jueves, 10 de septiembre de 2026

La clase de Matemáticas

 




Esta pintura es "Cálculo mental. En la escuela pública de S. A. Rachinski" (Mental Arithmetic. In the Public School of S. A. Rachinsky), realizada en 1895 por el pintor realista ruso Nikolái Bogdanov-Belski.

Detalles de la obra

  • Autor: Nikolái Petrovich Bogdanov-Belski (1868–1945).

  • Año: 1895.

  • Técnica: Óleo sobre lienzo.

  • Ubicación: Galería Tretiakov, Moscú.

El contexto y la escena

La obra representa una clase de matemáticas en la escuela rural creada por Serguéi Rachinski, un importante profesor universitario y filántropo ruso que abandonó su cátedra en la Universidad de Moscú para dedicarse a enseñar a los niños campesinos.

El profesor sentado a la izquierda es el propio Rachinski. Se observa a los estudiantes intentando resolver mentalmente el problema matemático anotado en la pizarra, mostrando diversas expresiones de concentración, duda y esfuerzo intelectual.

El problema de la pizarra

La ecuación escrita en la pizarra es un ejercicio real de cálculo mental:



El objetivo era encontrar el resultado sin usar lápiz ni papel. Una forma ingeniosa de resolverlo mentalmente es agrupando los términos:



El movimiento de Los Ambulantes (Peredvízhniki)

Nikolái Bogdanov-Belski formó parte de la Sociedad de Exposiciones de Arte Ambulante, un grupo de pintores realistas rusos del siglo XIX que se rebeló contra el academicismo de la Real Academia de Bellas Artes de San Petersburgo.

  • Propósito: Buscaban democratizar el arte llevando sus obras en exposiciones itinerantes por distintas provincias de Rusia para acercarlo al pueblo llano.

  • Temática social: Pintaban escenas de la vida cotidiana, especialmente la dura realidad del campesinado y las desigualdades sociales, pero también momentos de dignidad y superación como el acceso a la educación.

  • Estilo: Un realismo detallado y expresivo que priorizaba el impacto emocional y psicológico de los personajes por encima de las composiciones idealizadas.

El autor: Nikolái Bogdanov-Belski

La pintura tiene un carácter fuertemente autobiográfico para el artista:

  • Origen humilde: Nació como hijo ilegítimo de una campesina pobre en la provincia de Smolensk.

  • Descubierto por Rachinski: El propio Serguéi Rachinski descubrió el talento natural de Bogdanov-Belski para el dibujo cuando era niño en su escuela rural y financió su formación artística en Moscú y San Petersburgo.

  • Especialización: Gran parte de su obra se centró en retratar la infancia campesina, reflejando tanto la ingenuidad como la capacidad de aprendizaje de los niños de zonas rurales.





Esta obra se titula A las puertas de la escuela (At the Door of the School, 1897), realizada por el pintor realista ruso Nikolái Petrovich Bogdanov-Belski (1868–1945). Actualmente se encuentra expuesta en el Museo Ruso de San Petersburgo.

Sobre la obra La pintura captura un momento cargado de emoción y simbolismo. Un niño campesino con ropa desgastada, remendada y alpargatas rotas se apoya en su bastón observando desde el umbral a los demás alumnos concentrados en su clase.

  • El contraste: La composición divide dos mundos: la pobreza e incertidumbre del exterior, representada por el joven solitario, frente a la luz, el orden y la oportunidad de progreso que simboliza el aula iluminada.

  • Carácter autobiográfico: Más allá del realismo social de la época, tiene un fuerte tinte personal, ya que el propio artista vivió esa exacta transición en su infancia.

Sobre el autor Nikolái Bogdanov-Belski nació en la extrema pobreza, siendo hijo ilegítimo de una campesina. Su vida cambió drásticamente cuando el educador y profesor Serguéi Rachinski descubrió su talento para el arte en una escuela rural. Rachinski financió sus estudios, permitiéndole formarse en la Escuela de Pintura, Escultura y Arquitectura de Moscú y en la Real Academia de Bellas Artes de San Petersburgo.

A lo largo de su carrera, se especializó en retratar la vida rural rusa y, especialmente, la educación de los niños campesinos, defendiendo la enseñanza como el único camino para la dignidad y el desarrollo social.




domingo, 17 de mayo de 2026

Evolvente y evoluta







Una de los temas más bonitos de la geometría es el estudio de las curvas mecánicas


Aquí os presento un vídeo que he preparado para explicar los conceptos de evolvente y evoluta 




Evolvente de la cicloide es una cicloide. Péndulo de Huygens

Ahora vamos a explicar cómo la cicloide es la evoluta de la cicloide cómo la evolvente de la cicloide es la cicloide

domingo, 12 de abril de 2026

CONGRUENCIAS. Grafos de las potencias de 10 módulo (p)

 Hace unos días vi este vídeo en Aurea Academy 

https://youtube.com/shorts/ZVqI6D5k8kQ?si=Vfo0Z5SqZnCdFW_L

Me pareció muy curioso. Ya hemos dedicado en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS una entrada al estudio de TÉCNICAS PARA ENUNCIAR CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Así que este material es un complemento muy bueno. 

