Teorema de Pitágoras

Ya los agrimensores egipcios, hace tres mil años, utilizaban el triángulo de lados 3, 4 y 5 para dibujar ángulos rectos sobre el terreno.

La propiedad de los triángulos rectángulos de afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es el famoso teorema de Pitágoras al que vamos a dedicar este post.

¿Sabrías demostrar el teorema de Pitágoras? ¿Hay más ternas pitagóricas además de (3-4-5) (5-12-13)? ¿Qué tiene esto que ver con el último teorema de Fermat?

Demostración del teorema de Pitágoras de Galileo

Galileo utilizó una balanza para comprobar la igualdad de áreas.Uasando este método, demostró, por ejemplo que el área debajo de una cicloide es igual a la de tres cículos que lo generan.

En el siguiente vídeo vemos cómo el cuadrado construido sobre la hipotenusa pesa lo mismo que los dos cuadrados contruidos sobre los catetos 






Vídeo de elaboración propia:





Para ver una amplia explicación de las demostraciones del teorema de Pitágoras usando MOSAICOS PITAGÓRICOS puedes visitar esta entrada del blog 

Demostraciones del teoremas de Pitágoras usando mosicos Pitagóricos

Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
(Chou pei suan ching 200 a. C.)

Vídeo de elaboración propia explicado el triángulo pitagórico 3-4-5:

Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
( División de Perigal)

 

Teorema de Pitágoras - Módulos Interactivos from Principia on Vimeo.

Otra demostración manipulativa del Teorema de Pitágoras (vídeo de elaboración propia)





 Demostración acuática:

Demostración de Euclides








Demostración manipulable de Lonardo Da Vinci

Demostración del teorema de Pitágoras del libro "Mirar y ver" de Miguel de Guzmán

Puzzles Pitagóricos

PUZZLES PITAGÓRICOS

Demostración acuática




Puzzle pitagórico

Puzzles pitagórcos para imprimir y hacer on line

Demostración del Teoerema de Pitágoras de A. Einstein 

 https://pseudopodo.wordpress.com/2008/11/28/pitagoras-segun-einstein/

En el triángulo original, de lados a,b,c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda tiene por hipotenusa a; llamaremos a su área S_a; el de la derecha tiene por hipotenusa b, y su área será S_b. El triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área S_c.
Estos tres triángulos son semejantes porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal. Podemos escribir por tanto que:

S_a = k·a²
S_b = k·b²
S_c = k·c²

donde k es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica).
Además, es obvio que

S_c = S_a + S_b

Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores,

c² = a² + b²

Demostración del Teorema de Pitágoras a partir del Teorema del cateto

Demostración del Teorema de Pitágoras como un caso particular del Teorema de Tolomeo 

Demostración del Teorema de Pitágoras usando la semejanza

 
Ternas pitagóricas y el último teorema de Fermat

Además de (3-4-5) hay otras ternas pitagóricas, es decir, tres números enteros (x-y-z) que cumplen el teorema de Pitágoras

x² + y ²= z²

Por ejemplo: (9-12-15), (5-12-13), ... son ternas pitagóricas

¿Esto mismo funcionará para los cubos?

x³ + y ³= z³

El último teorema de Fermat, que enunció Fermat sin demostración conocida poco antes de morir, afirma que, si se cambia el exponente 2 por otro entero cualquiera n mayor que 2, la ecuación

xⁿ + y ⁿ= zⁿ

no tiene soluciones enteras.

¿Puedes averiguar algo más sobre Fermat? ¿Se ha demostrado ya el último teorema de Fermat?

En uno de los episodios de los Simpsons se hace referencia al último teorema de Fermat.
Como se puede ver en el fotograma que se ha incluido en el texto aparece la igualdad

1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Es curioso, el caso que se presenta, pues si se hace con una calculadora (por cuestiones de redondeo) resulta que se verifica lo que sería un contraejemplo del último teorema de Fermat. ¡Compruébalo!

Para ampliar 

Demostraciones usando GEOGEBRA

varias demostraciones usando GEOGEBRA

Libro "El cuadrado de la hipotenusa" de Alberto Ugarte