicloide y sus propiedades. Es fácil reconocer al león por sus garras

 
Hemos diseñado un artilugio que permite visualizar las propiedades de la cicloide como curva BRAQUISTOCRONA y como curva TAUTOCRONA.

Para ello hemos recortado una cicloide en un tablero de madera no muy gordo para poderlo cortar con una sierra de marquetería de arco. Hemos pegado una plancha de plástico transparete hasta completar el tablero.
Este montaje lo hemos colocado sobre un soporte de madera de tal manera que el tablero forma un plano inclinado. Al inclinar el tablero logramos relentizar la caida de las bolas que ruedan siguiendo el perfil de la cicloide. Con esta inclinación también conseguimos usar canicas un poco grandes, aunque el tablero es fino.
El usar el plano inclinado no altera las propiedades de la caida libre, ya que lo que hace es sólamente disminuir la componente vertical del peso.

Con la ayuda de unos alumnos de tercero de la ESO, hemos filmado a cámara lenta estos experimentos usando la cámara de un móvil.

BRAQUISTOCRONA

Solatmos dos bolitas en los dos extremos del perfil. Una se desliza siguiedo una recta (hecha con un listoncillo) y la otra siguiendo una de las ramas de la cicloide. La bola que se desliza por la cicloide llega antes.



TAUTÓCRONA 

Soltamos dos bolitas, una en cada rama de la cicloide, desde distintas alturas. Las dos bolitas llegan al mismo tiempo.




PARA SABER MÁS Y DISFRUTAR DE UNA SIMULACIÓN CON GEOBEBRA 

http://www.matematicainteractiva.com/la-cicloide-propiedad-tautocrona

 
La demostración de que la cicloide es la curva tautocrona

Para los que quieran disfrutar de matemáticas bellas pueden leer la demostración de que la cicloide es, en efecto, la curva tautocrona. Os recomiendo leer previamente la entrada.

Método de Galileo para medir el área debajo de la cicloide

Las matemáticas de las cosas que se mueven: La cicloide

En estas notas se demuestra que la cicloide es la curva BRAQUISTOCRONA