¿Cuál es el resto, r,  de dividir el número  N ="abcd", en base 10, al dividirlo por el número p?


Para saberlo necesitamos un grafo y una ficha de madera que podemos mover por él. 

Veamos este vídeo explicativo

 


* Elegimos el grafo correspondiente del número p.

(El grafo correspondiente al número p está construido de la siguiente manera: Sobre una circunferencia se colocan los posibles restos de dividir por p (los números 0, 1, ..., p-1). Es decir, se escriben las congruencias módulo p. Para hallar la congruencia de un número a se tiene que colocar la ficha en la posición del número 0 y avanzarlo a puestos.  Para realizar el grafo hay que añadir unas flechas rojas. Desde cada resto se dibuja una flecha que le une con la congruencia que resulta de multiplicar por 10 al numero que está en la circunferencia. De esta forma mover la ficha siguiendo la flecha equivale a multiplicar por 10 módulo p.

* Se coloca la ficha en el 0. Se avanza a puestos.

(Con lo cual la ficha quedará situada en número que señala el resto de dividir a por p. Es decir la congruencia de a módulo p)

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

(Con lo cual la ficha se situará en la congruencia con 10·a módulo p) 

* Se avanza la ficha b puestos. 

(Con lo cual la ficha estará en la congruencia de b + a +10·a, módulo p)

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

(Esto equivale a multiplicar por 10. Con lo cual la ficha estará en la congruencia de 10·( b + a +10·a) = 10b+100a, módulo p)

* Se avanza la ficha c puestos. 

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

* Se avanza la ficha c puestos. 

* Se mueve la ficha siguiendo la correspondiente flecha roja.

* Se avanza la ficha d puestos. Es el resultado r. Si r = 0, significa que N es divisible por p.

(La ficha quedará puesta sobre el resto r que es la congruencia de N = a·1000 + b·100 + c·10 + d )


Aqui puedes encontrar las fichas de los GRAFOS en formato pdf para descargar.















jueves, 26 de marzo de 2026

Sumar y multiplicar usando el ábaco de Gerberto de Aurillac

 


Gerberto de Aurillac (945-1003) fue un monje francés. Conoció en el monasterio de Santa María de Ripoll (Girona) las matemáticas árabes. Entre otras cosas el sistema de numeración posicional. Fue un gran estudioso que profundizó en los estudios medievales del Trivium y el Quadrivium. Llegó a ser Papa, con el nombre de Silvestre II. 

En los siguientes vídeos podemos ver cómo se puede utilizar el ábaco de Gerberto de Aurillac para ayudar a la comprensión de los algoritmos de suma y multiplicación. 


SUMAR USANDO EL ÁBACO DE GERBERTO DE AURILLAC



MIULTIPLICAR USANDO EL ÁBACO DE GERBERTO DE AURILLAC



Vamos a hacer la multiplicación 83 x 27. Primero con el siguiente esquema comprendemos bien lo que significa el algoritmo de la multiplicacción




lunes, 9 de diciembre de 2024

Calculadora CURTA. Cómo usarla

 







Las calculadoras CURTA tienen un amplio club de fans en todo el mundo y hay abundantísima documentación sobre ellas en la web. Incluso su despiece. 

Yo conocí las calculadoras CURTA leyendo a Pedro Puig Adam en su libro "El material didáctico Matemático actual". Pedro Puig Adam en los años 50 pensaba que iba a ser muy positivo que a los estudiantes de matemáticas se les facilitara una herramienta de cálculo para usarla en cualquier momento y así poder hacer y comprobar argumentos numéricos. También pensaba que sería muy positivo en la enseñanza de la aritmética si se ponía la atención los fundamentos de los algoritmos de las operaciones. Estos fundamentos quedarían más claros comprendiendo el uso de las calculadoras mecánicas.

Estuve mucho tiempo deseando tener una calculadora CURTA en mis manos. Por fin encontré una en venta en una visita familiar al mercadillo de Notting Hill, en Londres. Encontré un matemático jubilado (llamado Flechet) que vendía varias cosas personales: instrumentos de dibujo, libros, ..... y una CURTA. Como era cara (700 libras) le dije que sólo se la compraría si funcionaba. Así que le propuse una multiplicación y me la hizo sin  problemas. A pesar de mi admiración yo disimulaba mi entusiasmo con intención de pedir una posible rebaja. El señor Flechet me explicó que era un pobre jubilado al que no le llegaba la pensión y estaba vendiendo, con dolor, sus objetos personales. Me dijo que sólo se los entregaría a alguien que los apreciase y no especulase con ellos. Por ese motivo se había propuesto sólo vendérselos a otro matemático. Yo le dije que era matemático. Él me escribió en un papel una integral inmediata, y me pidió que la hiciese. En cuanto se la hice cerramos el trato. 

  • CRURTA Presentación
  • CURTA Sumar
  • CURTA Restar
  • CURTA Multiplicar
  • CURTA Dividir


  • CURTA Dividir multiplicando

martes, 3 de diciembre de 2024

Calculadora con tambor de Odhener. Cómo usarla

 

Aquí os presento esta bellísima calculadora mecánica que compré a un anticuario. Está en perfecto estado. Este modelo lo fabricaba la Mira-Rechenmaschinen-Fabrik de Reichenberg (Bohemia, Alemania). El modelo que vemos en la foto yo creo que se fabricó en los años veinte del siglo XX.

Las calculadoras Mira están basadas  en el mecanismo de molinete diseñado por W.T. Odhner en el año 1873, inspirado a su vez en el aritmómetro. Esta calculadora muestra el bello diseño de los aritmómetros de la época, similar al de las célebres Brunsviga, Thales o Triumphator, entre otras.  


Aritmómetro de Odhener


He hecho unos vídeos caseros mostrándo cómo se usa


  • PRESENTACIÓN

  • SUMAR

  • RESTAR
  • MULTIPLICAR
  • DIVIDIR

  • DIVIDIR MULTIPLICANDO


lunes, 2 de diciembre de 2024

Aritmómetro. Cómo se usa



 En los años sesenta del siglo XX mi padre compró a un chatarrero una máquina de calcular mecánica, este Aritmómetro, y nos enseño a usarla a mi hermano y a mi. 

El propósito de esta entrada es enseñar a usar esta maravilla de después de 130 años funciona perfectamente. He hecho unos modestos vídeos caseros que espero mejorar.

  • HISTORIA
- En 1820 Xavier Thomas de Colomar (1785-1870) patentó el Aritmómetro. La primera máquina de calcular comercial. Posteriormente tuvo varias versiones.

- El Aritmómetro estaba basado en el diseño de la máquina de calcular de Leibniz (1646-1716). 

- La máquina que vamos a utilizar es un modelo desarrollado por  C & E. Layton en Londres.

- La fecha de la construcción de la máquina calculo que es alrededor de 1890, ya que existe una igual en el museo Smithsonian Institution (Museo de. Historia de América) de Washington. 
En el siguiente enlace puedes ver la ficha del objeto, con muchas fotografías y datos históricos


- Esta es la referencia en la Wkipedia 
  
- Hay un vídeo muy detallado que explica el funcionamiento del Arithmometer




  • PRESENTACIÓN
  • SUMAR



  • RESTAR


  • MULTIPLICAR


  • DIVIDIR


  • DIVIDIR MULTIPLICANDO


lunes, 25 de noviembre de 2024

Geometría del triángulo

 En este blog hemos dedicado muchas entradas a cuestiones relacionadas con la geometría euclídea tradicional.

Os ofrezco. aquí un trabajo que hice hace 30 años.  Hoy tal vez variaría la presentación. Como pasa en matemáticas las demostraciones siguen válidas.  

Aquí podéis descargarlo en pdf  Geometría del Triángulo

La Conclusiones del trabajo son:

1. La Geometría clásica es un paradigma de las matemáticas. Un buen modelo para enseñar Matemáticas elementales. 

2. En Geometrtría se puedeb demostrar elementalmente resultados

    - no triviales,

    - significativos y fácilmente comprensibles

    - estéticamente bellos

    - con aplicaciones prácticas

3. Los restados de la geometría se pueden construir a partir de un pequeño grupo de proposiciones simples debidamente estructuradas (propuesta didáctica)

4. La Geometría ha servido durante dos mil años para enseñar a pensar, ahora puede seguir sirviendo.

5. La geometría del triángulo es un jemplode cómo con métodos elementales se pueden demostrar resultados sorprendentes.


La geometría del triángulo by Ángel de la Llave

miércoles, 20 de noviembre de 2024

Libros para descubrir las Matemáticas

 Ha habido algunos libros de divulgación matemática que  han sido muy especiales para mi. Me hicieron descubrir las Matemáticas. Estoy en deuda con ellos.

Después, o a la par, de los libros de divulgación vienen los buenos libros de texto de matemáticas.

 

  • EL HOMBRE QUE CALCULABA. Malba Tahan (Julio César de Mello Souza). RBA.


  • MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN. E. Kasner y J.. Newman. CECSA



  • MATHEMATICAL SNAPSHOTS. H. Steinhaus. Oxford.


  • MATEMÁTICAS EN EL MUNDO MODERNO. Morris Kline. Selecciones de Scientific American. Editorial Blume.


  • ¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA? R. Courant y H. Robbins. Aguilar.


  • AVENTURAS MATEMÁTICAS. Miguel de Guzmán. Pirámide. 


  • CÓMO HABLAR, DEMOSTRAR Y RESOLVER EN MATEMÁTICAS. Miguel de Guzmán. Base Universitaria ANAYA.

  • SIGMA. EL MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS. James R. Newman. Ediciones Grijalbo.


  • LA MATEMÁTICA: SU CONTENIDO, MÉTODO Y SIGNIFICADO. A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M.A. Laurentiev y otros. Alianza Universidad.



  • 100 GREAT PROBLEMS OF ELEMENTARY MATHEMATICS. THEIR HISTORY AND SOLUTIONS.  Heinrrich Dörrie. Dover.


CÓMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS. G. Polya. Trillas.







martes, 19 de noviembre de 2024

Una aplicación práctica del teorema de Thales

 Aquí en este vídeo os presentamos una aplicación práctica del teorema de Thales


  

Aquí tenéis una pista para la justificación geométrica del procedimiento, usando el teorema de Thales


Recordemos el TEOREMA DE THALES


Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales los segmentos correspondientes son proporcionales. 


También es cierto el teorema recíproco:

 Si tres o más rectas cortan dos rectas transversales de modo que los segmentos correspondientes son proporcionales, entonces las rectas son paralelas.  


Simbólicamente: 


lunes, 4 de noviembre de 2024

Prueba del nueve

 Cuando las cuentas se hacían a mano, la PRUEBA DEL NUEVE era una comprobación muy útil para ganar cierta seguridad de que las operaciones estaban bien hechas. Últimamente está perdiéndose su enseñanza en los cursos la escuela primaria. He preparado un video sencillo parea explicar cómo se utiliza la prueba del nueve.



Más adelante explicaremos el fundamento matemático de la Prueba del nueve. De momento adelantamos que la Prueba del nueve consiste en repetir la operación utilizando los restos de nueve de los elementos que intervienen en la operación. Técnicamente esta ope se dice que es utilizar las congruencias módulo nueve. Esta comprobación es fácil ya que para hallar el resto de dividir un número por nueeve basta sumar sus cifras.


domingo, 3 de noviembre de 2024

Método de división anglosajón

 El método de división anglosajón creo que tiene muchas ventajas sobre el método de división que utilizamos tradicionalmente en nuestro país, que es conocido en otros países como "Método italiano". 

Aquí os presento un vídeo explicando cómo se usa utilizando un ejemplo



sábado, 7 de septiembre de 2024

Demostraciones del teorma de Pitágoras usando mosaicos pitagóricos


El TEOREMA DE PITÁGORAS es el resultado matemático más popular. 

Ya le hemos dedicado algunas entradas en este blog

Teorema de Pitágoras

Aquí tenéis un documento donde se explican varias demostraciones del teorema de Pitágoras usando mosaicos pitagóricos.  

Demostraciones del teorema de Pitágoras usando mosaicos pitagóricos 

Un mosaico pitagórico consiste en una descomposición en piezas del triángulo construido sobre la hipotenusa, que mediante movimientos se recompone para formas una figura que representa la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Contenido:

0. Mosaicos pitagóricos

1. Chou Pei Ching ( 300 a.C.) (China). 




2. Modificación de Miguel de Guzmán (siglo XX).


3. Tahib Inb Qurra (siglo IX) (Bagdad).





4. Bhaskara (sigloXII) (India)



5. Leonardo Da Vinci (siglo XV).





6. División de Perigal







7. División de Perigal generalizada.



8. Tomado de First Book of Geometry de Young & Young 




9. Galileo (siglo XVI) 




miércoles, 21 de agosto de 2024

¿Qué es un litro?



Os presentamos un vídeo explicando qué es 1 litro. 

Se utilizan materiales manipulables. Un niño que toca con sus manos y manipula objetos, comprende y no olvida.
Materiales manipulables como los que se muestran en este vídeo deberían estar en el imprescindible GABINETE DE MATEMÁTICAS que debería haber en todas las instituciones de enseñanza.